……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理学习目标：1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)[自主预习·探新知]1．平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量 结论 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考：(1)0能与另外一个向量a构成基底吗？(2)平面向量的基底是唯一的吗？[提示] (1)不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．(2)不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．2．向量的夹角 条件 两个非零向量a和b 产生过程 作向量 范围 [0，π] 特殊情况 θ＝0° a与b同向 θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b θ＝180° a与b反向[基础自测]1．思考辨析(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( )(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.( )[解析] (1)错误．根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．(2)正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示．(3)错误．当e1与e2共线时，结论不一定成立．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．若△ABC是等边三角形，则120° [由向量夹角的定义知3．如图231所示，向量图2314e1＋3e2 [由图可知，[合作探究·攻重难] 用基底表示向量 (1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且①③其中正确的结论的序号为________．(2)如图232，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设图232[思路探究] 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．(1)①②③ [(1)如图，＝④(2)因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以＝－＝－[规律方法] 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义．(2)模型：[跟踪训练]1．在△ABC中，【导学号：84352209】图233A．－a＋C．A [∵又∵EF∥BC，∴∴＝ 向量的夹角 (1)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a，b的夹角等于________．(2)若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角.【导学号：84352210】[思路探究] 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．(1)120° [作则a，b夹角为180°－∠C.∵|a|＝1，|b|＝2，c⊥a，∴∠C＝60°，∴a，b的夹角为120°.](2)[解] 由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°.又∵∴a与a＋b的夹角是30°.[规律方法] 两向量夹角的实质与求解方法：1两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.2求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误.[跟踪训练]2．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝AC，则150° [如图所示，因为∠A＝120°，AB＝AC，所以∠B＝30°，所以 平面向量基本定理的唯一性及其应用[探究问题]若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？提示：由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2. 如图234所示，在△OAB中，【导学号：84352211】图234[思路探究] 可利用[解] ＝因为故可设又所以所以母题探究：1.将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点”，“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点”，求BP∶PN的值．图235[解] 因为O，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使所以又所以2．将本例中点M，N的位置改为“图236[解] 因为A，P，M三点共线，所以存在实数λ使得所以因为B，P，N三点共线，所以存在实数μ使得所以即所以[规律方法] 1.任意一向量基底表示的唯一性的理解： 条件一 平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2 条件二 a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2 结论 2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．[当堂达标·固双基]1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A.C.D [由于2．已知▱ABCD中∠DAB＝30°，则A．30°B．60°C．120°D．150°D [3．设D为△ABC所在平面内一点，若【导学号：84352212】A.B.C.D.A [因为所以所以3所以4．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．3 [因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，所以所以x－y＝3.]5．已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若【导学号：84352213】图237[解] ＝a＋PAGE1
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