概率论第二章答案

第2章作业题解:2.1掷一颗匀称的骰子两次,以X 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示前后两次出现的点数之和,求X的概率分布,并验证其满足(2.2.2)式.解：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 知X的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。并且，361)12()2(XPXP；362)11()3(XPXP；363)10()4(XPXP；364)9()5(XPXP；365)8()6(XPXP；366)7(XP。即36|7|6)(kkXP(k=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{kaekXPk试确定常数a.解：根据1)(0kkXP，得100()1kkkkaeae，即1111eae。故1ea2.3甲、乙两人投篮时,命中率分别为0.7和0.4,今甲、乙各投篮两次,求下列事件的概率：(1)两人投中的次数相同;(2)甲比乙投中的次数多.解：分别用)2,1(,iBAii表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,PAPAPAPAPBPBPBPB两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121BBAAP，两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121BBAAPBBAAPBBAAPBBAAP两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121BBAAP。所以：（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0(2)甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628PAABBPAABBPAABBPAABBPAABB2.4设离散型随机变量X的概率分布为5,4,3,2,1,15}{kkkXP，求)31()1(XP)5.25.0()2(XP解：(1)52153152151)31(XP(2))2()1()5.25.0(XPXPXP511521512.5设离散型随机变量X的概率分布为,,3,2,1,21}{kkXPk，求};6,4,2{)1(XP}3{)2(XP解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642XP41}2{}1{1}3{)2(XPXPXP2.6设事件A在每次试验中发生的概率均为0.4,当A发生3次或3次以上时,指示灯发出信号,求下列事件的概率：(1)进行4次独立试验,指示灯发出信号;(2)进行5次独立试验,指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(XPXPXP1792.04.06.04.04334C(2))5()4()3()3(XPXPXPXP31744.04.06.04.06.04.054452335CC.2.7某城市在长度为t(单位：小时)的时间间隔内发生火灾的次数X服从参数为0.5t的泊松分布,且与时间间隔的起点无关,求下列事件的概率：(1)某天中午12时至下午15时未发生火灾;(2)某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾.解：(1)()!kPXkek，由题意，0.531.5,0k，所求事件的概率为1.5e.(2)0(2)110!1!PXeeee,由题意，0.541.5，所求事件的概率为213e.2.8为保证设备的正常运行,必须配备一定数量的设备维修人员.现有同类设备180台,且各台设备工作相互独立,任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员,才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则)01.0,180(~BX。依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即99.0)(mXP，也即01.0)1(mXP因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为8.101.0180的泊松分布。查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。故应至少配备6名设备维修人员。2.9某种元件的寿命X(单位：小时)的概率密度函数为：21000,1000()0,1000xfxxx求5个元件在使用1500小时后,恰有2个元件失效的概率。解：一个元件使用1500小时失效的概率为3110001000)15001000(15001000150010002xdxxXP设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则)31,5(~BY。所求的概率为22351280(2)()()33243PYC。2.10设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦时)是一连续型随机变量,概率密度函数为：212(1),01,()0,xxxfx其他假设该地区每天的供电量仅有80万千瓦时,求该地区每天供电量不足的概率.若每天的供电量上升到90万千瓦时,每天供电量不足的概率是多少?解：求每天的供电量仅有80万千瓦时,该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区用电量X超过80万千瓦时（亦即X0.8百万千瓦时）的概率：0.80.8202340.80(0.8=1-(X0.8=1-()112(1)1(683)0.0272PXPfxdxxxdxxxx））若每天的供电量上升到90万千瓦时,每天供电量不足的概率为：0.90.9202340.90(0.9=1-P(X0.9=1-()112(1)1(683)0.0037PXfxdxxxdxxxx））2.11设随机变量~(2,4),KU求方程22230xKxK有实根的概率.