第二节 数量积 向量积数量积向量积一、数量积定义1对于两个矢量a和b(把它们的模|a|,|b|及它们的夹角(的余弦的乘积称为矢量和的数量积(记作ab,即ab=|a||b|cos(.由此定义和投影的关系可得ab(|b|Prjba=|a|Prjab.数量积的性质((1)a·a(|a|2,记a·a(a2，则a2(|a|2.(2)对于两个非零矢量a、b(如果a·b(0(则a(b反之(如果a(b(则a·b(0.如果认为零矢量与任何矢量都垂直(则a(b(a&...
数量积向量积一、数量积定义1对于两个矢量a和b(把它们的模|a|,|b|及它们的夹角(的余弦的乘积称为矢量和的数量积(记作ab,即ab=|a||b|cos(.由此定义和投影的关系可得ab(|b|Prjba=|a|Prjab.数量积的性质((1)a·a(|a|2,记a·a(a2，则a2(|a|2.(2)对于两个非零矢量a、b(如果a·b(0(则a(b反之(如果a(b(则a·b(0.如果认为零矢量与任何矢量都垂直(则a(b(a·b(0.定理1数量积满足下面运算律：(1)交换律(a·b(b·a(2)分配律((a(b)(c(a(c(b(c((3)((a)·b(a·((b)(((a·b)(((a)·((b)((((a·b)((、(为数(证（1）由定义知显然.(2)的证明(因为当c(0时(上式显然成立(当c(0时(有(a(b)(c(|c|Prjc(a(b)(|c|(Prjca(Prjcb)(|c|Prjca(|c|Prjcb(a(c(b(c(（3）可类似地证明.例1试用矢量证明三角形的余弦定理(证设在ΔABC中(∠BCA((||=a(||=b(||=c(要证c2(a2+b2(2abcos(记(a((b(=c(则有c(a(b(从而|c|2(c(c((a(b)(a(b)(a2-2(ab+b2(|a|2+|b|2(2|a||b|cos(a(^b)(即c2(a2+b2(2abcos(数量积的坐标表示:定理2设a({ax(ay(az}(b({bx(by(bz}(则a·b(axbx(ayby(azbz(证a·b((axi(ayj(azk)·(bxi(byj(bzk)(axbxi·i(axbyi·j(axbzi·k(aybxj·i(aybyj·j(aybzj·k(azbxk·i(azbyk·j(azbzk·k(axbx(ayby(azbz(定理3设a={},则矢量a的模|a|=.证由定理1.7.2知|a|2=a2=，所以|a|=.两矢量夹角的余弦的坐标表示(定理4设(((a(^b)(则当a(0、b(0时(有.证因为a·b(|a||b|cos(，所以.例2已知三点M(1(1(1)、A(2(2(1)和B(2(1(2)(求(AMB(解从M到A的向量记为a(从M到B的向量记为b(则(AMB就是向量a与b的夹角.a({1(1(0}(b({1(0(1}(因为a(b(1(1(1(0(0(1(1(((所以(从而.矢量的方向角和方向余弦：矢量与坐标轴所成的角叫做矢量的方向角，方向角的余弦叫矢量的方向余弦.定理5设a={}，则a的方向余弦为cos=,cos,cos；且，其中分别是矢量a与x轴，y轴,z轴的夹角.证因为ai=|a|cos且ai=，所以|a|cos=，从而cos=.同理可证coscos且显然二、向量积1、定义：对向量，若向量满足①的模，之间夹角；②的方向垂直于所决定的平面，且的指向满足右手法则；则称为的向量积，记为，即。①证：，故②若证：2、运算法则①反交换律②分配律③结合律3、向量积的坐标表示设，则记为证：注意到故注：，即对应坐标成比例。如某分母为零，则认为该分子也为零。例3、设，求与皆垂直的单位向量。解：故所求为例4、，是否与平行。解：，故与平行。例5、已知空间三点的面积。解：，，故_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1234567893.unknown_1234567890.unknown
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