线性离散系统分析

6-1离散系统的基本概念一、采样控制系统炉温采样控制系统第1页/共93页原理：只有当检流计的指针与电位器接触时，电动机才在采样信号作用下产生运动，进行炉温调节，而在检流计与电位器脱开时，电动机就停止不动，保持一定的阀门开度，等待炉温缓慢变化。在采样控制情况下，电动机时转时停，所以在调节过程中超调现象大为减少，使动态性能得到改善。第2页/共93页电位器的输出电压第3页/共93页模拟信号：时间上和幅值上都连续的信号，称为模拟信号。通常，测量元件、执行元件和被控对象是模拟元件。离散模拟信号：时间上离散而幅值上连续的信号，称为离散模拟信号。控制器中的脉冲元件，其输入和输出为脉冲信号。为了使两种信号在系统中能相互传递，在连续信号和脉冲序列之间要用采样器，而在脉冲序列和连续信号之间要用保持器，以实现两种信号的转换。采样器和保持器，是采样控制系统中两个特殊环节。第4页/共93页采样器：把连续信号转变为脉冲信号的过程称为采样过程，实现该过程的装置称为采样器或采样开关。采样器的采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关形象地 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。信号采样过程*表示离散化第5页/共93页在实际应用中，采样开关均为电子开关，闭合时间极短，采样持续时间τ远远小于采样周期T，也远远小于系统连续部分的最大时间常数，为了简化系统的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，可以认为τ趋于0。实现这种采样过程的采样器称为理想的采样器或理想的采样开关。理想的采样过程第6页/共93页保持器：把脉冲序列转变为连续信号的装置称为保持器。最常用的保持器是零阶保持器，它是把前一采样时刻nT的采样值，恒定不变地保持到下一个采样时刻(n+1)T,从而使采样信号f*(t)变成阶梯信号fh(t)。第7页/共93页采样系统的典型结构图第8页/共93页二、计算机控制系统环形炉压力控制系统第9页/共93页数字信号：当用计算机作为控制系统中的一个环节时，计算机的输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即时间上和幅值上都离散的信号。而系统中的模拟元件，例如被控对象或测量元件的输入和输出是连续信号。所以在计算机控制系统中需要应用A/D和D/A转换器，来实现两种信号的转换，他们是计算机控制系统中的两个特殊环节。A--Analogsignals,D--Digitalsignals。第10页/共93页A/D转换器：把连续的模拟信号转换成离散数字信号A/D转换过程可以用周期为T的理想采样开关表示A/D转换过程第11页/共93页D/A转换器：把离散的数字信号转换成连续的模拟信号。D/A转换过程可以用零阶保持器取代。D/A转换过程第12页/共93页计算机控制系统的典型结构图无论计算机控制系统还是采样控制系统均为离散控制系统，以后介绍的分析方法对这两种系统都适用。第13页/共93页6-2信号采样与保持一、采样过程的数学描述1.采样过程的数学表示从物理意义来看，采样过程可以理解为脉冲调制过程。在这里，采样开关起着单位脉冲发生器的作用，它好似一个脉冲调制器，通过它将连续函数f(t)调制成理想的脉冲序列f*(t)。第14页/共93页采样的脉冲调制过程第15页/共93页2.采样信号的拉普拉斯变换对采样信号进行拉氏变换，可得根据拉氏变换的位移定理，有所以，采样信号的拉氏变换第16页/共93页二、采样周期的选择采样周期T选得越小，即采样频率ws选得越高，对控制过程信息了解得越多，控制效果也越好。但是，采样周期T选得过短，将给计算机增加不必要的负担。另外，采样频率太高，干扰对系统的影响也明显上升。