解：方程22230xKxK有实根，亦即248124(3)(1)0KKKK,显然，当31KK时，方程22230xKxK有实根；又由于~(2,4),KU所求概率为：1(2)4314(2)3。2.12某型号的飞机雷达发射管的寿命X(单位：小时)服从参数为0.005的指数分布,求下列事件的概率：(1)发射管寿命不超过100小时;(2)发射管的寿命超过300小时;(3)一只发射管的寿命不超过100小时,另一只发射管的寿命在100至300小时之间.解：(1)发射管寿命不超过100小时的概率：1001000.0050.0050.500(100)0.0051xxPXedxee=0.39(2)发射管的寿命超过300小时的概率：1.51.5(300)1(300)1(1)0.223PXPxee(3)一只发射管的寿命不超过100小时,另一只发射管的寿命在100至300小时之间.0.50.51.5(1)()0.15eee。2.13设每人每次打电话的时间(单位：分钟)服从参数为0.5的指数分布.求282人次所打的电话中,有两次或两次以上超过10分钟的概率.解：设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为5105.0105.05.0)10(eedxeXPxx又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则),282(~5eBY。因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为9.12825e的泊松分布。所求的概率为)1()0(1)2(YPYPYP56625.09.219.119.19.19.1eee2.14某高校女生的收缩压X(单位：毫米汞柱)服2(110,12)N,求该校某名女生：(1)收缩压不超过105的概率;(2)收缩压在100至120之间的概率.解：(1))42.0(1)42.0()12110105()105(XP3372.06628.01(2))12110100()12110120()120100(XP5934.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(。2.15公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01设计的,设成年男性的身高X(单位：厘米)服从正态分布N(170，262),问车门的最低高度应为多少?解：设车门高度分别为x。则：170()10.010.99()6xPXx查表得，(2.33)0.99，因此1702.336x，由此求得车门的最低高度应为184厘米。2.16已知20件同类型的产品中有2件次品,其余为正品.今从这20件产品中任意抽取4次,每次只取一件,取后不放回.以X表示4次共取出次品的件数,求X的概率分布与分布函数.解：X的可能取值为0,1,2。因为1817161512(0),2019181719PX；2184203(2)95CPXC；12332(1)1199595PX所以X的分布律为X012P12193295395X的分布函数为00120119()92129512xxFxxx2.17袋中有同型号小球5只,编号分别为1,2,3,4,5.今在袋中任取小球3只,以X表示取出的3只中的最小号码,求随机变量X的概率分布和分布函数.解：X的可能取值为1,2,3。因为6.0106)1(3524CCXP；1.01011)3(35CXP；3.01.06.01)2(XP所以X的分布律为X123P0.60.30.1X的分布函数为31329.0216.010)(xxxxxF2.18设连续型随机变量X的分布函数为：0,1,()ln,1,1,xFxxxexe求（1）{2}PX，{03}PX，{22.5}.PX（2）求X的概率密度函数()fx。解：(1)2ln)2()2(FXP101)0()3()30(FFXP25.1ln2ln5.2ln)2()5.2()5.22(FFXP(2)其它01)()(1exxxFxf2.19设连续型随机变量X的分布函数为：22,0,()0,0.xabexFxx（1）求常数,ab（2）求X的概率密度函数()fx。（3）求{ln4ln16}.PX解：(1)由1)(F及)0()(lim0FxFx，得01baa，故a=1,b=-1.(2)000)()(22xxxexFxfx(3))4ln()16ln()16ln4ln(FFXP25.041)1()1(24ln216lnee。2.20设随机变量X的概率分布为：X0232kp0.30.20.40.1解：(1)Y的可能取值为0,π2,4π2。因为2.0)2()0(XPYP；7.0)()0()(2XPXPYP；1.0)23()4(2XPYP所以Y的分布律为Y0π24π2P0.20.70.1(2)Y的可能取值为-1,1。因为7.0)()0()1(XPXPYP；3.0)23()2()1(XPXPYP所以Y的分布律为Y-11P0.70.32.21设随机变量X的分布函数为010.311()0.81212xxFxxx（1）求X的概率分布；（2）求YX的概率分布。解：(1)X的可能取值为F(x)的分界点，即-1,1,2。因为3.0)1(XP；5.03.08.0)1(XP；2.08.01)2(XP所以X的分布律为X-112P0.30.50.2(2)Y的可能取值为1,2。因为8.0)1()1()1(XPXPYP；2.0)2()2(XPYP所以Y的分布律为Y12P0.80.22.22设随机变量~(0,1)XN，求下列随机变量Y概率密度函数：（1）21;YX（2）XYe；(3)2YX.解：设()YFy和()Yfy分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数。