PAGE\*MERGEFORMAT#蒙日圆及其证明x2y2高考题(2019年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的a2b2一个焦点为(\；'5,0)，离心率为上亍•求椭圆c的
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方程；若动点P(x,y)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P00的轨迹方程．x2y2答案：(I)©+_4二］；(2)X2+y2=13.这道高考题的背景就是蒙日圆.普通
高中
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课程标准实验教科书《数学2•必修・A版》(人民教育出版社，2007年第3版，2019年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge1745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是定理1曲线r:旦+兰=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆a2b2x2+y2=a2+b2.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是(土a,b)，或(±a,-b).当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是(x,y)(x丰±a,且y丰±b)，所以可设曲线r的过点P的切线方程是0000y-y=k(x-x)(k丰0)00x2丄y2[+=1由
0,b>0.当a=b时，易证成立.下面只证明a>b的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是F,F，焦距是2c，过动点P的12两条切线分别是PA,PB，切点分别是A,B.fff设点F关于直线PA,PB的对称点分别为F,F，直线FF与切线PA交于点G，直线11211fFF与切线PB交于点H.12图7得AF‘=|AF|,BF‘=|BF|，再由椭圆的定义，得F’F=FF=2a，所以OG=OH=a.11211222因为四边形pgfh为矩形，所以由引理4得Ofb+Oph=|oGb+Ohb=2a2，所以11OP2=a2+b2，得点P的轨迹方程是x2+y2=a2+b2.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：TOC\o"1-5"\h\zx2y2定理2(1)双曲线一-厂=l(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆a2b2x2+y2=a2一b2；(2)抛物线y2=2px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.x2y2b2定理3(1)椭圆—+—=1(a>b>0)的两条斜率之积是-—的切线交点的轨迹方a2b2a2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.PAGE\*MERGEFORMAT#a2PAGE\*MERGEFORMAT#x2y2程是一+J二2；a2b2x2y2b2⑵双曲线忑-1二1(a>b>°)的两条斜率之积是忑的切线交点的轨迹方程是x2y2a2b2x2y2x2y2a2b200a2b2切线，则(1)当x0—±a时，所作的两条切线互相垂直；(2)当xoH±a时，所作的两条切线斜率之积是-07.定理5(1)椭圆—+二—1(a>b>0)的两条斜率之积是九(九丰0)的切线交点的轨迹a2b2r是：①当九=-1时，r即圆x2+y2—a2+b2(但要去掉四个点(±a，b),(土a,-b))；②当九<0且九1时，r即椭圆x2a2b2y2b2—九a2—1(但要去掉四个点(±a,b),(±a,—b))；TOC\o"1-5"\h\zb2bx2y2当九——时，r即两条直线y=±—x在椭圆—+——1(a>b>0)外的部分(但HYPERLINK\l"bookmark32"\o"CurrentDocument"a2aa2b2要去掉四个点(±a,b),(±a,—b))；b2y2x2x2y2当O<九<时，r即双曲线一=1在椭圆—+——1(a>b>0)a2b2—Ka2b2a2b2a2K外的部分(但要去掉四个点(±a,b),(±a,—b))；b2⑤当K>时,a2r即双曲线x2b2y2x2y2—1在椭圆一+]—1(a>b>0)夕卜Ka2—b2a2b2的部分（但要去掉四个点（土a,b）,（土a,-b））.⑵双曲线—-二二i（a＞b＞0）的两条斜率之积是九（九丰°）的切线交点的轨迹r是:a2b2①当九=一1时，r即圆x2+y2=a2一b2；②当九〉°时，r即双曲线x2y2—=1；b2九a2+b2'a2+九y2x2+=1；b2—入a2—b2a2+-九b2③当九＜—1或一1＜九＜—时，r即椭圆a2④当一＜九＜°时，r不存在.a2（3）抛物线y2=2px的两条斜率之积是九（九丰°）的切线交点的轨迹r是：当九＜°时，r即直线x=刍；当九〉°时，r的方程为x=＞金丿.例（北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题）已知OO:x2+y2=1.若直线y=kx+2上总存在点P，使得过点P的G＞O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是.解（—^,—1KJ[1,+^）.在图8中，若小圆（其圆心为点O，半径为r）的过点A的两条切线AB,AD互相垂直（切点分别为E,F），得正方形AEOF，所以|OA|=辺|OE|=y2r，即点A的轨迹是以点O为圆心，为半径的圆.图8由此结论可得:在本题中，点P在圆x2+y2=2上.所以本题的题意即直线y=kx+2与圆x2+y2=2有公共点，进而可得答案.注本题的一般情形就是蒙日圆.
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