计算方法-刘师少版课后习题答案

1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数 解 近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有 . 即n=3，故x=3.14有3位有效数字. x=3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字. 而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字 1.2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.0004 －0.00200 9000 9000.00 解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1 绝对误差限： m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字 =2，相对误差限 （2）∵ －0.00200= -0.2×10-2, m=-2 m-n=-5, m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字 =2，相对误差限 =0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m=4， m-n=0, m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字 ＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m=4， m-n=-2, m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字 相对误差限为 ＝0.000 00056 由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 1.3 ln2=0.69314718…，精确到 的近似值是多少？ 解 精确到 ＝0.001，即绝对误差限是(＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2(0.693 2.1 用二分法求方程 在(1, 2(的近似根，要求误差不超过 至少要二分多少？ 解：给定误差限(＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 只要取k满足 即可，亦即 EMBED Equation.3 只要取n＝10. 2.3 证明方程1 -x –sinx ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f(x)＝1－x－sinx， ∵ f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0 ∴ f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又 f ((x)=-1－cosx<0 (x([0.1]),故f(x) 在[0，1]单调减少，所以f(x) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限(＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 只要取k满足 即可，亦即 EMBED Equation.3 只要取n＝14. 2.4 方程 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1） ，迭代公式 （2） ，迭代公式 （3） ，迭代公式 （4） ，迭代公式 试 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令 ，则 ，由于 ，因而迭代收敛。 （2）令 ，则 ，由于 迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。 （3）令 ，则 ，由于 迭代发散。 （4）令 ，则 ，由于 迭代发散。 具体计算时选第二种迭代格式， n=0,1,… 计算结果如下： 2.5 对于迭代函数 ，试讨论： （1） 当C取何值时， 产生的序列 收敛于 ； （2） C取何值时收敛速度最快？ 解：（1） ， ，由已知条件知，当 ，即 时，迭代收敛。 （2）当 时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。即 ，所以 时收敛最快。 2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式： (1) 不使用除法运算； (2) 不使用开方和除法运算. 解：（1）令 ，取 ，则 迭代格式为 注：若令 ，取 ，则 ，显然迭代格式不法不符合 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意。 （2） 令 ，取 ，则 迭代格式 2.10 设 。 （1） 写出解 的Newton迭代格式。 （2） 证明此迭代格式是线性收敛的。 解：因 ，故 ，由Newton迭代公式： 得 以下证明此格式是线性收敛的 因迭代函数 而 又 则 故此迭代格式是线性收敛的。 第三章 解线性方程组的直接方法习题及解答 （考试时二元）3.2 用列主元素消去法解线性方程组 解：第一步列选主元10，将第一和第二行交换，再消去 ，得 第二步列选主元 ，将第二和第三行交换，再消去 ，得 回代求解得 3.3 用高斯-约当法求逆矩阵 解： 则 3.4 用矩阵的直接三角分解解方程组 解 设系数矩阵A的杜利特尔分解为A=LU，即 将右端两矩阵相乘后比较两端，可得 再求解方程组LY=b, UX=Y, 即： 先由前一个方程组求得 ，代入后一个方程组，求得原方程的解为 3.7 证明对任意非奇异矩阵A、B有 证： 等式成立 3.8 证明对任意非奇异矩阵A有 证：因为 所以 3.9 设A、B∈ 为非奇异矩阵，证明 （1） Cond(A)≥1，Cond(A)= Cond(A-1)； （2） Cond( )=Cond(A)， ； （3） Cond(AB)≤Cond(A) Cond(B)。 证：(1) (2) (3) 3.10 设线性方程组为 （1） 试求系数矩阵A的条件数 ； （2） 若右端向量有扰动 ，试估计解的相对误差。 解：（1） （2）本题是讨论方程组的右端项有扰动δb时对解的相对误差的估计， 由解向量的精度的估计式： 第四章 解线性方程组的迭代法习题及解答 4.1 用Jacobi迭代格式解方程组 要求 解 Jacobi迭代格式为 取初始迭代向量 ，迭代结果为： …… 由于 所以满足要求的解为 4.2 用高斯—塞德尔迭代法求解线性方程组 要求 解：建立高斯—塞德尔迭代格式： 取初始迭代向量 ，迭代结果为： 故方程组的近似解为 4.4 线性方程组 的系数矩阵为 A＝ 试求能使雅可比迭代法收敛的 的取值范围。 解 当 时，雅可比迭代矩阵 B＝ EMBED Equation.3 得 ，故 ，由 ，得 ，即 时， ，雅可比迭代法收敛。 4.6 设线性方程组 试求能使高斯－赛德尔迭代收敛的 的取值范围。 解 高斯－赛德尔迭代矩阵 它的特征多项式为 其特征值为 当 时， ，高斯－赛德尔迭代收敛。 第五章 插值与曲线拟合习题与解答 5.1 已知函数y=f(x)的观测数据为 xk －2 0 4 5 yk 5 1 －3 1 试构造不超过三次的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，并验证插值多项式的惟一性，再计算f(－1)的近似值.。 