(1)已知2221)(xXexf因为)21()21()12()()(yFyXPyXPyYPyFXY求导得)21(21)21)(21()(yfyyfyfXXY8)1(2)21(222212121yyee所以Y参数分别为-1,22服从正态分布。(2)当0y，(){}()0YFyPYyP，当0y，由已知条件，2221)(xXexf，22ln()()()(ln)(ln)1(ln)1(ln)12XYtyXFyPYyPeyPXyePXyPXyFydt求导得2ln211,0()20,0;xYeyfyyy(3)当0y，(){}()0YFyPYyP，当0y，由已知条件2221)(xXexf，2()()()()()()YXXFyPYyPXyPyXyFyFy求导得21,0()20,0;yYeyfyyy2.23设随机变量~(0,)XU，求下列随机变量Y概率密度函数：（1）2ln;YX（2）cosYX；(3)sinYX.解：(1)已知其他001)(xxfX则)()()ln2()()(22yXyYeFeXPyXPyYPyF求导得)(21))(()(2222yXyyyXYefeeefyf因为当20ye，即ln2y时，1)(2yXef；当y取其他值时0)(2yXef。所以其他0ln221)(2yeyfyY为所求的密度函数。（2）根据已知条件，由三角函数和反三角函数的性质，我们知道cos(1,1)YX。当(1,1)y，()()(cos)(arccos)YFyPYyPXyPyX，由于随机变量~(0,)XU，容易求得arccos()YyFy求导得2111()10Yyfyy其他（3）根据已知条件，由三角函数和反三角函数的性质，我们知道sin(0,1)YX。当(0,1)y，()()(sin)(0arcsin)(arcsin)YFyPYyPXyPXyPyX，由于随机变量~(0,)XU，容易求得2arcsin()YyFy求导得2211()10Yyfyy其他二、第二章定义、定理、公式、公理小结及补充：（1）离散型随机变量的分布律如果离散型随机变量可能取值为,2,1iai，相应的取值ia的概率iipaP称iiaPp,2,1i为随机变量的分布列，也称为分布律，简称分布。也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律：iiaPp（2）连续型随机变量的分布密度设X为随机变量，如果存在一个定义在整个实轴上的函数)(xf，满足条件：(1)0)(xf(2)1)(dxxf(3)对于任意实数ba,（ba）(a可以是-∞b也可以是∞)，有badxxfbXaP)(}{；则称X为连续型随机变量，而)(xf称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度。（3）离散与连续型随机变量的关系dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与()kkPXxp在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP可以得到X落入区间],(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质：1°,1)(0xFx；2°)(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；3°0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4°)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5°)0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，xdxxfxF)()(。0-1分布(1),(0)1PXpPXpq（5）八大分布二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(，其中nkppq,,2,1,0,10,1，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(~pnBX。当1n时，kkqpkXP1)(，1.0k，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为ekkXPk!)(，0，2,1,0k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(~X或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM随机变量X服从参数为,,nNM的超几何分布，记为(,,)HnNM。几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk，其中p≥0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数)(xf在[a，b]上为常数ab1，即,0,1)(abxf其他，则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。分布函数为xdxxfxF)()(当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（21,xx）内的概率为abxxxXxP1221)(。0，x<a，,abaxa≤x≤b1，x>b。a≤x≤b指数分布其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为记住积分公式：!0ndxexxn正态分布如果随机变量X的概率密度为)(,21)(22)(21xexfx；其中,,0为常数，则称X服从参数为,的正态分布(Normaldistribution)，记为),(~2NX.当x时，)(xf达到最大值21；在x处，曲线)(xfy有拐点；)(xf的图形对称于直线x；)(xf以x轴为渐近线；若固定值改变,，则曲线)(xfy沿x轴平行移动，曲线的几何图形不变；（如图4-2）⑤若固定，改变值，由)(xf的最大值可知，当越大，)(xf的图形越平坦；当越小，)(xf的图形越陡峭。)(xf,xe0x,0,0x,)(xF,1xe0x,,0x<0。