安徽合肥市高三理科数学第二次教学质量（2021二模理数）检测试题卷(含答案)

合肥市2021年高三第二次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案BACACBDACADC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.35313113.14.25和1515.sinn或sinn（二者填其一）223423416.①②④三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)n1解：(1)当n2时，aaa12323nann122，naaa12323na1n-1n222，nnn1n∴nann12n22n2，∴an2(n2).n∵na12，1，∴当n1时，an2也成立，n*∴an2(nN).…………………………6分a211n(2)∵bn，nnn1nn1aann1112121212111111111∴.Sbbbnn123b1223nn1n121212121212132111∵nN*，∴0，∴S.…………………………12分21n1n318.(本小题满分12分)解：(1)随机变量X可以取到的值为0，1，2，3，所以CC031C12C15C21C15CC30553，53，53，53，PX03PX13PX23PX33C856C856C828C828∴用户数量X的分布列为X0123115155P5656282811515510515∴X的期望为EX0123.………………6分56562828568(2)用随机变量Y表示n名用户中年龄为30岁以上的用户数量，则事件“至少一名用户年龄为30岁以上”的概n1191率为PY11PY0，∴PY0，即，22102lg2∴n.12lg3lg2∵6，7，nN，∴n的最小值为7.………………………………12分12lg3高三数学试题（理科）答案第1页（共4页）19.(本小题满分12分)(1)证明:如图，取AB的中点H，连接CH，DE，PE.∵BD3AD，∴D为AH的中点，∴DE∥CH.∵ACBC，∴CHAB，∴EDAB.又∵点E在平面PAB上的射影F在线段PD上，∴EF平面PAB，∴EFAB.∵EFEDE，EF，DE平面PDE，∴AB平面PDE，∴ABPE.∵点E为棱AC的中点，PAPC，∴PEAC.又∵ACABA，ACAB，平面ABC，∴PE平面ABC.∵PE平面PAC，∴平面PAC平面ABC.……………………………6分(2)∵ACBC，∴以C为原点，以CA，CB所在方向为x，y轴正方向建立空间直角坐标系，如图.∵PAPC3，ACBC22，∴AB4，CH2，PEDE1，F为PD的中点，3225221∴0，，，，，，，，，，，，，，0,，，.C00B0220E200P201DF22442设平面ECF的法向量为n1111x，，yz，∴n1EF，n1EC，221∴nEF0，nEC0.∵EF，，，CE2，，00，1144220x，∴取，，.A221n1021xyz0.442设平面BCF的法向量为n2222x，，yz，∴n2CB，n2FB，52721∴nCB0，nFB0.∵CB0，22，0，BF，-，，2244222y0，2nn525∴取2，，，∴,12.52721n2052cosnn12xyz0.nn123549442222214∴二面角ECFB的正弦值为1cos2nn,.129……………………………12分20.(本小题满分12分)c1，a2，解:(1)设椭圆的半焦距为c，由题意得a2解得，∴b3，c1.ac3，xy22∴椭圆C的标准方程为1.………………………………5分43(2)由题意知，直线l的斜率不为0，设其方程为xmyn，A(x11，y)，B(x22，y).xmyn222由xy22得34mymnyn63120，14326mn312n22222∴yy122，yy12，643431248340mnmnmn.34m34m2y1y2∵k1，k2，x12x22yy12yy12yy12∴kk122xx22mynmyn2221212myy12mn22y1y2n高三数学试题（理科）答案第2页（共4页）312n2234m2312n32n922，解得n1.2312nmn6242n42n4mmnn222234mm346m9∴直线l的方程为xmy1，直线l过定点(1，0)，此时，yy，yy，1234m21234m222636m∴222AB11my12ymy12y4y12y1m2234mm34144mm2211212233m11m22442132(当且仅当m0时取等号)，3m2434m34mm34∴AB的最小值为3.……………………………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)因为fxax323exxxx3ae2若a0，aex20.当x，3时，fx0；当x3，时，fx0.∴当a0时，函数fx在3，上单调递减，在，3上单调递增.2若a0，由fx0解得x3，xln.12a2①若02ae3，ln>3.a22当x，，3ln时，fx0；当x3ln，时，fx0.aa22∴当02ae3时，函数fx在，3，ln，上单调递增，在3ln，上单调递减.aa2②若ae23，ln=3.a当xR时，fx0，∴函数fx在R上单调递增.2③若ae23，ln<3.a22当x，，ln3时，fx0；当xln，3时，fx0.aa22∴当ae23时，函数fx在，ln，3，上单调递增，在ln，3上单调递减.……………6分aa1lnxx2(2)当a时，要证fxxxx2ln23，即要证axex2lnxx2，也即证ax(0）>.exex2lnxx2x13lnxx令gx(x0)，则gx.xex2xe22x设x3lnxx，x在0，上单调递减，10，30，∴x01，3，使得xxx0003ln0(*).当x0，x0时，gx0；当xx0，时，gx0.lnxx21∴gxgx00.0xx0022xe00xe3x0由(*)知3lnxx000，即lnx003x，∴ex0，111∴gx0，∴gxa，ee32xx00ee1∴当a时，fxxxx2ln23.………………………………12分e高三数学试题（理科）答案第3页（共4页）22.(本小题满分10分)11211xtt44，2xt44t，2解：(1)由得11，11144ytt244ytt.21yx22两式平方相减得yx2224，即1.2821122yx又∵44，∴曲线的直角坐标方程为.ytt222(t>0)C1122y82曲线：，，即，C2sin220sincos40yx404∴曲线C2的直角坐标方程为xy40.……………………………5分2x2t，2(2)设曲线C2的参数方程为(t为参数).2yt2.22222代入曲线C方程得2428tt，即3202400tt2.12220240△=3200.设方程的两个实数根为tt，，则tt，tt，121231238521111tt21tttt124tt125∴123，MAMBt1t2tt12tt12tt1240531155∴或.……………………………10分MAMB5523.(本小题满分10分)证明：(1)由abc，，都是正数得，33abc3abc，∴3abc1，即abc1，111abc3∴=3，abbcacabcabc111即3(当且仅当abc等号成立).………………………………5分abbcac222444444(2)∵，abcbaccab222abcbaccaba333bc又∵abc3，abc33312，4444111∴abc333abc33312abc3331333333bcacab33aabbcc3333331333333bacacb33，3333333abacbc222∴3(当且仅当abc等号成立).…………………………10分abcbaccab高三数学试题（理科）答案第4页（共4页）