热力学与统计物理复习资料

热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理热力学·统计物理（第五版）（汪志诚编高等教育出版社）目录第一章热力学的基本规律…………………………………1第二章均匀物质的热力学性质……………………………3第三章单元系的相变………………………………………5第四章多元系的复相平衡和化学平衡热力学第三定律…8第六章近独立粒子的最概然分布…………………………12第七章玻尔兹曼统计………………………………………15第八章玻色统计和费米统计………………………………16第九章系综理论……………………………………………20例题……………………………………………………………21第一章……………………………………………………………21第二章……………………………………………………………22第三章……………………………………………………………26第四章……………………………………………………………28第六章……………………………………………………………30第七章……………………………………………………………30第八章……………………………………………………………32第一章热力学的基本规律1.1与其他物体既没有物质交换，也没有能量交换的系统称为孤立系；与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系；与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系。p31.2p9体胀系数1pVVTα∂=∂压强系数1V ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt β∂=∂等温压缩系数1TTVVpκ∂=−∂由1pTVVTpTpV∂∂∂=−∂∂∂，可得Tpακβ=1/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理1.3pVnRT=p11范德瓦耳斯气体：22()anpVnbnRTV+−=1.4顺磁性固体p13居里定律：CMHT=居里-外斯定律：CMHTθ=−M：单位体积的磁矩（磁化强度）；H：磁场强度；C、θ：常数1.5热力学第一定律p21：自然界一切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转换中能量的数量不变。1.6热容p21VVUCT∂=∂；ppHCT∂=∂理想气体：pVCCnR−=pVCCγ=；1VnRCγ=−；pVCCγ=1.7焓p23HUpV=+；HUpV∆=∆+∆1.8焦耳定律p23：气体的内能只是温度的函数，与体积无关。2iUnRT=，i：自由度1.9卡诺循环p28经历等温膨胀、绝热膨胀、等温压缩、绝热压缩四个准静态过程，效率为：211TTη=−2/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理1.10热力学第二定律p30克氏 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全完全变成有用功而不引起其他变化。1.11克劳修斯等式和不等式：p3612120QQTT+≤Q1：从T1吸取的热量；Q2：从T2吸取的热量。“=”：可逆热机；“<”：不可逆热机。1.12熵p39ddddQUpVSTT+==dddUTSpV=−1.13理想气体的熵p40,mmmm0dlnVCSTRVST=++∫,mmm0dlnpCSTRpST=−+∫第二章均匀物质的热力学性质2.1内能、焓、自由能、吉布斯自由能p51HUpVFUTSGUpVTSFpVHTS=+=−=+−=+=−ddddddddddddUTSpVHTSVpFSTpVGSTVp=−=+=−−=−+2.2麦克斯韦关系p53SVTpVS∂∂=−∂∂；pSTVpS∂∂=∂∂TVSpVT∂∂=∂∂；pTSVpT∂∂=−∂∂SVpT3/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理2.3热容p53-54VVVUSCTTT∂∂==∂∂pppHSCTTT∂∂==∂∂pVTpVpSVpVCCTTVTTT∂∂∂∂−==∂∂∂∂2TVTακ=对于理想气体，有pVCCnR−=2.4一个偏微分的数学关系：p54对于()[],,(,)STpSTVTp=，有pVTpSSSVTTVT∂∂∂∂=+∂∂∂∂2.5节流过程前后，气体的焓值相等。p572.6焦汤系数p57()11pppHTVVTVTpCTCµα∂∂==−=−∂∂2.7理想气体在节流过程前后温度不变。