第十一章　选修4－5　不等式选讲

第十一章选修系列选修4－5　不等式选讲*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 练下页末页上页首页[基础梳理]1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤_______，当且仅当______时，等号成立；(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么____________________，当且仅当_______________时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页2．绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集： 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a或x<－a} {x∈R|x≠0} R(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔______________；②|ax＋b|≥c⇔_______________________．－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页3．基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥____，当且仅当_____时，等号成立．定理2：如果a，b>0，那么eq\f(a＋b,2)≥____，当且仅当_____时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a，b，c全为正实数，那么eq\f(a＋b＋c,3)≥_____，当且仅当________时，等号成立．4．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．2aba＝beq\r(ab)a＝beq\r(3,abc)a＝b＝c*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页1．一组重要关系|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a＞－b＞0时，等号成立．(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．2．两个等价关系(1)|x|＜a⇔－a＜x＜a(a＞0)．(2)|x|＞a⇔x＜－a或x＞a(a＞0)．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页3．一个关键解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．4．一个口诀解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来．”*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页[四基自测]1．不等式|x－1|<1的解集为(　　)A．(1，2)　　　　B．(0，2)C．(－1，1)D．(0，1)答案：B2．不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集为________．答案：(－∞，4)*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页3．不等式|x＋1|>|x－1|的解集为________．答案：(0，＋∞)4．若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)＜x＜\f(1,3)))))，则a＝________．答案：－3*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页考点一　解绝对值不等式eq\x(◄考基础——练透)[例1]　(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象．(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页解析：(1)如图所示：(2)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4，x≤－1，,3x－2，－1＜x＜\f(3,2)，,4－x，x≥\f(3,2)，))|f(x)|＞1，*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页当x≤－1时，|x－4|＞1，解得x＞5或x＜3，所以x≤－1.当－1＜x＜eq\f(3,2)时，|3x－2|＞1，解得x＞1或x＜eq\f(1,3)，所以－1＜x＜eq\f(1,3)或1＜x＜eq\f(3,2).当x≥eq\f(3,2)时，|4－x|＞1，解得x＞5或x＜3，所以eq\f(3,2)≤x＜3或x＞5.综上，x＜eq\f(1,3)或1＜x＜3或x＞5，所以|f(x)|＞1的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪(1，3)∪(5，＋∞)．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页含绝对值不等式的解法 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 解读 适合 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型 公式法 利用公式|x|<a⇔－a<x<a(a>0和|x|>a⇔x>a或x<－a(a>0)直接求解不等式 |f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x) 平方法 利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负 |f(x)|≥|g(x)|⇔f2(x)≥g2(x) 零点分段法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解 |f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页 方法 解读 适合题型 图象法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数 如|f(x)|＋|g(x)|≥a可构造y＝|f(x)|＋|g(x)|－a或y＝|f(x)|＋|g(x)|与y＝a 几何意义法 |x－a|＋|x－b|>m(a>0，b>0，m>0) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示数轴上点x到a的距离与到b的距离之和大于m 形如|x－a|±|x－b|>m的形式*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数ƒ(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式ƒ(x)≥0的解集；(2)若ƒ(x)≤1，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，ƒ(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋4，x≤－1，,2，－1＜x≤2，,－2x＋6，x＞2.))可得ƒ(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页(2)ƒ(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故ƒ(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页考点二　绝对值不等式成立求参数eq\x(◄考能力——知法)[例2]　(2018·高考全国卷Ⅰ)已知ƒ(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式ƒ(x)＞1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式ƒ(x)＞x成立，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，ƒ(x)＝|x＋1|－|x－1|，即ƒ(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2，x≤－1，,2x，－1＜x＜1，,2，x≥1.))故不等式ƒ(x)＞1的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,2))))).*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|＜1成立．若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(2,a)))))，所以eq\f(2,a)≥1，故0＜a≤2.综上，a的取值范围为(0，2]．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页巧用“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值(1)求|a|－|b|的范围：若a±b为常数M，可利用||a|－|b||≤|a±b|⇔－|M|≤|a|－|b|≤|M|确定范围．(2)求|a|＋|b|的最小值：若a±b为常数M，可利用|a|＋|b|≥|a±b|＝|M|，从而确定其最小值．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页(2019·大庆模拟)设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋4|.(1)解不等式：f(x)>0；(2)若f(x)＋3|x＋4|≥|a－1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．解析：(1)原不等式即为|2x－1|－|x＋4|>0，当x≤－4时，不等式化为1－2x＋x＋4>0，解得x<5，即不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤－4,|2x－1|－|x＋4|>0))的解集是{x|x≤－4}．当－4<x<eq\f(1,2)时，不等式化为1－2x－x－4>0，解得x<－1，即不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4<x<\f(1,2),|2x－1|－|x＋4|>0))的解集是{x|－4<x<－1}．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页当x≥eq\f(1,2)时，不等式化为2x－1－x－4>0，解得x>5，即不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2),|2x－1|－|x＋4|>0))的解集是{x|x>5}．综上，原不等式的解集为{x|x<－1或x>5}．(2)∵f(x)＋3|x＋4|＝|2x－1|＋2|x＋4|＝|1－2x|＋|2x＋8|≥|(1－2x)＋(2x＋8)|＝9.∴由题意可知|a－1|≤9，解得－8≤a≤10，故所求a的取值范围是{a|－8≤a≤10}．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页考点三　不等式的证明eq\x(◄考基础——练透)[例3]　(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋eq\f(3（a＋b）2,4)(a＋b)＝2＋eq\f(3（a＋b）3,4)，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页证明不等式的方法与技巧(1)当已知与所求之间的关系较明显，从已知或不等式性质入手进行转换，可得到所求时，利用综合法．(2)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 法；如果待证明的命题以“至少”“至多”等方式给出或为否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．(3)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的求解或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略．绝对值三角不等式，则往往作为不等式放缩的依据．*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页1．已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8.(2)证明：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)≤eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).证明：(1)1＋a≥2eq\r(a)，1＋b≥2eq\r(b)，1＋c≥2eq\r(c)，相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8eq\r(abc)＝8.*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页(2)eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝ab＋bc＋ac，ab＋bc≥2eq\r(ab2c)＝2eq\r(b)，ab＋ac≥2eq\r(a2bc)＝2eq\r(a)，bc＋ac≥2eq\r(abc2)＝2eq\r(c)，相加得eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)≤eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页2．已知函数f(x)＝|x－eq\f(1,2)|＋|x＋eq\f(1,2)|，M为不等式f(x)<2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.解析：(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x，x≤－\f(1,2)，,1，－\f(1,2)<x<\f(1,2)，,2x，x≥\f(1,2).))当x≤－eq\f(1,2)时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页当－eq\f(1,2)<x<eq\f(1,2)时，f(x)<2；当x≥eq\f(1,2)时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0.因此|a＋b|<|1＋ab|.*考点一考点三考点二回顾教材夯实基础考点分类深度剖析课时规范练下页末页上页首页课时规范练