反之，T选得过长又会给控制过程带来较大的误差，降低系统的动态性能，而且有可能导致整个系统的不稳定。第17页/共93页 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 实践表明，随动系统的采样频率可选为ws=10wcwc为开环系统的截止频率。从时域性能指标来看，采样周期可按如下经验公式选取：第18页/共93页三、零阶保持器零阶保持器的作用是把nT时刻的采样值一直保持到下一个时刻(n+1)T出现前的瞬间，从而使采样信号变成阶梯信号。第19页/共93页即：gh(t)=1(t)-1(t-T)零阶保持器的传递函数为：gh(t)-1(t-T)1(t)+＝TTttt000第20页/共93页6-3Z变换理论通过Z变换处理后的离散系统，可以把连续系统中的许多方法，例如稳定性分析、稳态误差计算、时间响应等，经过适当改变后直接用于离散系统的分析和 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 中。连续系统的分析工具——微分方程及拉氏变换离散系统的分析工具——差分方程及Z变换第21页/共93页拉氏变换定义的Z变换，记做:为了书写方便，记做：一、Z变换定义：f(t)的采样函数第22页/共93页1.级数求和法直接根据Z变换的定义由f(t)求F(Z)Z变换的求法：求离散时间函数的Z变换有多种方法，下面主要介绍两种：例1求单位阶跃函数1(t)的Z变换。解：因为单位阶跃函数在任何采样时刻的值均为1，所以f(nT)=1n=0,1,2,…第23页/共93页代入公式后，当时，上式的无穷级数是收敛的，利用等比级数求和的公式可以把它写成闭式。第24页/共93页例2求指数函数e-at的Z变换。当时，上式的无穷级数也是收敛的。于是求得e-at的Z变换为：解：令t=nT,则指数函数e-anT在各采样时刻的值为代入公式得：第25页/共93页2.部分分式法用部分分式法求Z变换，是已知连续函数f(t)的拉氏变换F(s),求该连续函数的Z变换F(z)。f*(t)f(t)F(s)F(z)采样L-1Z部分分式第26页/共93页例求的Z变换解：将F(s)展开成部分分式第27页/共93页序号拉氏变换时间函数Z变换F(z)11δ(t)121/s1(t)31/s2t41/s35e-at6at/T常用函数的Z变换表第28页/共93页二、Z变换的基本性质②原函数线性组合的Z变换，等于各原函数Z变换的线性组合1.线性定理①常数可以提到Z变换符号的外面；第29页/共93页2.实域位移定理若,则超前定理变成①延迟定理原函数在实域中延迟n个采样周期的Z变换，等于象函数乘以z-n，即②超前定理原函数在时域中超前n个采样周期的Z变换为第30页/共93页由实域位移定理可以看到，算子z有明确的物理意义。z-n代表时域中的延迟环节，它把采样信号延迟n个采样周期。同样，zn代表超前环节，它把采样信号超前n个采样周期。第31页/共93页3.复域位移定理原函数乘以的Z变换，等于象函数的自变量z乘以4.初值定理若极限存在，则原函数的初值等于象函数的终值，即：第32页/共93页5.终值定理若f(nT)(n=0,1,2,)均为有限值，则原函数的终值等于象函数乘以(1-z-1)当z1时的值，即注意：仅当极限存在时，才能应用Z变换的终值定理。终值定理是计算离散系统稳态误差的重要定理。第33页/共93页三、Z反变换定义：由F(z)，求出时域的离散时间函数f*(t)，称为Z反变换，记作Z反变换对应的脉冲序列惟一对应的时间函数不惟一对应脉冲序列第34页/共93页Z反变换的方法1.长除法式中分子、分母多项式的阶数满足n>=m,多项式系数b0,b1,bm;a1,an均为常数。通过对F(z)直接作长除法，可以得到按z-1升幂排列的幂级数展开式:第35页/共93页例试用长除法求的Z反变换。解：将F(z)的分子除以分母，得第36页/共93页T2T3T4T5T1t0第37页/共93页2.