专题22 函数与导数综合-2019年高考数学母题题源系列（浙江专版）（原卷版）

专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 22函数与导数综合【母题来源一】【2019年高考浙江卷】已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有，求的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数．【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．【解析】（1）当时，．，所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）由，得．当时，等价于．令，则，设，则．（i）当时，，则．记，则．故 1 0 + 单调递减 极小值 单调递增所以，因此．（ii）当时，．令，则，故在上单调递增，所以．由（i）得，．所以，因此．由（i）（ii）知对任意，，即对任意，均有．综上所述，所求a的取值范围是．【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性，已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】已知函数f(x)=−lnx．（1）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；（2）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由题可得，由得，因为，所以．由基本不等式得．因为，所以．由题意得．设，则，所以 x （0，16） 16 （16，+∞） - 0 + 2-4ln2 所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，故，即．（2）令m=，n=，则f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，f（n）–kn–a<≤<0，所以存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点．由f（x）=kx+a得．设h（x）=，则h′（x）=，其中g（x）=．由（1）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根．综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知函数．（1）求的导函数；（2）求在区间上的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，，所以．（2）由，解得或．则 x （，1） 1 （1，） （，） – 0 + 0 – 0 又，所以在区间上的取值范围是．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值．【命题意图】考查导数的几何意义、导数公式和导数的四则运算法则、导数在研究函数中的应用，考查数学式子变形能力、运算求解能力、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】从近几年高考来看，浙江卷高考数学在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一般有三个层次：（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；（3）综合考查，如函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题．【 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 总结】1．常见基本初等函数的导数公式；；；．2．常用的导数运算法则法则1：．法则2：．法则3：．3．复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．4．求曲线y=f(x)的切线方程的类型及方法（1）已知切点P(x0，y0)，求y=f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求y=f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k=f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f′(x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程．（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．5．导数与函数的单调性利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：（1）求f′(x)；（2）确认f′(x)在(a，b)内的符号；（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．6．由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．7．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数极值的方法：①确定函数的定义域．②求导函数．③求方程的根．④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．8．求函数f(x)在[a，b]上最值的方法（1）若函数f(x)在[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f(x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a，b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定．9．函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．10．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．11．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．12．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可．（2）函数思想法先将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解．1．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围．2．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】已知函数．（1）判断的单调性；（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围．3．【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）求证：．4．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】已知函数，且曲线在点处的切线方程为．（1）求实数，的值；（2）函数有两个不同的零点，，求证：．5．【浙江省七彩联盟2018-2019学年第一学期高三11月期中考试】已知函数．（1）证明：函数存在唯一的极值点，并求出该极值点；（1）若函数的极值为，试证明：．6．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】设，函数．（1）证明：当时，对任意实数，直线总是曲线的切线；（2）若存在实数，使得对任意且，都有，求实数的最小值．7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】已知，，其中，为自然对数的底数．（1）若函数的切线经过点，求方程；（2）若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．8．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末考试】已知函数，其中为实数．（1）若函数的图象关于点对称，求的解析式；（2）若，且，为函数的极小值点，求的取值范围．9．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：．10．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知函数，，曲线与有且仅有一个公共点．（1）求的值；（2）若存在实数，，使得关于的不等式对任意正实数恒成立，求的最小值．11．【浙北四校2019届高三12月模拟考试】设，已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最小值；（3）若，求使方程有唯一解的的值．12．【浙江省2019年高考模拟训练卷三】知函数，．（1）求的单调区间；（2）证明：存在，使得方程在上有唯一解．13．【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】设函数，．（1）求函数在处的切线方程；（2）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值；（3）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围．21