2018年浙江省高中数学联赛试题及参考答案

2018年浙江省高中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 竞赛试卷参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 1.已知a为正实数，且11()1xfxaa=−+是奇函数，则()fx的值域为_______。解由()fx为奇函数可知1111,11xxaaaa−−=−+++解得2a=，即11()221xfx=−+，由此得()fx的值域为11(,)22−。2.设数列{}na满足111,51nnaaa+==+（1,2,n=），则2018n1na=∑=___________。解由111151515()4444nnnnnnaaaaa++=+⇒+=+⇒=−，所以2019201812201820181120185201858077(555)(51)441641616nna==+++−=−−=−∑。3.已知,αβ3,4ππ∈，cos()αβ+=4,5sin12,413πα−=则cos4πβ+=__________。解由,αβ3,4ππ∈，cos()αβ+=4,5得35sin(),cos()5413παβα+=−−=−，所以cos56cos()cos()sin()sin()44465πππβαβααβα+=+−++−=−。4.在八个数字2,4,6,7,8,11,12,13中任取两个组成分数。这些分数中有个既约分数。解在7,11,13中任取一个整数与在2,4,6,8,12中任取一个整数构成既约分数，共有1135230CC=种；在7,11,13中任取两个整数也构成既约分数，共有236A=中。合计有36种不同的既约分数。5.已知虚数z满足310z+=，则20182018111zzz+=−−______________。解32210(1)(1)010zzzzzz+=⇒+−+=⇒−+=，所以201820182018367222220183134511()11111()()zzzzzzzzzzz++++====−−−−。6.设10AB=。若平面上点P满足，对于任意tR∈，有3APtAB−≥，则PAPB⋅的最小值为______________，此时+PAPB=_______________。解由3APtAB−≥可知点P到直线AB的距离为3。设AB的中点为O。由极化恒等式得2222111{()()}{(2)10}{36100}16444PAPBPAPBPAPBPO⋅=+−−=−≥−=−。此时+PAPB=6。7.在△ABC中，7ABAC+=，且三角形的面积为4，则sinA∠的最小值为______。解由4974ABACABAC+=⇒×≤，又1327sinA4sinA,2492ABACABAC×∠=⇒∠≥==时取等号。8.设()|1||||2|fxxxx=++−−,则(())10ffx+=有__________个不同的解。解因为3,11,10()|1||||2|31,023,2xxxxfxxxxxxxx−−≤−−−<≤=++−−=−<≤+>由(())10ffx+=得到()2,fx=−或()0fx=。由()2,fx=−得一个解1x=−；由()0fx=得两个解13,3xx=−=，共3个解。9.设,xyR∈满足64+12=0xyxy−−−，则x的取值范围为______________。解由2264+12=0(2)(3)1xyxyxyy−−−⇒−−+−=。令222cos,3sin(2cos)(3sin)xyyxθθθθ−−=−=⇒=+++21452sin()(sin)13θϕϕ=++=，所以1421314213x−≤≤+。10.四面体PABC−，6PABC==，8PBAC==，10PCAB==，则该四面体外接球的半径为_________________。解将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为,,abc，则222222222108126abbcabcac+=+=⇒++=+=，所以四面体外接球的半径为3。二、解答 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 11.（本题满分20分）已知动直线l与圆O：221xy+=相切，与椭圆2219xy+=相交于不同的两点,AB。求原点到AB的中垂线的最大距离。解依题意可设:(0)lykxmk=+≠．因为直线l与圆O相切，所以，O到直线l的距离为1，即211mk=+………………………………………………………………5分这样的直线必与椭圆交于不同的两点1122(,),(,)AxyBxy，联立22,990ykxmxy=++−=，得222(19)18(99)0kxkmxm+++−=，得到1221819kmxxk+=−+。所以AB的中点坐标为229(,)1919kmmkk−++，…………………………10分AB的中垂线方程为2219()1919mkmyxkkk−=−+++，化简得28019kmxkyk++=+．O到直线中垂线的距离228191kmkdk+=+。……………………………………15分将211mk=+代入228191kmkdk+=+，得2819kdk=+．由均值不等式，2196kk+≥，故43d≤，当且仅当13k=时取等号。所以，当13k=,310||=m时，原点到AB的中垂线的最大距离为43。…………………………………20分12.（本题满分20分）设aR∈，且对任意实数b均有2[0,1]max1xxaxb∈++≥，求a的取值范围。解1设2()fxxaxb=++，对于1(0)1bf≥⇒≥，所以只要考虑1b<。