p572.8绝热膨胀p59pppSTTVVTpCTCα∂∂==∂∂2.9熵的积分表达式p600ddVVCpSTVSTT∂=++∂∫0ddppCVSTpSTT∂=−+∂∫2.10摩尔吉布斯函数Gmp61(ln)mGRTpϕ=+00,2ddmmpmHSTCTRTRRTϕ=−−∫∫如果把热容看成常量：4/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理,,00lnpmpmmmCTCSHRTRRϕ−=−+2.11斯特藩-波尔兹曼定律p66-67441144uJcucaTTσ===Ju：辐射通量密度；c：光速；u：辐射内能密度；a：积分常量；σ：斯特藩-波尔兹曼常数。2.12将热力学方程通过代换0pHµ→−，Vm→可得磁介质的热力学方程。p68m=MV为介质的总磁矩；H：磁场强度2.13绝热去磁致冷（推导）p69由完整微分条件可得0THSmHTµ∂∂=∂∂(1)在磁场不变时，磁介质的热容CH为HHSCTT∂=∂(2)偏微分的数学关系：STHTSTHHS∂∂∂=−∂∂∂(3)把(2)(3)代入(1)得0SHHTTmHCTµ∂∂=−∂∂(4)假设磁介质遵从居里定律：CVmHT=(5)把(5)代入(4)得：0SHTCVHHCTµ∂=∂(6)第三章单元系的相变3.1孤立系统处在稳定平衡状态的充分必要条件是：p760S∆<3.2等温等容系统处在稳定平衡状态的充分必要条件是：p770F∆>5/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理3.3等温等压系统处在稳定平衡状态的充分必要条件是：p770G∆>3.4平衡的稳定性条件：p790VC>，0TpV∂<∂假如子系统的温度由于涨落或某种外界影响而略高于介质，热量将从子系统传递到介质。根据0VC>，热量的传递将使子系统的温度降低，从而恢复平衡。假如子系统的体积由于某种原因发生收缩，根据0TpV∂<∂，子系统的压强将增高而略高于介质的压强，于是子系统膨胀而恢复平衡。3.5开系的吉布斯函数：p81ddddGSTVpnµ=−++,mTpGGnµ∂==∂为化学势，化学势等于摩尔吉布斯函数。这适用于单元系。3.6根据上述吉布斯函数p81,pnGST∂=−∂，,TnGVp∂=∂，,TpGnµ∂=∂3.7开系的内能、焓、自由能、巨热力势：p81ddddUTSpVnµ=−+ddddHTSVpnµ=++ddddFSTpVnµ=−−+ddddJSTpVnµ=−−−定义巨热力势JFnFGµ=−=−3.8单元系的复相平衡条件p82TTppαβαβαβµµ===（热平衡条件）（力学平衡条件）（相变平衡条件）3.9克拉珀龙方程（推导）p87当沿着平衡曲线由(T,p)变到(T+dT,p+dp)时，两相的化学势的变化相等，即：ddαβµµ=(1)化学势的全微分为：dddmmSTVpµ=−+(2)把(2)式代入(1)式，得：6/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理ddddmmmmSTVpSTVpααββ−+=−+(3)或：ddmmmmSSpTVVβαβα−=−(4)以L表示1mol物质由α相转变到β相吸收的相变潜热：()mmLTSSβα=−(5)把(5)代入(4)得：dd()mmpLTTVVβα=−(6)3.10蒸汽压方程p88根据克拉珀龙方程，α表示凝聚相，β表示气相，凝聚相的体积略去，气相看作理想气体，可得：21ddpLpTRT=近似认为相变潜热与温度无关，将上式积分得：lnLpART=−+3.11相变的分类p97一级相变：在相变点两相的化学势连续，但化学势的一级偏导数存在突变：(1)(2)(,)(,)TpTpµµ=(1)(2)TTµµ∂∂≠∂∂，(1)(2)ppµµ∂∂≠∂∂二级相变：在相变点两相的化学势和化学势的一级偏导数连续，但化学势的二级偏导数存在突变：222221111pppTTscTTTTvvTvTpvvpvpµµαµκ∂∂==−∂∂∂∂==∂∂∂∂∂=−=−∂∂根据二级相变在邻近的相变点(T,p)和(T+dT,p+dp)两相的比熵和比体积变化相等，即ds(1)=ds(2)和dv(1)=dv(2)的条件导出二级相变点压强随温度变化的斜率公式：(2)(1)(2)(1)ddTTpTαακκ−=−(2)(1)(2)(1)dd()ppccpTTvαα−=−称为爱伦费斯特方程。现在习惯上把相变分为一级相变和连续相变两类。7/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理3.12朗道连续相变p102通常在临界温度以下的相，对称度较低、有序度较高、序参量非零；临界温度以上的相，对称度较高、有序度较低、序参量为零。随着温度的降低，序参量在临界点连续地从零变到非零。第四章多元系的复相平衡和化学平衡热力学第三定律4.1数学定理欧勒定理p110：对于齐函数f(x1,x2,…xk)，满足f(λx1,λx2,…λxk)=λmf(x1,x2,…xk)，对λ求导后令λ为1，可得：iiifxmfx∂=∂∑4.2由欧勒定理：p110,,jiiiiiiTpnVVnnvn∂==∂∑∑；,,jiiiiiiTpnUUnnun∂==∂∑∑,,jiiiiiiTpnSSnnsn∂==∂∑∑；,,jiiiiiiTpnGGnnnµ∂==∂∑∑vi,ui,si,μi分别是第i组元的偏摩尔体积、偏摩尔内能、偏摩尔熵、偏摩尔吉布斯函数（第i组元的化学势），其中只有μi是强度量。