需求与存货水准相关之退化性产品的最适生产策

管理科學研究Vol.5,No.1,2008,第99-108頁需求與存貨水準相關之退化性產品的最適生產策略TheOptimalProductionPolicywithStock-dependentDemandforDeterioratingItems蔡美賢1(Received:Apr.25,2008；FirstRevision:May.29,2008；Accepted:Jun.10,2008)摘要如何控制與擬定退化性產品之存貨策略已成為現代組織中之決策者須面對的重要問題。本研究針對需求與存貨水準相關之退化性產品，研究在經濟生產批量模式下，製造商應如何決定最適生產週期。為反映多數產品之展示或儲存空間為有限的事實，本文假設產品展示或儲存空間是有限制的，並據以構建ㄧ數學模式，以探討追求利潤最大下的經濟生產批量模式。接者，在定理1及定理2中闡述若干在管理上直覺且合理的結果。最後，藉由數值案例的討論驗證模式的適用性。關鍵詞：生產、存貨、批量、退化AbstractThisarticledealswiththeproblemofdeterminingtheoptimalruntimeforaneconomicproductionquantity(EPQ)modelwithdeterioratingitems.Thelimiteddisplayareaisassumedtoreflectthefactthatmostmanufacturer’soutletshavelimitedshelfspaceintheproposedmodel.AmathematicalmodelisformulatedtomanifesttheextendedEPQmodelformaximizingprofits.Theorems1and2areestablishedtoshowseveralintuitivelyreasonablemanagerialresults.Finally,twonumericalexamplesaregiventodemonstratetheapplicabilityoftheproposedmodel.Keywords:Production、Inventory、LotSizing、Deterioration1中國文化大學國際企業管理研究所博士生及北台灣科學技術學院國際貿易系講師-99-管理科學研究Vol.5,No.1,20081.引言傳統的存貨模式假設存貨減少乃起因於固定的需求率，然而在真實生活的情境中，由於產品退化所導致的損失，亦是存貨量降低的重要原因。因此，如何控制與擬定退化產品之存貨策略已成為現代組織中之決策者須面對的重要問題。在過去幾十年中，很多研究者已致力於退化性產品的存貨模式之研究，如易揮發的液體(volatileliquids)、血液銀行(bloodbanks)、藥物(medicines)、電子產品(electronicitems)以及流行商品(fashiongoods)。1963年Ghare與Schrader首先提出產品壽命為指數分配之退化性產品的存貨模式；接著，1973年Covert與Philip推廣Ghare與Schrader的模式，將產品壽命分配假設為兩個參數的Weibull分配；後續，如Aggarwal(1978)，Dave與Patel(1981)，Hariga(1996)，及Goyal與Giri(2001)等亦提出一些令人關注有關退化性產品之存貨模式的論文。1972年Levin等人觀察到：「在超級市場陳列大量消費產品可誘使消費者買的更多」；1982年Silver與Peterson指出：零售業的銷售量與陳列的存貨量成正比。為了顯示銷售量與存貨量的關係，1988年Baker與Urban建立了需求量為存貨水準之冪函數的EOQ模式(即在時間t的需求量D(t)=α[I(t)]β，其中I(t)為存貨水準，α＞0且0＜β＜1)；1989年Mandal與Phaujdar接著提出：需求率為存貨水準的線性函數的存貨模型(即D(t)=α+βI(t),其中α和β皆大於0)；接著，1990年Datta與Pal提出另一種存貨模型：需求率為存貨水準之冪函數，但當存貨水準降至L後，需求率成ㄧ固定常數(即D(t)=α[I(t)]β，若I(t)>L，而D(t)=αLβ,若0≤I(t)≤L)；1992年Urban修正Datta與Pal於1990年提出之模型，將訂貨週期之終點存貨量為零的限制放寬；Bar-Lev等人在1994年提出在隨機條件下，需求與存貨水準相關的EOQ推廣模型，1997年Ray和Chaudhuri將貨幣的時間價值及通貨膨脹率列入考慮，將模式推廣為允許缺貨的EOQ模型；2000年Chung等人推導出在單位時間利潤極大下，決定最佳策略的充要條件。其他相關論文還有：Chang(2004)，PadmanabhanVart(1995)，Pal等人(1998)等等。為能反映出大部分產品之貨架空間為有限的事實，在本文的模式中假設存在一最大存貨水準。根據上述假設與說明，建立一數學模型來探討獲得最大總利潤之退化性產品的經濟生產批量（EPQ）模型。