部分分式法将展开成部分分式之和的形式：第38页/共93页例1用部分分式法求的Z反变换。查Z变换表，得：解：第39页/共93页例2用部分分式法求的Z反变换。第40页/共93页6-4离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数。一、差分方程1.差分设连续函数为f(t)，其采样函数为f(kT),简写成f(k),它的一阶、二阶和n阶后向差分的定义为：第41页/共93页一阶、二阶、n阶前向差分的定义为第42页/共93页2.差分方程由各阶差分所组成的方程为差分方程。典型形式：例1将微分方程化为差分方程。解：第43页/共93页将以上三式代入第44页/共93页解：根据C(z)的表达式有例2已知离散系统输出序列的Z变换函数为求系统的差分方程。对上式取Z反变换,并根据延迟定理，得系统的差分方程第45页/共93页差分方程的解法1.迭代法迭代法Z变换法例已知差分方程输入序列为r(kT)=1(k=0,1,2,),初始条件为c(0)=0,试用迭代法求解差分方程。第46页/共93页解：k=0c(1)=-0.2c(0)+2r(0)=2k=1c(2)=-0.2c(1)+2r(1)=1.6k=2c(3)=-0.2c(2)+2r(2)=1.68k=3c(4)=1.664k=4c(5)=1.6672T2T3T4Tt第47页/共93页2.Z变换法在连续系统中引入拉氏变换以后，使求解微分方程变成了简单的代数运算。在离散系统中引入Z变换以后，同样使求解差分方程的问题变得十分简便。用Z变换求解差分方程的步骤是：(1)应用Z变换的实域位移定理，将时域的差分方程化为Z域的代数方程，同时引入初始条件;(2)求Z域代数方程的解;(3)将Z域代数方程的解经Z反变换求得差分方程的时域解。第48页/共93页例解差分方程解：对差分方程中的每一项进行Z变换，根据超前定理得:把每一项的Z变换代入差分方程，得：第49页/共93页解出：查表得Z反变换，得记住公式:第50页/共93页二、脉冲传递函数在连续系统中是通过研究传递函数来研究系统动态特性的，在离散系统中则要通过研究脉冲传递函数来研究系统的动态特性，它是分析和设计离散系统的重要工具.1.脉冲传递函数的基本概念脉冲传递函数：在零初始条件下，输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之比，即第51页/共93页脉冲传递函数G(z)的几个性质(1)它联系的只是输出、输入在各采样点上的函数关系,它表明了系统对脉冲序列的传递特性。(2)脉冲传递函数与差分方程对应，反映了系统本身的动态特性，与输入序列的形式无关。(3)若已知R(z)和G(z),则在零初始条件下，系统输出的采样信号为：第52页/共93页例设，求G(z)2.由G(s)求G(z)的方法脉冲传递函数G(z)可以通过对应的传递函数G(s)来求。解：将G(s)展开成部分分式：查Z变换表求得第53页/共93页三、开环系统和闭环系统的脉冲传递函数1.开环系统的脉冲传递函数开环系统的两个环节相串联，可以归纳为以下三种典型形式：(1)两个离散环节串联R(z)C(z)结论：数个离散环节串联后的等效脉冲传递函数，等于各离散环节脉冲传递函数之积。第54页/共93页(2)中间无采样器的两个连续环节串联R(z)C(z)C(s)R*(s)R(s)C*(s)T结论：中间无采样器隔开的数个连续环节相串联，其等效的脉冲传递函数，等于数个串联环节传递函数乘积后的相应Z变换。第55页/共93页(3)中间有采样器的两个连续环节串联R(z)C(z)C(s)R*(s)R(s)C*(s)T结论：中间有采样器的数个连续环节串联，其等效脉冲传递函数，等于数个串联环节脉冲传递函数之积。第56页/共93页注意：如:第57页/共93页2.有零阶保持器时开环系统的脉冲传递函数c(t)r*(t)r(t)c*(t)TTGh(s)为零阶保持器的传递函数，G0(s)为系统连续部分的传递函数。