4.3吉布斯关系p111ddddiiiGSTVpnµ=−++∑对iiiGnµ=∑求全微分：dddiiiiiiGnnµµ=+∑∑根据以上两式，ddd0iiiSTVpnµ−+=∑这称为吉布斯关系，表明k+2个强度量T,p,μi(i=1,2,…,k)中只有k+1个是独立的。4.4由U,F,H的全微分表达式，化学势可以表为：p111,,,,,,jjjiiiiSVnSpnTVnUHFnnnµ∂∂∂===∂∂∂4.5对于多元复相系，每一相各有其热力学函数和热力学基本方程，例如对于α相：p111ddddiiiUTSpVnαααααααµ=−+∑8/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理4.6对于广延量，p112VVαα=∑，UUαα=∑，SSαα=∑，iinnαα=∑4.7在一般情形下，整个复相系不存在总的焓、自由能和吉布斯函数。仅当各相的压强相同时，总的焓才有意义，HHαα=∑；当各相的温度相同时，总的自由能才有意义，FFαα=∑；当各相的温度和压强都相同时，总的吉布斯函数才有意义，GGαα=∑。p1124.8多元系的复相平衡条件p113iiαβµµ=4.9吉布斯相律，多元复相系的自由度数：p1142fkϕ=+−每一相有k个组元；共φ个相。4.10化学平衡可写作p119A0iiiν=∑系数为正的是生成物，负的是反应物4.11在等温等压下发生化学反应，系统的焓变为：p120iipiHhQν∆==∑Qp为定压反应热4.12反应度p121babnnnnε∆−∆=∆−∆Δna表示任何ni均为非负值时Δn的最大值，相应于反应正向进行的最大限度；Δnb表示任何ni均为非负值时Δn的最小值，相应于反应逆向进行的最大限度。4.13混合气体的道尔顿分压定律p121iipp=∑4.14混合气体的物态方程p12112()kpVnnnRT=++⋅⋅⋅+4.15i组元在混合气体中的化学势等于纯i组元气体的化学势p122，'(,)iiTpµµ=根据知识点2.10和3.5，可求出μi。9/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理4.16混合理想气体的吉布斯函数p122[ln()]iiiiiiiGnnRTxpµϕ==+∑∑其中002ddiiipihsTcTRTRRTϕ=−−∫∫如果把热容看成常量：00lnpipiiiicTcshRTRRϕ−=−+4.17混合理想气体的熵p1230dln()ipiiiiGTSncRxpsTT∂=−=−+∂∑∫4.18混合理想气体的焓p123()0dipiiiGHGTSGTncThT∂=+=−=+∂∑∫4.19混合理想气体的内能p123()0diViiiGUHpVHpncTup∂=−=−=+∂∑∫4.20各组元气体混合后的熵增p123把第四章16点改写成：0dlnlnipiiiiiiTSncRpsRnxT=−++−∑∑∫则各组元气体混合后的熵增为lniiiCRnx=−∑4.21化学反应的平衡条件p125对于化学反应0iiiAν=∑，平衡条件为：0iiiνµ=∑将第四章16点中混合理想气体的化学势代入[ln()]0iiiiRTxpνϕ+=∑定义定压平衡常量：ln()()piiiKTTνϕ=−∑()ipiiKTpν=∏将pi=xip代入：10/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理(,)()ipiiKTppKTxνν−==∏反应正向进行的条件是：0iiiνµ<∑，()ipiiKTpν>∏4.22平衡常量的热力学公式p126002ln()()ddpiiiiiiiiiipiiKTThsTcTRTRRTνϕννν=−=−++∑∑∑∑∫∫如果温度范围变化不大，气体的热容可以看作常量，则上式简化为：ln()lnpAKTCTBT=−++其中0iiihARν=∑，0()iipiiscBRν−=∑，ipiicCRν=∑4.23以H2S+2H2O-3H2-SO2=0为例，初始时H2S有1/2mol，H2O有3/4mol，H2有2mol，SO2有1mol。反应的平衡条件为：p1262222HSHOHSO230µµµµ+−−=设终态的物质的量为：2222HSHOHSO13224231nnnnnnnn=+∆=+∆=−∆=−∆，，四式相加，总物质的量为4.25nn=−∆求出各个物质的物质的量分数xi，则23(0.5)(0.752)(4.25)()(23)(1)pnnnpKTnn+∆+∆−∆=−∆−∆4.24萨哈公式p12805211eHRTbpTε∆−=+ε：电离度；b：常量；ΔH0：摩尔电离能萨哈公式在恒星大气物理学中有重要应用。