此外，在定理1及定理2中闡述若干在管理上直覺且合理的結果。最後，藉由數值範例的討論驗證模式的適用性。2.假設與符號本文的假設如下:1.需求與存貨水準成線性關係。2.不允許因缺貨而喪失銷售量。-100-需求與存貨水準相關之退化性產品的最適生產策略3.S為展示貨品的最大容許量。4.存貨水準的起始值及終點值不必限制為零。假設起始值及終點值相等，使生產週期可重複進行。5.每單位時間的產品退化率是固定的，且退化性產品是不能替代及修復。本文採用以下符號：t1：生產時間(t1為決策變數)。T：生產存貨週期，T=t1+t2，t2為不生產的時間。K：固定的生產速率。θ：固定的退化率，0<θ<1。I(t)：在時間t的存貨水準，I(t)≤S。Q：起始及最終存貨水準，0≤Q≤S(Q為決策變數).D(t)：在時間t的需求率，本文假設存貨水準D(t)為I(t)的線性函數，即D(t)=α+βI(t)，其中α及β為非負常數。co：每次的設置成本。cp：每單位產品的生產成本。ch：單位時間每單位產品的持有成本。p：每單位產品的獲利(即p=ps-cp，ps為單位產品的銷售價格)。P：最高的存貨水準。AP：在[0,T]區間之平均利潤。3.數學模型和分析時間t=0時以固定的生產率K生產，同時進行銷售，直至t=t1時存貨水準達到最高點P(P≤S)，且停止生產。從t=t1至t=t1+t2間只單純銷售，在此期間存貨水準因銷售及產品退化逐漸降低，在t=t1+t2時存貨水準降至Q，此存貨系統以圖1表示。-101-管理科學研究Vol.5,No.1,2008存貨水準PI(t)Q時間0t1t1+t2=T圖1存貨系統展示圖**本文的目標在決定最適的t1和Q值(分別以t1和Q表示)使得每單位時間之平均利潤最大。根據上述之假設及說明，可得存貨水準I(t)滿足下列微分方程︰I'(t)+θI(t)=K−D(t),0≤t≤t1，(1)和I'(t)+θI(t)=−D(t),t1≤t≤t1+t2，(2)其邊界條件I(,0)=QI(t1)=P,與I(t1+t2)=Q。利用方程式(1)與(2)可分別得：K−αI(t)=Qe−(θ+β)t+()1−e−(θ+β)t,0≤t≤t，(3)θ+β1和αI(t)=Qe(θ+β)(t1+t2−t)+()e(θ+β)(t1+t2−t)−1,t≤t≤t+t。(4)θ+β112利用I(t1)=P和方程式(3)與(4)，可得⎛⎞⎛⎞K−α−(θ+β)t1K−αα(θ+β)t2α⎜Q−⎟e+=⎜Q+⎟e-，(5)⎝θ+β⎠θ+β⎝θ+β⎠θ+β由方程式(5)顯示t2是t1的函數，可表示為⎡⎤1KK−(Q(θ+β)+α)−(θ+β)t1t2=ln⎢−e⎥。(6)θ+β⎣Q(θ+β)+αQ(θ+β)+α⎦對t1微分，可得-102-需求與存貨水準相關之退化性產品的最適生產策略dt2⎡K−(Q(θ+β)+α)−(θ+β)(t+t)⎤=⎢e12⎥>0。(7)dt1⎣Q(θ+β)+α⎦由方程式(1)中得知，當t≤t1時，K>α+(β+θ))I(t。顯示K>α+(β+θ))I(0=α+(β+θ)Q。利用方程式(5)，可得到在[0,T]區間之平均利潤TTAP={pD(t)dt-c0-(ch+θcp)I(t)dt}/T∫0∫0⎡K−αα⎤=pα+{-c0+(pβ−ch−θcp)⎢t1−t2⎥}/T。(8)⎣θ+βθ+β⎦對AP取t1之一階導數，結果如下：1dt2Kdt2∂AP/∂t1=2[c0(1+)+(pβ−ch−θcp)()(t2-t1)]。(9)Tdt1θ+βdt1*由(pβ−ch−θcp)的數值大小，可分為以下兩種狀況來探討如何求得最適解t1。狀況1:(pβ−ch−θcp)≥0當pβ≥ch+θcp時，顯示單位的獲利(pβ)高於單位的成本(ch+θcp)，表示存貨是有利的。此外，若(pβ−ch−θcp)≥0，則∂AP/∂t1>0，表示當I(t)≤S時，AP為t1的遞增函數，因此，I(t1)=S或P=S，利用方程式(5)可得：−1⎛(K−α)−S(θ+β)⎞t1=ln⎜⎟，(10)θ+β⎝(K−α)−Q(θ+β)⎠且1⎛S(θ+β)+α⎞t2=ln⎜⎟。(11)θ+β⎝Q(θ+β)+α⎠將方程式(10)與(11)代入方程式(8)，得知AP僅為Q的函數。求得最適Q*的一階條件為dAP/=dQ0，由此導出−c0(θ+β)⎡⎛K−α⎞⎛(K−α)−S(θ+β)⎞=⎢⎜−Q⎟ln⎜⎟+(pβ−ch−θcp)⎣⎝θ+β⎠⎝(K−α)−Q(θ+β)⎠⎛α⎞⎛S(θ+β)+α⎞⎤⎜Q+⎟ln⎜⎟⎥。(12)⎝θ+β⎠⎝Q(θ+β)+α⎠⎦為確認方程式(12)是否有解，-103-管理科學研究Vol.5,No.1,2008⎛K−α⎞⎛(K−α)−S(θ+β)⎞⎛α⎞⎛S(θ+β)+α⎞F(Q)=⎜−Q⎟ln⎜⎟+⎜Q+⎟ln⎜⎟。(13)⎝θ+β⎠⎝(K−α)−Q(θ+β)⎠⎝θ+β⎠⎝Q(θ+β)+α⎠對F(Q)取Q之一階導數，可得：⎛(K−α)−S(θ+β)⎞⎛S(θ+β)+α⎞F’(Q)=-ln⎜⎟+ln⎜⎟>0。(14)⎝(K−α)−Q(θ+β)⎠⎝Q(θ+β)+α⎠由於F(S)=0，利用方程式(14)得知在Q=S時，F(Q)的值小於0且嚴格遞增至0。