……………………………………………………5分（1）当02a−≤时，即0,a≥此时函数()fx的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b<有(1)1(0),fabfb=++>=所以(1)11fab=++≥，解得1a≥。………………………………………………………………10分（2）当1022a<−≤时，即10a−≤<，此时函数()fx的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b=有()2111,()124aafaf−=+<−=<。（3）当1122a<−≤时，即21a−≤<−，此时函数()fx的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b=有()201,()124aafbf−=<−=<。………………15分（4）当12a−≥时，即2a≤−，此时函数()fx的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b<有()01,fb=<所以(1)11fab=++≤−，解得3a≤−。综上1a≥或3a≤−。……………………………………………………………20分解2设2[0,1]maxxmxaxb∈=++，则有,1211mbmabmbaba≥≥++⇒≥+++≥+依题意，111,2aa+≥⇒≥或3a≤−。13.（本题满分20分）设实数122018,,,xxx满足21+2(1,2,,2016)nnnxxxn+≤=和201811nnx==∏，证明：100910101xx≤。证明：由条件+2,nnxx同号。反证法，假设100910101xx>。（1）若10091010,xx同为正数，由+2,nnxx同号可知122018,,,xxx同号。……5分由2121009101010111+21100810091010nnnnnnnxxxxxxxxxxxxx++++≤⇒≤⇒≤≤1009101010111008101110081xxxxxx⇒≤⇒>…………………………………………10分同理100910091008101110121012100710121007100810071010101110101xxxxxxxxxxxxxx=•≤•=⇒>。类似可证明：1006101310051014120181,1,,1xxxxxx>>>。……………………15分因此201811nnx=>∏，矛盾。（2）若10091010,xx同为负数，由+2,nnxx同号可知122018,,,xxx均为负数，仍然有2121+21nnnnnnnxxxxxxx++++≤⇒≤，类似（1）可证得。…………………………20分14.（本题满分30分）将2n（2n≥）个不同整数分成两组1212,,,;,,,nnaaabbb。证明111(||||)ijjijiinijnjnabaabbn≤≤≤<≤≤≤−−−+−≥∑∑。证明令111(||||)nijjijiinijnjnTabaabb≤≤≤<≤≤≤=−−−+−∑∑，下面用归纳法证明nTn≥。当2n=时，不妨设121222,,aabbab<<<。2212211122121Tbabababaaabb=−+−+−+−−−−−，当11ab<⇒21112122Tbabbba=−+++−>；……………………5分当11ab>⇒222112Tbaab=−++>。……………………………………10分假设对正整数n成立，对正整数1n+，不妨设12112111,,nnnnaaabbbab++++<<<<<<<。再设11knkbab++<<，则有11111111111nnnnnnininininnniiiiTbaabaabbbaT+++++++=====−+−−−−−+−+∑∑∑∑………………………………………………………………………………15分下证111111110nnnnninininiiiiibaabaabb++++====−+−−−−−≥∑∑∑∑。由（1）11(1,2,,)knkbabkn++<<=，得到11111111nnnnninininiiiiibaabaabb++++====−+−−−−−∑∑∑∑112()0ninikba+=+=−>∑；…………………………………………………………25分（2）若11nab+<，则11111111nnnnninininiiiiibaabaabb++++====−+−−−−−∑∑∑∑11()0niniba+==−>∑。……………………………………………………………30分15.（本题满分30分）如图所示将同心圆环均匀分成n（3n≥）格。在内环中固定数字1~n。问能否将数字1~n填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？解答：设对应于内环1,2,…，n的外环数字为12,,,niii，它是数字1,2,…，n的一个排列。对1,2,,kn=，记外环数字ki在按顺时针方向转动kj格时，和内环数字相同，即mod,1,2,,kkikjnkn−≡=。……………………………………10分根据题意，12,,,njjj应是01,2,,1n−，的排列。求和()111mod(012(1))mod(1)mod2nnkkkkikjnnnnnn==−≡=++++−=−∑∑。于是n必须是奇数。……………………………………20分对于奇数n，我们取,,(1,2,,1)nmininmmn==−=−，可以验证modkkikjn−≡12120,2,4,,1,nnnnnjjjjn−−−−====−113122,4,6,,1,nnjnjnjnj−−=−=−=−=符合题目要求！……………………………………30分