〔2022•吉林〕如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E．DF⊥BC于点F．AD=2cm，BC=6cm，AE=4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M，假设点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm2，设EP=xcm，FQ=ycm．解答以下问题：〔1〕直接写出当x=3时y的值；〔2〕求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；〔3〕当x取何值时，图形M成为等腰梯形？图形M成为三角形？〔4〕直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积．〔1〕由等腰梯形的性质得：BE=EF=FC=2，在图形中找到等量关系SM=S△BPE+S△QFC+S梯形QFEP，代入三角形面积公式、梯形面积公式以及条件解答即可；〔2〕在图形中找到等量关系SM=S△BPE+S△QFC+S梯形QFEP，代入三角形面积公式、梯形面积公式以及x、y的取值范围解答即可；〔3〕假设图形M为等腰梯形〔如图1〕，那么EP=FQ，即x=-x+5，解得x=；假设图形M为等腰三角形，分两种情形：①当点P、Q、C在一条直线上时〔如图2〕，EP是△BPC的高；②当点B、P、Q在一条直线上时〔如图3〕，FQ是△BQC的高；可根据M的值及底边BC的长，分别求出两种情况下的x的值．〔4〕通过画图可发现，线段PQ扫过的局部是两个全等的三角形，且都是以x最小时AP的长为底，AD的长为高，在〔2〕中已经求得x的取值范围为1≤x≤4，所以此时AP=AE-xmin=3，那么线段PQ扫过的面积即为：2S=2××3×1=3，由此得解．解答：解：〔1〕由等腰梯形的性质得：BE=EF=FC=2，∴SM=S△BPE+S△QFC+S梯形QFEP=BE•xFC•y+•EF=×2x+×2y+×2=2〔x+y〕，把SM=10，x=3代入上式，解得y=2．〔2〕由等腰梯形的性质得：BE=EF=FC=2，∵S△BEP+S梯形PEFQ+S△FCQ=S梯形M，∴×2x+〔x+y〕×2+×2y=10，∴y=-x+5，由，得1≤x≤4．〔3〕假设图形M为等腰梯形〔如图1〕，那么EP=FQ，即x=-x+5，解得x=．∴当x=时，图形M为等腰梯形．假设图形M为等腰三角形，分两种情形：①当点P、Q、C在一条直线上时〔如图2〕，EP是△BPC的高，∴BC•EP=10，即×6x=10，解得x=；②当点B、P、Q在一条直线上时〔如图3〕，FQ是△BQC的高，∴BC•FQ=10，即×6×〔-x+5〕=10，解得x=；∴当x=或时，图形M为三角形．〔4〕线段PQ扫过的局部是两个全等的三角形，且都是以x最小时AP的长为底，AD的长为高，在〔2〕中已经求得x的取值范围为1≤x≤4，所以此时AP=AE-xmin=3，那么线段PQ扫过的面积即为：2S=2××3×1=3cm2；评分
说明
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：〔4〕中不写单位不扣分，线段PQ在运动过程中所能扫过的区域为图4中阴影局部．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质、三角形的面积公式以及梯形的面积公式；在解决动点类问题时，一定要注意分类讨论，以免漏解．2022广州中考2022北京中考在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。〔1〕在图1中证明；〔2〕假设，G是EF的中点〔如图2〕，直接写出∠BDG的度数；〔3〕假设，FG∥CE，，分别连结DB、DG〔如图3〕，求∠BDG的度数。
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