4.25热力学第三定律p129:不可能通过有限的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。11/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理4.26亲和势p129AG=−∆4.27在低温下，ΔH和ΔG是近似相等的。p1304.28热力学第三定律的另一表述p13100lim0TS→=第六章近独立粒子的最概然分布6.1三维：在体积V内，在ε到ε+dε的能量范围内，自由粒子的可能状态数：p173经典3/21/232π()d(2)dVDmhεεεε=相对论2334π()ddVDchεεεε=证明：如图，在球极坐标中，动量空间的体积元为2dddddsindsindddrppppppppθϕθθϕθθϕ=⋅⋅=(1)所以在体积V内，动量大小在p到p+dp，动量方向在θ到θ+dθ，φ到φ+dφ的范围内，自由粒子的可能状态数为23sindddVpphθθϕ(2)对θ由0到π积分，对φ由0到2π积分：22ππ23300d4π()ddsinddVppVDpppphhϕθθ==∫∫(3)在经典条件下，212,dd22ppmpmmmεεεε=⇒==代入(3)式得3/21/232π()d(2)dVDmhεεεε=(4)在相对论条件下，1,ddcpppccεεε=⇒==代入(3)式得2334π()ddVDchεεεε=(5)12/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理6.2二维：在面积L2内，在p到p+dp的动量范围内，自由粒子的可能状态数：222π()ddLDpppph=在面积L2内，在ε到ε+dε的能量范围内，自由粒子的可能状态数：222π()ddLmDhεεε=证明：在极坐标中，动量空间的体积元为ddddddrppppppθθθ=⋅=(1)所以在面积L2内，动量大小在p到p+dp，动量方向在θ到θ+dθ的范围内，自由粒子的可能状态数为22ddLpphθ(2)对θ由0到2π积分：222π220d2π()dddLppLDpppphhθ==∫(3)在经典条件下，212,dd22ppmpmmmεεεε=⇒==代入(3)式得222π()ddLmDhεεε=(4)6.3一维：在长度L内，在p到p+dp的动量范围内，自由粒子的可能状态数：2()ddLDppph=在长度L内，在ε到ε+dε的能量范围内，自由粒子的可能状态数：1/22()dd2LmDhεεεε=证明：在长度L内，动量大小在p到p+dp的范围内，自由粒子的可能状态数为（注意到有两个方向）：2d()dLpDpph=(1)在经典条件下，212,dd22ppmpmmmεεεε=⇒==代入(1)式得1/22()dd2LmDhεεεε=(2)13/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理6.4全同粒子全同粒子是有具有完全相同的内禀属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子。6.5近独立粒子近独立粒子组成的系统，是指系统中粒子之间相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量。6.6全同性原理全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。6.7等概率原理对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。6.8玻色子自旋量子数为整数的粒子，例如光子、π介子6.9费米子自旋量子数为半整数的粒子，例如电子、μ子、质子、中子等自旋量子数都是1/26.10泡利不相容原理在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多容纳一个费米子。6.11分布p178能级ε1,ε2,…,εl,…简并度ω1,ω2,…,ωl,…粒子数a1,a2,…,al,…玻尔兹曼系统的微观状态数（粒子可分辨）M.B.!!lallllNΩaω=∏∏玻色系统的微观状态数（粒子不可分辨）B.E.(1)!!(1)!lllllaΩaωω+−=−∏费米系统的微观状态数（粒子不可分辨，且每个个体量子态只能容纳一个粒子）F.D.!!()!lllllΩaaωω=−∏14/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理6.12经典极限条件p187e1α，1llaω，31nλ此时M.B.B.E.F.D.!ΩΩΩN≈≈第七章玻尔兹曼统计7.1玻尔兹曼系统p190配分函数1lllZeβεω−=∑粒子数1NeZα−=内能1lnZUNβ∂=−∂广义力1lnNYZyβ∂=−∂（例：1lnNpZVβ∂=∂）7.2玻尔兹曼关系p193lnSkΩ=玻尔兹曼关系给熵函数以明确的统计意义，某个宏观状态的熵等于波尔兹曼常量k乘以相应的微观状态数的对数。