高中数学圆锥曲线方程知识点总结

1§8.圆锥曲线方程知识 要点 综治信访维稳工作要点综治信访维稳工作要点2018综治平安建设工作要点新学期教学工作要点医院纪检监察工作要点 一、椭圆方程1.椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长（定长通常等于2a，且2a>F1F2）的点的轨迹叫椭圆。为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF（1）①椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程：i.中心在原点，焦点在x轴上：)0(12222babyax.ii.中心在原点，焦点在y轴上：)0(12222babxay.注：A.以上方程中,ab的大小0ab，其中222bac；B.在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。②一般方程：)0,0(122BAByAx.③椭圆的标准方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于20）.⑵椭圆的性质①顶点：),0)(0,(ba或)0,)(,0(ba.②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长a2，短轴长b2.③焦点：)0,)(0,(cc或),0)(,0(cc.④焦距：2221,2baccFF.⑤准线：cax2或cay2.⑥离心率：)10(eace.【∵0ac，∴01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。】⑦焦（点）半径：i.设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则ii.设),(00yxP为椭圆)0(12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则0201,exaPFexaPF0201,eyaPFeyaPF2由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆.⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：),(2222abcabd和),(2abc⑨焦点三角形的面积：若P是椭圆：12222byax上的点.21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b（用余弦定理与aPFPF221可得）。若是双曲线，则面积为2cot2b。（3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于0的参数，)0ba的离心率也是ace我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.2.椭圆的第二定义：平面内到定点F的距离和它到一条定直线L（F不在L上）的距离的比为常数e（01e）的点的轨迹叫做椭圆。其中定点F为椭圆的焦点，定直线L为椭圆焦点F相应的准线。二、双曲线方程1.双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F1，F2的差的绝对值等于定长（定长通常等于2a，且2a<F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。（12||||||2PFPFa）。的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax.一般方程：)0(122ACCyAx.⑵①i.焦点在x轴上：顶点：)0,(),0,(aa焦点：)0,(),0,(cc准线方程cax2渐近线方程：0byax或02222byaxii.焦点在y轴上：顶点：),0(),,0(aa.焦点：),0(),,0(cc.准线方程：cay2.渐近线方程：0bxay或02222bxay，参数方程：tansecbyax或sectanaybx.②轴yx,为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c.③离心率ace.④准线距ca22（两准线的距离）；通径ab22.⑤参数关系acebac,222.3⑥焦（点）半径公式：对于双曲线方程12222byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221aexFMaexFM0201aeyFMaeyFMaeyMFaeyMF02010201⑶等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.A.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；B.等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直。C.注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.例如：若双曲线一条渐近线为xy21且过)21,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422yx，代入)21,3(得12822yx.2.双曲线的第二定义：平面内到定点F的距离和它到一条定直线L（F不在L上）的距离的比为常数e（e>1）的点的轨迹叫做双曲线。其中定点F为双曲线的焦点，定直线L为双曲线焦点F相应的准线。▲yxM'MF1F2▲yxM'MF1F24三、抛物线方程（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（2p,0），它的准线方程是2px；（2）抛物线的性质设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22pxy22pyx22pyx22图形▲yxO▲yxO▲yxO▲yxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线方程2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1e焦半径12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF通径2p2p2p2p焦点弦x1+x2+px1+x2+py1+y2+py1+y2+p注：①通径（过焦点且垂直于坐标轴的线段）为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数）.5四、圆锥曲线的统一定义1.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace，当bac,0时）.【弦长公式]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB】2.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a}.点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形方程标准方程12222byax(ba>0)12222byax(a>0,b>0)pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t为参数)范围─axa，─byb|x|a，yRx06中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)(a,0),(─a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0),F2(─c,0)F1(c,0),F2(─c,0))0,2(pF准线x=±ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c（c=22ba）2c（c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1【备注1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.（2）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注2】抛物线：（1）设抛物线的标准方程为2y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p.（2）已知过抛物线2y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=21xx+p或2sin2pAB(α为直线AB的倾斜角)，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径).§弦长公式：||()()ABxxyy12212214212212kxxxx()1212kxx||