解 （1）建立拉格朗日插值多项式：构造基函数 所求三次多项式为 P3(x)= ＝ ＋ + ＋ ＝ （2）建立牛顿插值多项式：建立差商表为 x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 -2 5 0 1 -2 4 -3 -1 1/6 5 1 4 1 5/42 牛顿插值多项式为 (3) 惟一性验证：将拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式比较它们是完全一样的，这一结论和插值多项式的惟一性一致。 （4）计算f(－1)( 5.6 设 ，试利用拉格朗日余项定理给出 以 -1，0，1，2为节点的三次插值 多项式P(x)。 解 根据拉格朗日余项定理 5.10 若 ，求 和 。 解 ， =0 5.13 求满足以下条件的Hermite插值多项式 0 1 0 1 1 2 解 令所求插值多项式为 依所给插值条件有 由此解出 故有 第六章数值积分与微分习题与解答 6.1 用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算积分 ，并估计各种方法的误差（保留5位小数） 解 记a=0, b=1, , 则 则梯形公式 其误差为 辛卜生公式 其误差为 柯特斯公式 其误差为 6.2 试确定求积公式 的代数精度. [依定义，对xk (k=0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k数值] 解 当f(x)取1,x,x2,…计算求积公式何时精确成立. (1) 取f(x)=1, 有 左边＝ , 右边＝ (2) 取f(x)=x, 有 左边＝ , 右边＝ (3) 取f(x)=x2, 有 左边= , 右边= (4) 取f(x)=x3, 有 左边= , 右边= (5) 取f(x)=x4, 有 左边= , 右边= 当k(3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度 6.3 用代数精度定义直接验证辛卜生公式 具有3次代数精度。 解：设f(x)=1, 公式左边 ，公式右边 f(x)=x, 公式左边 ，公式右边 f(x)=x2, 左边 ，右边 f(x)=x3, 左边 ，右边 f(x)=x4, 左边 EMBED Equation.3 所以辛卜生公式具有3次代数精度 6.4 设有近似公式 试确定求积系数A ,B ,C使这个公式具有最高的代数精度 解：分别取 = 1, x, 使求积公式准确成立，即得如下方程组。 解之得， 所以得到求积公式为： 此求积公式对于 都准确成立，对于 就不准确了，所以此求积公式具有 3 次代数精度。 6.5 如果用复化梯形公式计算定积分 ，要将积分区间(0, 1(多少等份才能使误差不超过 0.5×10－4 ？若用复合辛卜生公式呢？ 解：取 ，则 ， 又区间长度b-a=1, 对复化梯形公式有余项 即 ，n≥40.8，取n=41，即将区间(0,1( 41等份时，用复化梯形公式计算误差不超过0.5×10－4。 用复合辛卜生公式计算时要求 即 ，n≥1.6233，取n=2，即将区间(0,1( 2等份时，用n=2的复化梯形公式计算可使误差不超过0.5×10－4。 6.6. 试确定求积公式的待定参数，使求积公式 的代数尽可能的高。 解：设求积公式对 准确成立，则得方程组 解之得 所求的求积公式为： 将 分别代入上式得： 当 时 左端=右端，即 当 时 左端≠右端，即 所以求积公式具有3次代数精度。 77 6.7 若 ，证明用梯形公式计算积分 所得结果比准确值大，并说明这个结果的几何意义。 证明：由梯形公式的误差 若 ，则 ，所以 ，即当 时用梯形公式计算积分 所得的结果比准确值大。 其几何意义如下图所示：当 时，曲线 是下凹的，梯形abCD的面积 大于曲边梯形面积 。 6.8 推导下列三种矩形求积公式： 解：（1）将 在x=a处Taylor展开得 两边在(a,b(上积分，得： ∴ （2）将 在x=b处Taylor展开得 两边在(a,b(上积分，得： ∴ (3) 将 在 处Taylor展开得 两边在(a,b(上积分，得： EMBED Equation.3 ∴ 第七章 常微分方程数值解习题及解答 7.1 用欧拉法解初值问题 ，取步长h=0.2.计算过程保留6位小数. 解：h=0.2, f(x)=－y－xy2.首先建立欧拉迭代格式 当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有 y(0.2)(y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8 当k＝1，x2=0.4时，已知x1=0.2, y1=0.8，有 y(0.4)(y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4 当k=2，x3=0.6时，已知x2=0.4,y2=0.6144，有 y(0.6)(y3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.6144)＝0.461321 7.2 推导初值问题 后退（隐式）欧拉公式 并估计其截断误差。 解：将方程 的两端从 到 求积分 用右矩形公式计算积分项 设 则得后退（隐式）欧拉公式 将 在 处泰勒展开 ∴ 等式两端与后退（隐式）欧拉公式两端分别相减，得其截断误差为 ∴ 其截断误差为 7.5 对初值问题 证明：用梯形公式求得的近似解为 并证明当步长h(0时，yn(e－x 证明 解初值问题的梯形公式为 整理成显式 反复迭代，得到 若x>0, 为求y(x)的近似值，用梯形公式以步长h经过n步计算得到x，故x=nh，有 7.6 用欧拉法解初值问题 证明其截断误差 这里 ， 是欧拉方法的近似解，而 为原初值问题的精确解。 证：由已知条件知， ，由欧拉法得 ……… 因 ，于是 故其截断误差为 列选主 消元 列选主 消元 消元 _1234568017.unknown _1234568081.unknown _1234568145.unknown _1234568177.unknown _1234568209.unknown _1234568225.unknown _1234568233.unknown _1234568237.unknown _1234568241.unknown _1234568245.unknown _1234568247.unknown _1234568248.unknown _1234568249.unknown _1234568246.unknown _1234568243.unknown _1234568244.unknown _1234568242.unknown _1234568239.unknown _1234568240.unknown _1234568238.unknown _1234568235.unknown _1234568236.unknown _1234568234.unknown _1234568229.unknown _1234568231.unknown _1234568232.unknown _1234568230.unknown _1234568227.unknown _1234568228.unknown _1234568226.unknown _1234568217.unknown _1234568221.unknown _1234568223.unknown _1234568224.unknown _1234568222.unknown _1234568219.unknown _1234568220.unknown _1234568218.unknown _1234568213.unknown _1234568215.unknown _1234568216.unknown _1234568214.unknown _1234568211.unknown _1234568212.unknown _1234568210.unknown _1234568193.unknown _1234568201.unknown _1234568205.unknown _1234568207.unknown _1234568208.unknown _1234568206.unknown _1234568203.unknown _1234568204.unknown _1234568202.unknown _1234568197.unknown _1234568199.unknown _1234568200.unknown _1234568198.unknown _1234568195.unknown _1234568196.unknown _1234568194.unknown _1234568185.unknown _1234568189.unknown _1234568191.unknown _1234568192.unknown _1234568190.unknown _1234568187.unknown _1234568188.unknown _1234568186.unknown _1234568181.unknown _1234568183.unknown _1234568184.unknown _1234568182.unknown _1234568179.unknown _1234568180.unknown _1234568178.unknown _1234568161.unknown _1234568169.unknown _1234568173.unknown _1234568175.unknown _1234568176.doc C D y=f(x) a b _1234568174.unknown _1234568171.unknown _1234568172.unknown _1234568170.unknown _1234568165.unknown _1234568167.unknown _1234568168.unknown _1234568166.unknown _1234568163.unknown _1234568164.unknown _1234568162.unknown _1234568153.unknown _1234568157.unknown _1234568159.unknown _1234568160.unknown _1234568158.unknown _1234568155.unknown _1234568156.unknown _1234568154.unknown _1234568149.unknown _1234568151.unknown _1234568152.unknown _1234568150.unknown _1234568147.unknown _1234568148.unknown _1234568146.unknown _1234568113.unknown _1234568129.unknown _1234568137.unknown _1234568141.unknown _1234568143.unknown _1234568144.unknown _1234568142.unknown _1234568139.unknown _1234568140.unknown _1234568138.unknown _1234568133.unknown _1234568135.unknown _1234568136.unknown _1234568134.unknown _1234568131.unknown _1234568132.unknown _1234568130.unknown _1234568121.unknown _1234568125.unknown _1234568127.unknown _1234568128.unknown _1234568126.unknown _1234568123.unknown _1234568124.unknown _1234568122.unknown _1234568117.unknown _1234568119.unknown _1234568120.unknown _1234568118.unknown _1234568115.unknown _1234568116.unknown _1234568114.unknown _1234568097.unknown _1234568105.unknown _1234568109.unknown _1234568111.unknown _1234568112.unknown _1234568110.unknown _1234568107.unknown _1234568108.unknown _1234568106.unknown _1234568101.unknown _1234568103.unknown _1234568104.unknown _1234568102.unknown _1234568099.unknown _1234568100.unknown _1234568098.unknown _1234568089.unknown _1234568093.unknown _1234568095.unknown _1234568096.unknown _1234568094.unknown _1234568091.unknown _1234568092.unknown _1234568090.unknown _1234568085.unknown _1234568087.unknown _1234568088.unknown _1234568086.unknown _1234568083.unknown _1234568084.unknown _1234568082.unknown _1234568049.unknown _1234568065.unknown _1234568073.unknown _1234568077.unknown _1234568079.unknown _1234568080.unknown _1234568078.unknown _1234568075.unknown _1234568076.unknown _1234568074.unknown _1234568069.unknown _1234568071.unknown _1234568072.unknown _1234568070.unknown _1234568067.unknown _1234568068.unknown _1234568066.unknown _1234568057.unknown _1234568061.unknown _1234568063.unknown _1234568064.unknown _1234568062.unknown _1234568059.unknown _1234568060.unknown _1234568058.unknown _1234568053.unknown _1234568055.unknown _1234568056.unknown _1234568054.unknown _1234568051.unknown _1234568052.unknown _1234568050.unknown _1234568033.unknown _1234568041.unknown _1234568045.unknown _1234568047.unknown _1234568048.unknown _1234568046.unknown _1234568043.unknown _1234568044.unknown _1234568042.unknown _1234568037.unknown _1234568039.unknown 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