模糊数学课件(清晰易懂)

模糊数学绪论* 产生1965年，L.A.Zadeh（扎德）发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 了文章《模糊集》(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353) 基本思想用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。如某员工属于优秀的程度为0.6,属于良好的程度为0.2，属于一般的程度为0.1，属于较差的程度为0.1。模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择； 模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论模糊彩色电视机——可根据室内的光线、距离屏幕的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。 模糊空调器——由于用微机进行模糊控制，到了设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的工作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。 模糊煮饭器——一次最多可煮1.8升米饭，内装锅体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时，每分钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊理论对火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松软可口。下面我们正式走进模糊的世界一、经典集合与模糊集合模糊集合.uAA.u非此及彼亦此亦彼UA模糊集合,元素x若x位于A的内部，则用1来记录，若x位于A的外部，则用0来记录，若x一部分位于A的内部，一部分位于A的外部，则用x位于A内部的长度来表示x对于A的隶属程度。越接近于0,表示x隶属于A的程度越小；越接近于1,表示x隶属于A的程度越大；＝0.5,最具有模糊性，过渡点模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：例1.有100名消费者，对5种商品评价，结果为：81人认为x1质量好，53人认为x2质量好，所有人认为x3质量好，没有人认为x4质量好，24人认为x5质量好则模糊集A（质量好）例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集，u=20∉A，40呢？…札德给出了“年老”集函数刻画:10U50100再如，Y=“年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：1050U二、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义模糊集合的运算例3.则：0.30.910.80.60.20.10.80.30.5并交余计算的性质1.幂等律2.交换律3.结合律4.吸收律6.0-1律7.还原律8.对偶律5.分配律三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。模糊统计试验过程：对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间， 18-25 17-30 17-28 18-25 16-35 14-25 18-30 18-35 18-35 16-25 15-30 18-35 17-30 18-25 18-35 ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ 15-30 18-30 17-25 18-29 18-28对年龄27作出如下的统计处理：A(27)=0.78 n 10 20 30 40 50 60 70 隶属次数 6 14 23 31 39 47 53 隶属频率 0.60 0.70 0.77 0.78 0.78 0.78 0.76 n 80 90 100 110 120 129 隶属次数 62 68 76 85 95 101 隶属频率 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78 2、指派方法一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。偏小型：适合描述“小”“少”“冷”“浅”“疏”“青年”等偏大型：适合描述“大”“多”“热”“深”“密”“老年”等中间型：适合描述“中”“不太多”“不太深”“不太浓”“暖和”“中年”等处于中间状态的模糊现象。常用的模糊分布3、其它方法（1）选择专家；（2）确定影响债权价值的因素，设计价值分析对象征询意见表；（3）向专家提供债权背景资料，以匿名方式征询专家意见；（4）对专家意见进行分析汇总，将统计结果反馈给专家；（5）专家根据反馈结果修正自己的意见；（6）经过多轮匿名征询和意见反馈，形成最终分析结论。