因此，可得以下結果：**定理1：若(pβ−ch−θcp)≥0，則最適生產時間t1滿足I(t1)=S，且得到以下結果:*(1)若F(0)≤-c0(θ+β)/(pβ−ch−θcp)，則在方程式(12)中存在一個唯一解Q，使得方程式(8)中之AP達到最大。*(2)若F(0)>-c0(θ+β)/(pβ−ch−θcp)，則Q=0。證明：利用方程式(8)、(12)、(13)及(14)即可得證。狀況2:(pβ−ch−θcp)<0當pβ0。(21)由於U(0)=0，利用方程式(21)得知在方程式(18)存在一個唯一解t1(大於0)。由此可得以下定理。*定理2.若(pβ−ch−θcp)<0，最適的存貨水準終點值Q=0，方程式(18)中存在一個*唯一解t1使得方程式(8)中之AP達到最大。證明：利用方程式(8)、(18)、(20)及(21)即可得證。4.數值範例利用數值範例驗證本文所提出之模型的適用性。範例1：在(pβ−ch−θcp)≥0之情形下，假設每次設置成本c0=$100，每單位時間的生產速率K=250單位，每單位時間的α=100單位，每單位時間每件產品的持有成本ch=$1，每單位產品的生產成本cp=$1，每單位產品的獲利p=$10，產品的退化率θ=0.2，β=0.2，存貨水準的最大容許量S=250單位。由於(12),(10)與(11)是非線性函數且不易求解，我們使用軟體Maple9.5來求解。計算結果得到以下的最適值：Q*=***141.6577，t1=1.5605，t2=0.6105及AP=1113.3261。由此結果顯示，在追求利潤最大的目摽下，當存貨是有利時，最適的存貨終點值Q*不為零。範例2：在(pβ−ch−θcp)<0之情況下，假設每次設置成本c0=$100，每單位時間的生產速率K=250單位，每單位時間的α=100單位，每單位時間每件產品的持有成本ch=$1，每單位時間產品的生產成本cp=$1，每單位產品的獲利p=$5，產品的退化率θ=0.1,β=0.2，存貨水準的最大容許量S=250單位。使用軟體Maple9.5來求解方程式(18)，***我們得到最適值為t1=1.6928，t2=1.5611。由方程式(8)，可得AP=459.2471。5.結論本文提出一個在儲存空間有限下，退化性產品的生產存貨模式。藉由模式的求解及最佳解的探討，可得在管理上直覺而合理的結論：(1)若單位的獲利(pβ)高於單位的成本(ch+θcp)，即pβ−ch−θcp≥0時，表示增加存貨是有利的策略，因此製造商的-105-管理科學研究Vol.5,No.1,2008最適生產策略為不停地生產且累積存貨直至達到最大容許的存貨水準時才停止生產。(2)若單位的獲利(pβ)低於單位的成本(ch+θcp)，即pβ−ch−θcp<0時，表示增加存貨是不利的策略，此時，製造商的最適的存貨策略為使期末存貨水準為0。此外，由定理1和2可決定出在不同情況下之最適的生產策略，並且證明此最適解不僅存在，且是唯一的。最後，數值範例1說明在存貨是有利的情況下（pβ−ch−θcp≥0），最適的生產時間、生產存貨週期、起始及最終存貨水準及平均利潤；同時驗證定理1的結果。數值範例2說明在存貨是不利的情況下（pβ−ch−θcp<0），最適的生產時間、生產存貨週期及平均利潤，此時，最適的起始及最終存貨水準為0；此最適解亦驗證定理2的結果。藉由這兩個數值範例驗證了本文所提之模型的適用性。-106-需求與存貨水準相關之退化性產品的最適生產策略參考文獻1.Aggarwal,S.P.(1978),“Anoteonanorderlevelinventorymodelforasystemwithconstantrateofdeterioration,”Opsearch,15,pp.184-187.2.Baker,R.C.andUrban,T.L.(1988),“Adeterministicinventorysystemwithaninventoryleveldependentdemandrate,”JournaloftheOperationalResearchSociety,39,pp.823-831.3.Bar-Lev,ShaulK.,Parlar,MahmutandPerry,David(1994),“OntheEOQmodelwithinventory-level-dependentdemandrateandrandomyield,”OperationsResearchLetters,16,pp.167-176.4.Chang,C.-T.(2004),“Inventorymodelwithstock-dependentdemandandnonlinearholdingcostsfordeterioratingitems,”Asia-PacificJournalofOperationalResearch,21,pp.435-446.5.Chung,K.-J.,Chu,P.andLan,S.-P.