7.3平动的配分函数p2112223/2()213212πeddddddxyzppptmxyzmZxyzpppVhhββ−++==∫7.4速率p198最概然速率2mpkTvvm==平均速率8πkTvm=方均根速率23skTvvm==7.5能量均分定理p200对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于12kT。7.6理想气体的内能和热容p206平动15/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理3/2t122πmZVhβ=t133ln22tNUNZNkTββ∂=−==∂t32VCNk=振动/2v1e1eZβωβω−−=−v1/ln22e1e1VVVVTNkNkNNUNZβωθθθωωβ∂=−=+=+∂−−22//v/2/2ee(e1)(e1)VVTkTVVkTTVUCNkNkTkTTθωωθθω∂===∂−−式中/Vkθω=为特征温度。7.7理想气体的熵p212粒子可分辨：11lnlnSNkZZββ∂=−∂粒子不可分辨：11lnlnln!SNkZZkNββ∂=−−∂7.8爱因斯坦固体p214配分函数：/211eZeβωβω−−=−第八章玻色统计和费米统计8.1玻色系统p226巨配分函数(1)lllΞeωαβε−−−=−∏lnln(1)lllΞeαβεω−−=−−∑平均粒子数lnNΞα∂=−∂内能lnUΞβ∂=−∂广义力1lnYΞyβ∂=−∂（例：1lnpΞVβ∂=∂）熵(ln)lnSkΞNUkΩαβ=++=16/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理其中kTµα=−，1kTβ=8.2费米系统p227巨配分函数(1e)lllΞωαβε−−=+∏lnln(1e)lllΞαβεω−−=+∑8.3玻色—爱因斯坦凝聚p232在绝对零度下粒子将尽可能占据能量最低的状态。对于玻色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制，因此绝对零度下玻色粒子将全部处在ε=0的最低能级。在T<TC时就有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚。这一现象称为玻色—爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚。TC称为凝聚温度。凝聚在ε0的粒子集合称为玻色凝聚体。凝聚体不但能量、动量为零，由于凝聚体的微观状态完全确定，熵也为零。凝聚体中粒子的动量既然为零，对压强也就没有贡献。8.4光子气体p235德布罗意关系=pk，εω=，cpε=光子气体的统计分布e1lllaβεω=−·推导三维下，光子的量子态数、平均光子数、内能（普朗克公式）根据知识点6.1的结论，考虑到光子的自旋有两个投影，在体积V内，在动量p到p+dp的范围内，光子的量子态数：238π()ddVDpppph=根据德布罗意关系p=ħω/c，在体积V内，在圆频率ω到ω+dω的范围内，光子的量子态数：223()ddπVDcωωωω=在体积V内，在圆频率ω到ω+dω的范围内的平均光子数2/23/()dde1πe1kTkTDVNcωωωωωω==−−辐射场的内能为323/(,)ddπe1kTVUTNcωωωωωω==−·推导二维下，光子的量子态数、平均光子数、内能根据知识点6.2的结论，考虑到光子的自旋有两个投影，在面积A内，在动量p到p+dp的范围内，光子的量子态数：17/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理24π()ddADpppph=根据德布罗意关系p=ħω/c，在面积A内，在圆频率ω到ω+dω的范围内，光子的量子态数：2()ddπADcωωωω=在面积A内，在圆频率ω到ω+dω的范围内的平均光子数/2/()dde1πe1kTkTDANcωωωωωω==−−辐射场的内能为22/(,)ddπe1kTAUTNcωωωωωω==−8.5金属中的自由电子气p239根据费米分布，温度为T时处在能量为ε的一个量子态上的平均电子数为()/1e1kTfεµ−=+·三维非相对论下根据知识点6.1的结论，考虑到电子的自旋有两个投影，在体积V内，在能量ε到ε+dε的范围内，电子的量子态数：3/21/234π()d(2)dVDmhεεεε=在体积V内，在能量ε到ε+dε的范围内的平均电子数1/23/23()/4πd()d(2)e1kTVNfDmhεµεεεε−==+T=0K时，处在能量为ε的一个量子态上的平均电子数为1(0)0(0)fεµεµ<=>在给定电子数N、温度T、体积V时，求解费米能(0)(0)3/21/213002/3224π(0)()d(2)d(0)3π2fVNfDmhNmVµµεεεεµ===⇒=∫∫由2(0)2Fpmµ=求出费米动量21/3(3π)Fpn=费米速率21/3(3π)FFpnvmm==18/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理0K时气体的内能(0)(0)3/23/213004π3(0)()d(2)d(0)5fVNUfDmhµµεεεεεµ====∫∫0K时气体的压强2(0)2(0)(0)35UpnVµ==·三维相对论下根据知识点6.1的结论，考虑到电子的自旋有两个投影，在体积V内，在能量ε到ε+dε的范围内，电子的量子态数：2338π()ddVDchεεεε=在体积V内，在能量ε到ε+dε的范围内的平均电子数233()/8πd()de1kTVNfDchεµεεεε−==+T=0K时，处在能量为ε的一个量子态上的平均电子数为1(0)0(0)fεµεµ<=>在给定电子数N、温度T、体积V时，求解费米能(0)(0)2133001/328π(0)()dd(0)3πfVNfDchNcVµµεεεεµ===⇒=∫∫由(0)Fcpµ=求出费米动量21/3(3π)Fpn=费米速率22021/32222/3201(3π)(3π)FFFFFppvmvmcncvmcn==−⇒=+0K时气体的内能(0)(0)3133008π3(0)()dd(0)4fVUfDNchµµεεεεεµ====∫∫0K时气体的压强1(0)1(0)(0)34UpnVµ==·二维非相对论下根据知识点6.2的结论，考虑到电子的自旋有两个投影，在面积A内，在能量ε到ε+dε19/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理的范围内，电子的量子态数：24π()ddAmDhεεε=在面积A内，在能量ε到ε+dε的范围内的平均电子数2()/4πd()de1kTAmNfDhεµεεε−==+T=0K时，处在能量为ε的一个量子态上的平均电子数为1(0)0(0)fεµεµ<=>在给定电子数N、温度T、面积A时，求解费米能(0)(0)120024π(0)()ddπ(0)fAmNfDhNAmµµεεεµ===⇒=∫∫由2(0)2Fpmµ=求出费米动量2πFNpA=费米速率2πFFpNvmmA==0K时气体的内能(0)(0)12004π(0)()dd(0)2fAmNUfDhµµεεεεεµ====∫∫0K时气体的压强(0)(0)(0)2UnpAµ==第九章系综理论9.1系综p254设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的宏观条件下。我们把这大量系统的集合称为统计系综。9.2分类微正则系综p253：N、V、E确定，孤立系统正则系综p262：N、V、T确定，封闭系统巨正则系综p290：μ、V、T确定，开放系统20/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理例题第一章1.1p50题1.19均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2。试计算达到均匀温度121()2TT+后的熵增。解：设杆长为L，取x处的一小段dx，其初始温度为：211()TTTxxTL−=+在温度变化的过程中，dx左右两端的温度可以认为与dx的温度相等，因此可以认为dx在整个过程中经历连续的可逆过程。则dx的熵变为：1(12)d2()d()dTTxTxCSxTT+=∫式中Cdx为微元dx的热容，ddxpxCCL=，Cp为杆的热容。对上式积分得：12211d()lnd2()/2pCTTSxxLTTxLT+=−+这是整个过程中dx的熵变，由于熵是广延量，对dS(x)从0到L积分，记为杆的熵变：12112212lnlnln12pTTTTTTSCTT+−∆=−+−1.2p50题1.21物体的初温T1高于热源的温度T2，有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降到T2为止，若热机从物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理证明此热机所能输出的最大功为max212()WQTSS=−−，其中12SS−是物体的熵减少量。证明：物体在过程前后的熵变为：21SSS=−物热机进行可逆过程，熵变为零，热源的熵变为：22QWQSTT−==吸放源式中Q吸是热源吸收的热量，Q放是物体放出的热量。系统总的熵变必大于等于0，则2120QWSSSST−+=−+≥放源物212()WQTSS≤−−放即：max212()WQTSS=−−21/35热力学•统计物理（第五版）汪志诚编朱泽斌&尹韩整理第二章2.1p73题2.3求证：(a)0HSP∂<∂(b)0USV∂>∂证明：(a)dddHTSVp=+1dddVSHpTT=−()d,ddpHSSSHpHpHp∂∂=+&p