南京工业大学第PAGE\*MERGEFORMAT#页共5页南京工业大学高等数学B试卷(A)卷(闭)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的横线上)1、方程y_2-3y=1的一个特解为22yz’2、设yoz平面上曲线1绕z轴旋转所得到的旋转面方程为22bc3、设D:0乞y"：：'、a2-x2,0乞x乞a，由二重积分的几何意义知a2_x2_y2dxdy=Drrr4、已知向量c与a3)都垂直，且向量a，b，c构成右手系则c=.—25、曲面匕:x-3xy•z-8x-4=0在P(1,-3,2)处的切平面的法向量是、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的括号内)1、下列微分方程中()可以被称为是关于y的贝努里微分方程x3y2dx(B)xydyj(x1)ydx-xydxx2y22、设有直线L1U则L1,L2的位置关系为(4(A)异面(B)平行(C)垂直(D)相交3、对二元函数z=f(x,y)在点F0(x0,y0)处的下列叙述中正确的是()(a)若在P0处的偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在，则f(x,y)在P0处连续若fx(x0,y°)，fy(x°,y°)存在，则dz=fx(x°,y°)dxfy(x°,y°)dy若f(x,y)在P0处不连续，，则在F0处的偏导数必不存在(D)若f(x,y)在F0处的两个偏导数连续，则f(x,y)在F0处必可微分4、若区域D为(1,1)，(一1,一1)，(-1,1)三点围成的区域，D是D在第一象限的部分,2TOC\o"1-5"\h\z贝u11xydxdy=()D(C)0(D)x2ydxdyD(A)2x2ydxdy(B)4x2ydxdyD[D[5、下列关于数项级数的叙述中正确的是().（A）若vUn收敛，则vUn.100收敛oooo(B)若aun收敛，则aUn收敛n=1Un1(C)若limnT«UnPel,则送比收敛(D)若'(UnoO-Unj）收敛，则7un收敛n=1三、计算与解答题（本部分共有7小题，55分，注意每小题的分数不完全相同）1、（7分）求微分方程巴2ydxx•厂(x1)5的通解。;：2zz垂直的平面方程.42、(7分)设z=xycos(x-2y)求x3、（7分）求过点M0（1,3,-1）并且与直线一34、（7分）计算「Isinydxdy，其中d是由直线y=x与y=.x所围成的闭区域。5、（9分）求出幕级数'(-1)n的收敛域及其和函数6、（9分）设函数z=z(x,y)由方程Fxz+)=0确定，求dzx7、（9分）求方程y2xy的通解2四、应用题（8分）试求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.五（本题7分）要求用两种不同的方法计算二重积分X2（a0）（注意如果用一种方法正确解出可得4分)一、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分)1、2、2y_b22z-2c选择题（本题共4小题,每小题3分,满分12分）x2y21a3dxdy，其中D:4、(4,-1,-3)x2y2込a25、（3厂3,1）1(A)2、(A)3、(D)4、(A)5、(A)三、计算与解答题（本部分基本是书上例题，如有错误，请各位查书）1、（本题7分）解:解:因Px)=2一"Rx)dx积分因子e=e1x'1dX2、3、方程两边乘两边积分:通解为:解:解:(X1)2jx2dz平面法向量(X1)21得到((x-1)2=(x51)2(X1)2(X1)2，(x1)2y=(x1)汕=詼=(x1)2[|(x-sin(x-2y)=厶(兰)=12cos(x-2y).X:为-x-X=(3,-2,4)。由平面的点法式方程可知，所求的平面方程为1)3(x-1)_2(y_3)4(z4、解:5、解:原式=^dy二3x-2y4z7=0-■7yy2siny1dx==©(siny-ysiny)dy=[sinydy-[ysinydy=1-sin■7分xn2xn1Ub*(x)limn芥：1=limn)：：1n1所以，当xO0-1时，级数为'n=0-1，此时发散；当Xn1od—1时，级数为'(一1)n=01，此时收敛，所以收敛域为n1:::1,即一1:X:::1时，幂级数绝对收敛(-1,1]4分□0设s(x)二'(-1)nn=0::xn1::—1：：X：：1,s(x)(-1)n(X)='(-1)nxnn=0n+1n=0所以°s(x)dxdx=Sx)-s(0)=ln(1x)二Sx)=ln(1x)5分6、解：设TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark18"zzGx,y,z)二F(x,y)则yxzz11Gx十F「Rq沙（〒）"二兀取所以zGj尹xG1f•1f2yx.:zqz_2yF1F2行一-F2yxF1-z2F2dz=-Xdx11FF2yx1y（若用其他方法解，自己掌握）-F1F2yF1dy9分F27、解：令y'p，则y，空，方程化为dxdpdx2xp1x2分离变量并两边积分得到2Inp=ln(1x)InG2=y"=G(1x)-5分y=G(x〔x3)C239分四、应用题（8分）解：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z则表面积为2xy亠2xz亠2yz，体积为V=xyz设乘数函数：F（x,y,z）2二xyz(2xy2xz2yz-a)则由Fx=yz+2?(y+z)=0Fy=xz+2?(x十z)=0—唯一驻点x=y=zFz=xy+2?(x+y)=02xy+2xz+2yz=a2由实际问题可知，体积的最大值确实存在，因此当长方体的长宽高都为a—时，可使体积最大a五、（本题7分）解法一：利用极坐标计算：令x=rcos二y6rsindX2dxdy=yd2-•a0de^cosvrdr2二1cos2r1=.0-4分解法二：利用对称性:IfDX2dxdy=DX2X2dx2y21dxdy=X22dxdy，因此,ydxdy+yd2y2—dxdy=xy2X2■:a22y2X■3分dxdy】
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