(2000),“AnoteonEOQmodelsfordeterioratingitemsunderstockdependentsellingrate,”EuropeanJournalofOperationalResearch,124,pp.550-559.6.Covert,R.B.,andPhilip,G.S.(1973),“AnEOQmodelwithWeibulldistributiondeterioration,”AIIETransactions,5,pp.323-326.7.Datta,T.K.andPal,A.K.(1990),“Anoteonaninventorymodelwithinventoryleveldependentdemandrate,”JournaloftheOperationalResearchSociety,41,pp.971-975.8.Dave,U.,andPatel,L.K.(1981),“(T,Si)policyinventorymodelfordeterioratingitemswithtimeproportionaldemand,”JournaloftheOperationalResearchSociety,32,pp.137-142.9.Ghare,P.M.,andSchrader,G.P.(1963),“Amodelforanexponentiallydecayinginventory,”JournalofIndustrialEngineering,14,pp.238-243.10.Goyal,S.K.,andGiri,B.C.(2001),“Recenttrendsinmodelingofdeterioratinginventory,”EuropeanJournalofOperationalResearch,134,pp.1-16.11.Hariga,M.A.(1996),“OptimalEOQmodelsfordeterioratingitemswithtime-varyingdemand,”JournaloftheOperationalResearchSociety,47,pp.1228-1246.12.Levin,R.I.,McLaughlin,C.P.(1972),Lamone,R.P.andKottas,J.F.,Productions/OperationsManagement:ContemporaryPolicyforManagingOperatingSystems,McGraw-Hill,NewYork,p.373.13.Mandal,B.N.andPhaujder,S.(1989),“Aninventorymodelfordeterioratingitemsandstock-dependentconsumptionrate,”JournaloftheOperationalResearchSociety,40,pp.483-488.14.Padmanabhan,G.andVrat,P.(1995),“EOQmodelsforperishableitemsunderstockdependentsellingrate,”EuropeanJournalofOperationalResearch,86,pp.281-292.15.Pal,S.,Goswami,A.andChaudhuri,K.S.(1993),“Adeterministicinventorymodelfordeterioratingitemswithstock-dependentrate,”InternationalJournalofProduction-107-管理科學研究Vol.5,No.1,2008Economics,32,pp.291-299.16.Ray,J.andChaudhuri,K.S.(1997),“AnEOQmodelwithstock-dependentdemand,shortage,inflationandtimediscounting,”InternationalJournalofProductionEconomics,53,pp.171-180.17.Ray,J.,Goswami,A.andChaudhuri,K.S.(1998),“Onaninventorymodelwithtwolevelsofstorageandstock-dependentdemandrate,”InternationalJournalofSystemsScience,29,pp.249-254.18.Silver,E.A.andPeterson,R.(1982),DecisionSystemsforInventoryManagementandProductionPlanning,2ndedition,Wiley,NewYork.19.Urban,T.L.(1992),“Aninventorymodelwithaninventory-level-dependentdemandrateandrelaxedterminalconditions,”JournaloftheOperationalResearchSociety,43,pp.721-724.-108-