四、模糊关系与模糊矩阵1.模糊关系的定义所谓A，B两集合的直积 中的一个模糊关系R，是指以　　　为论域的一个模糊子 集，序偶　　　的隶属度为　 　 一般地，若论域为n个集合的直积　　　　　　　，则它所 对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函数　　　　　　　　。显然当隶属度函数值只取“0”或“1”时， 模糊关系就退化为普通关系。假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，其余按具体相似程度给出一个0~1之间的数，就可确定出一个U上的模糊关系R，列表如下设有七种物品：苹果、乒球、书、篮球、花，桃、菱形组成的一个论域U，并设　x1,x2···x7　分别为这些物品的代号，则现在就物品两两之间的相似程度来确定它们的模糊关系。 R 苹果x1 乒乓球x2 书x3 篮球x4 花x5 桃x6 菱形x7 苹果x1 1.0 0.7 0 0.7 0.5 0.6 0 乒乓球x2 0.7 1.0 0 0.9 0.4 0.5 0 书x3 0 0 1.0 0 0 0 0.1 篮球x4 0.7 0.9 0 1.0 0.4 0.5 0 花x5 0.5 0.4 0 0.4 1.0 0.4 0 桃x6 0.6 0.5 0 0.5 0.4 1.0 0 菱形x7 0 0 0.1 0 0 0 1.0四、模糊矩阵例如：（1）模糊矩阵间的关系及运算（2）模糊矩阵的合成定义：设称模糊矩阵为A与B的合成，其中。即：定义：设A为阶，则模糊方阵的幂定义为例5：（3）模糊矩阵的转置性质：显然，截矩阵为Boole矩阵。截矩阵的性质：性质1.性质2.性质3.性质4.（5）特殊的模糊矩阵定义：若模糊方阵满足则称A为自反矩阵。例如是模糊自反矩阵。定义：若模糊方阵满足则称A为对称矩阵。例如是模糊对称矩阵。定义：若模糊方阵满足则称A为模糊传递矩阵。例如是模糊传递矩阵。模糊聚类分析一、基本概念及定理模糊聚类分析定理：R是n阶模糊等价矩阵是等价的Boole矩阵。模糊聚类分析例6：设　　　　　　　　　　对于模糊等价矩阵模糊聚类分析定义：设是阶模糊方阵，是阶单位方阵，若满足（1）自反性：（2）对称性：（3）传递性：则称为模糊等价矩阵。_1214332402.unknown_1214332740.unknown_1214333469.unknown_1348757320.unknown_1214333156.unknown_1214332479.unknown_1214332373.unknown_1214332393.unknown_1214332335.unknown定理：设是阶模糊等价矩阵，则EMBEDEquation.3所决定的分类中的每一个类是所决定的分类中的某个子类。_1214333000.unknown_1214333080.unknown_1214333106.unknown_1214333040.unknown_1214332992.unknown该定理表明，当时，的分类是分类的加细，当由1变到0时，的分类由细变粗，形成一个动态的聚类图。_1214333282.unknown_1214333283.unknown_1214333337.unknown_1214333281.unknown模糊聚类分析画出动态聚类图如下：0.80.60.50.41模糊聚类分析当时，分类为_1214334309.unknown_1214334328.unknown当时，分类为_1214334579.unknown_1214334607.unknown例7：设有模糊相似矩阵模糊聚类分析当时，分类为_1214334660.unknown_1214334668.unknown当时，分类为_1214334705.unknown_1214334717.unknown当时，分类为_1214334758.unknown_1214334766.unknown （1）Q型聚类：对多种属性指标的不同样本对象进行归类； （2）R型聚类：对多个样品对象的不同属性指标进行归类； R型聚类分析的主要作用是： 1、不但可以了解个别变量之间的关系的亲疏程度，而且可以了解各个变量组合之间的亲疏程度。 Q型聚类分析的优点是： 1、可以综合利用多个变量的信息对样本进行分类； 2、分类结果是直观的，聚类谱系图非常清楚地表现其数值分类结果； 3、聚类分析所得到的结果比传统分类方法更细致、全面、合理。模糊聚类分析Q型与R型聚类分析：二、模糊聚类的一般步骤１、建立数据矩阵模糊聚类分析定义：设是阶模糊方阵，是阶单位方阵，若满足（1）自反性：；（2）对称性：；则称为模糊相似矩阵。