2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号一二三四五六总分核分人分数得分评卷人一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分.1.函数的定义域为为（）A.B.C.D.解：.2.下列函数中,图形关于轴对称的是（）A．B.C.D.解：图形关于轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数为偶函数,应选D.3.当时，与等价的无穷小量是（）A.B.C.D.解：,应选B.4.（）A.B.C.D.解：,应选B.5.设在处连续，则常数（）A.1B.-1C.D.解：,应选C.6.设函数在点处可导,且,则（）A.1B.C.D.解：,应选D.7.由方程确定的隐函数的导数为（）A.B.C.D.解：对方程两边微分得,即,,所以,应选A.8.设函数具有任意阶导数,且，则（）A.B.C.D.解：,,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（）A.B.C.D．解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有满足,应选A.10.设,则在内,单调()A.增加,曲线为凹的B.减少,曲线为凹的C.增加,曲线为凸的D.减少,曲线为凸的解:在内,显然有,而,故函数在内单调减少,且曲线为凹的,应选B.11.曲线（）只有垂直渐近线B.只有水平渐近线C.既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D.无水平、垂直渐近线解：，应选C.12.设参数方程为,则二阶导数（）A.B.C.D.解：,应选B.13.若，则（）A.B.C.D.解：两边对求导,应选B.14.若，则（）A.B.C.D.解:,应选A.15.下列广义积分发散的是（）A.B.C.D.解：;;;,应选C.16.（）A.0B.C.D.解：被积函数在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A.17.设在上连续,则定积分（）A.0B.C.D.解：,应选D.18.设的一个原函数是,则（）A.B.C.D.解:,应选B.19.设函数在区间上连续,则不正确的是（）A.是的一个原函数B.是的一个原函数C.是的一个原函数D.在上可积解:是常数,它的导数为零,而不是,即不是的原函数,应选A.20.直线与平面的关系是（）A.垂直B.相交但不垂直C.直线在平面上D.平行解：,另一方面点不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数在点处的两个偏导数和存在是它在该点处可微的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设，则（）A.B.C.D.解：,应选C.23.函数的极小值点是（）A.B.C.D.解：,应选B.24.二次积分写成另一种次序的积分是（）A.B.C.D.解：积分区域,应选A.25.设D是由上半圆周和轴所围成的闭区域,则（）A.B.C.D.解：积分区域在极坐标下可表示为：，从而，应选C.26.设为抛物线上从到的一段弧，（）A.-1B.1C.2D.-1解：：从0变到1,,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是（）A．B．C．D．解：发散,和绝对收敛，是收敛的，但是的级数发散的，从而级数条件收敛，应选B.28.下列命题正确的是（）A．若级数与收敛，则级数收敛若级数与收敛，则级数收敛若正项级数与收敛，则级数收敛若级数收敛，则级数与都收敛解：正项级数与收敛与收敛，而，所以级数收敛，应选C。29.微分方程的通解为（）A.B.C.D.解：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为，应选D.30.微分方程的通解是（）A.B.C.D.解：微分方程的特征方程为，有两个复特征根，所以方程的通解为，应选A.得分评卷人二、填空题（每小题2分，共30分）1.设,则_________.解：.2.,则_____________.解：因.3.设函数在点处的切线方程是__________.解：，则切线方程为，即.4.设，则___________.解：.5.函数的单调递增区间是__________.解：或.6.曲线的拐点是_________.解：,得拐点为.7.设连续,且,则_________.解：等式两边求导有,取有.8.设，则__________.解：.9.函数的极小值是_________.解:.10.________.解:.11.由向量为邻边构成的平行四边形的面积为______.解：.12.设，则_________.解：令,则.,所以.13.设是由，所围成的第一象限部分,则=_______.解：积分区域在极坐标系下表示为,则.14.将展开为的幂级数是_________.解：,所以.15.用待定系数法求方程的特解时,特解应设为__________.解：2是特征方程的二重根,且是一次多项式,特解应设为.得分评卷人三、计算题（每小题5分，共40分）1．.解：.2.已知,求.解：令,则,,所以.3.求不定积分.解：.4.设,求.解：令,则.5.设，其中可微，求.图05-1解：令,则,复合关系结构如图05-1所示,,.6．求，其中是由所围成的闭区域.解：积分区域如图05-2所示，曲线在第一象限内的交点为（1，1），积分区域可表示为：.1图05-2则.7．求幂级数的收敛域（考虑区间端点）.解：这是缺项的标准的幂级数，因为，当，即时，幂级数绝对收敛；当，即或时，幂级数发散；当，即时，若时，幂级数化为是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，是收敛的，若时，幂级数化为也是交错级数，也满足来布尼兹定理的条件，是收敛的.故幂级数的收敛域为[-1,1].8．求微分方程通解.解：微分方程可化为，这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次线性微分方程的通解为.设非齐次线性微分方程的通解为，则，代入方程得,所以.故原微分方程的通解为(C为任意常数).得分评卷人四、应用题（每小题7分，共计14分）1.一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?解：设每套公寓租金为元时,所获收入为元,则,整理得均有意义,令得唯一可能的极值点,而此时,所以是使达到极大值的点,即为最大值的点.最大收入为(元).故租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元.2.平面图形由抛物线与该曲线在点处法线所围成,试求:(1)该平面图形的面积;(2)该平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积.解：平面图形如图05-3所示,切点处的切线斜率为,1-3图05-3由得,故点处的切线斜率,从而点处的法线斜率为-1,法线方程为.联立方程组得另一交点.(1)把该平面图形看作Y型区域,其面积为;(2)根据抛物线的对称性知,该平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形绕轴旋转所成旋转体的体积,有故.得分评卷人五、证明题（6分）试证：当时，有.证明：构造函数，它在内连续，当时，函数在区间上连续，且.故在上满足Lagrange中值定理,存在,使得，.而,故有,即时,成立.
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