_1214334881.unknown_1214335068.unknown_1214335081.unknown_1214335111.unknown_1214334905.unknown_1214334860.unknown_1214334873.unknown_1214334819.unknown（1）标准差标准化模糊聚类分析定理：设是阶模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数，使得为模糊等价矩阵，且对一切大于的自然数，恒有_1214335399.unknown_1214335505.unknown_1214335613.unknown_1214335634.unknown_1214335592.unknown_1214335440.unknown_1214335379.unknown模糊聚类分析２、建立模糊相似矩阵（指标属性点间的距离）（1）相似系数法模糊聚类分析对于第个变量进行标准化，就是将换成，即式中：_1214337110.unknown_1348639085.unknown_1349089062.unknown_1214337170.unknown_1214337088.unknown（2）距离法（样本点间的距离）模糊聚类分析（3）贴近度法模糊聚类分析3、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法（将相似矩阵化为等价矩阵）步骤：模糊聚类分析模糊聚类分析解：由题设知特性指标矩阵为采用最大值规格化法将数据规格化为模糊聚类分析用最大最小法构造模糊相似矩阵得到模糊聚类分析用平方法合成传递闭包模糊聚类分析1求出模糊相似矩阵的传递闭包；2按由大到小进行聚类；3画出动态聚类图。_1214376092.unknown_1214376318.unknown_1214376068.unknown取，得模糊聚类分析模糊聚类分析画出动态聚类图如下：模糊聚类分析><(2)最大树法由我国吴望名教授提出,设R是有限论域X上的模糊关系,称二元有序组G=(X,R)为模糊关系图.给定X上的模糊关系R后,可根据Kruskal法得到图G=(X,R)的一棵最大树,具体做法如下:><先画出被分类的元素集.从R中按rij从大到小的顺序依次连枝,标上权重.若在某一步会出现回路,便不画那一步.直到所有元素连通为止,这样便得到一棵最大树.取定[0,1]，砍断权重低于的枝,就可得到一个不连通的图,各连通分支就构成了在水平上的分类.这种模糊聚类方法叫做最大树法.><><(3)编网法由我国赵汝怀教授提出,它是直接由模糊相似矩阵R出发，经过“编网”直接完成聚类的。具体做法是：取定水平[0，1]，求得截矩阵R，并将R的主对角线上填入元素，在主对角线的下三角部分，以“*”号代替R中的“1”，而“0”则略去。由“*”号向主对角线上引经线（竖线）和纬线（横线），即称之为“编网”，凡能由经线和纬线互相连结的元素则属于同类。(上例)4、最佳阈值的确定（确定多少类才合适）模糊聚类分析（1）按实际需要，调整λ的值，或者是专家给值。（2）用F-统计量确定最佳λ值。模糊聚类分析第j类中第k个变量的平均值:设对应于λ的分类数为r，第j类的样品数为nj,j类的样本记为:被分成4类：_1214379100.unknown_1214379388.unknown模糊聚类分析定义F-统计量为:表征了类与类之间的距离表征类内样品间的距离F越大,表明类间的差异越大,分类效果就越好。被分成3类：_1214379100.unknown_1214379542.unknown假设各类差异不明显，对于给定的检验水平α，查Fα(r-1,n-r)分布表，得临界值Fα，若F>Fα,则认为各类之间有明显的差异。F服从自由度为r-1，n-r的F分布。模糊聚类分析的简要流程:模糊模式识别模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。模糊模式识别在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题——点对集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题——集对集。模糊模式识别点对集——1.问题的数学模型(1)第一类模型：设在论域X上有若干模糊集：A1，A2，…，AnF(X)，将这些模糊集视为n个标准模式，x0X是待识别的对象，问x0应属于哪个标准模式Ai(i=1，2，…，n)?(2)第二类模型：设AF(X)为标准模式，x1,x2,…,xnX为n个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个xi(i=1，2，…，n)?模糊模式识别一最大隶属原则最大隶属原则Ⅰ：最大隶属原则Ⅱ：模糊模式识别把x=88分别代入上述三个隶属函数，得:据原则Ⅰ，88分相对三个模型应隶属于，即可评为优。原则Ⅱ的例子由计算结果可知，第三位同学的成绩最靠近优。据原则Ⅱ应首先聘任第三位同学。把三个同学的英语成绩分别代入隶属函数:得:给出分类数r输入样本个数n输入特征变量个数m2.贴近度及其择近原则(1)贴近度贴近度是描述模糊集之间彼此靠近程度的指标,是我国学者汪培庄教授提出的,由于研究的问题不同,贴近度也有不同的定义形式,它的一般定义为:设A，B是论域U上的两个模糊子集，则称为A与B的贴近度。待识别对象归入Ai0类。计算_1214942366.unknown求传递闭包_1214942450.unknown(3)实用贴近度实际工作中实用的几个贴近度计算公式：输出动态聚类图确定最佳分类阈值_1214942609.unknown例：茶叶的模型识别论域U={茶叶},其等级标准模型库待识别的茶叶样品为B,衡量茶叶质量指标为:条索,色泽,净度,汤色,香气和滋味。模型库与样品的有关数据如右表。贴近度计算公式: 质量指标 模型 样品 条索 0.5 0.3 0.2 0.0 0.0 0.4 色泽 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2 净度 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 汤色 0.6 0.1 0.1 0.1 0.1 0.4 香气 0.5 0.2 0.1 0.1 0.1 0.5 滋味 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 0.6是否选择最佳分类？输出分类结果按择近原则:结束设为给定的论域U上的m个模糊模式，为一个待识别对象，若，则认为优先归属于模糊模式。_1214505010.unknown_1214505128.unknown_1214505147.unknown_1214505052.unknown_1214504888.unknown设A为给定论域U上的一个模糊模式，为U中的个待识别对象，若，则认为优先归属于模糊模式A。_1214504094.unknown_1214504278.unknown_1214504388.unknown_1214504067.unknown贴近度计算改用：上述两种计算贴近度公式，计算数值不同，但归类果一样，那一种更好？茶叶样品阈值原则：有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：例如已知“青年人”模糊集Y，其隶属度 规定为 对于x1=27岁及x2=30岁的人来说，若取阈值1=0.7，故认为27岁和30岁的人都属于“青年人”范畴。则因Y(27)=0.862>1，而Y(30)=0.5<1，故认为27岁的人尚属于“青年人”，而30岁人的则不属于“青年人”。若取阈值2=0.5，则因Y(27)=0.862>2,而Y(30)=0.5=2，模糊综合评判一级模糊综合评判模糊综合评判模糊综合评判模糊综合评判a）最小最大贴近度b）最小平均贴近度_1214509180.unknown_1214509330.unknownc）海明贴近度d）欧几里得贴近度_1214509467.unknown_1214509648.unknown模糊综合评判模糊综合评判例如有单因素评判矩阵则B＝(0.18,0.18,0.18,0.18)模糊综合评判模糊综合评判例：“晋升”的数学模型.以高校老师晋升教授为例：因素集U={政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平},评判集V={好,较好,一般,较差,差}. 因素好较好一般较差差 政治表现及工作态度42100 教学水平61000 科研水平00511 外语水平22111给定以教学为主的权重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分别用M(∧,∨)、M(·,＋)模型所作评判下：M(∧,∨)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)归一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)M(·,＋)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04)多级模糊综合评判（以二级为例）问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面模糊综合评判_1214509467.unknown二级模糊综合评判的步骤：模糊综合评判设为给定论域U上的m个模糊模式，规定一个阈值为一个待识别对象。（1）如果则作“拒绝识别”的判决，这时应查找原因，再作分析。（2）如果并且有k个模糊模式大于或等于，则认为识别可行，并将划归于_1214507707.unknown_1214507815.unknown_1214507835.unknown_1214507848.unknown_1214507779.unknown_1214507480.unknown_1214507620.unknown_1214507436.unknown模糊综合评判模糊综合评判权重的确定方法：在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果.凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主观性,是不能客观地反映实际情况,评判结果可“真”.频数统计方法对每一个因素uj,在k个专家所给的权重aij中找出最大值Mj和最小值mj,即Mj=max{aij|1≤i≤k},j=1,2,…n;mj=min{aij|1≤i≤k},j=1,2,…n.(2)选取适当的正整数p,将因素uj所对应的权重aij从小到大分成p组,组距为(Mj-mj)/p.(3)计算落在每组内权重的频数与频率(4)取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作为因素uj的权重.(5)将所得的结果归一化.