由于Gh(s)不是s的有理分式，因此用等效串联环节的方法，不能直接求出该开环系统的脉冲传递函数第58页/共93页c(t)r*(t)r(t)c*(t)TT第59页/共93页3.闭环系统的脉冲传递函数在闭环的离散控制系统中，采样开关可以有不同的配置方法。所以，闭环的离散系统有多种结构形式，不存在唯一的典型结构图。因此，闭环系统的脉冲传递函数没有一般的计算公式，只能根据不同系统的实际结构具体地来求。第60页/共93页典型的采样控制系统图中虚线所示的采样开关是为了计算而添加的，它表示只计算r(t)、c(t)、b(t)在采样点上的值。注：虚拟开关只是求输出时用，不参加信号传递G(s)H(s)-第61页/共93页在离散系统中，求闭环脉冲传递函数无计算公式，必须根据结构图，列出描述系统中各个变量之间关系的基本方程，然后消去中间变量，求出输出变量的Z变换与输入变量的Z变换之比。该系统的基本方程为由上式有：第62页/共93页由上式可以求出偏差信号对控制信号的闭环脉冲传递函数离散化得：第63页/共93页所以采样系统的特征方程：对于单位反馈系统，H(s)=1第64页/共93页例 证明下图所示离散系统的C(z)为：解：列系统的基本方程：  把（1）、（3）式代入（2）式，得：TR(s)C(s))(sT第65页/共93页将（4）式两边离散化，有：令，得：则将（3）式两边离散化，有：令，得：即得证。第66页/共93页结构图常见离散系统的结构图及输出量的Z变换表达式第67页/共93页第68页/共93页6-5离散系统的性能分析即：一、S平面与Z平面的映射关系在Z变换的定义中已经确定了复变量S与复变量Z之间的转换关系：式中T为采样周期。S平面上的任一点可以表示为，将S点的坐标代入上式，即可求出该点在Z平面上的映射。第69页/共93页可见它是模值为，相角为矢量终端的一点由可知，当时，，即S平面的虚轴映射到Z平面上是以圆点为圆心的单位圆周，以后简称单位圆，当时，即S平面的左半部分映射到Z平面的单位圆内部，当时，，即S平面的右半部分映射到Z平面的单位圆外部。第70页/共93页S平面与Z平面的映射关系从分析S平面与Z平面的映射关系可知：在Z平面中，单位圆内是稳定区域，单位圆外是不稳定区域，而单位圆的周线是临界稳定的标志。第71页/共93页二、离散系统稳定的充要条件典型的采样控制系统脉冲传递函数G(s)H(s)-第72页/共93页系统的特征方程为：设系统的特征根或闭环脉冲传递函数的极点为：，则线性离散系统稳定的充要条件是：线性离散系统的全部特征根均分布在Z平面的单位圆内，或全部特征根的模小于1，即如果在上述特征根中，有一个位于单位圆之外的，则系统不稳定，有位于单位圆周上的，系统临界稳定。第73页/共93页例设离散系统如图，若a=1，T=1，试分别判断和时系统的稳定性。解:由系统连续部分的传递函数得系统的开环脉冲传递函数：三、线性离散系统的稳定判据1.直接求特征方程的根第74页/共93页可求得闭环系统的脉冲传递函数系统的特征方程为：第75页/共93页当a=1，T=1，时，系统的特征方程为：解出两个特征根：二者的模，系统是稳定的。当a=1，T=1，时，系统的特征方程为：第76页/共93页对于二阶连续系统，不论K为何值，系统总是稳定的。而二阶的离散系统，当开环增益增大时却可能变为不稳定，这说明采样造成的信息丢失使系统的稳定性变差。开环增益对系统稳定性的影响与连续系统类似，K加大，系统的稳定性变差。解出两个特征根：有一个特征根在单位圆外，所以系统不稳定。第77页/共93页2.劳斯判据当离散系统的阶数较高时，很难直接解出特征根，这时可以用劳斯判据来判断系统的稳定性。连续系统中的劳斯判据不能直接用于离散系统，这是因为劳斯判据只能判断特征方程的根是否全在复平面的虚轴以左，但无法判断这些根是否都在单位圆以内，为了能够应用劳斯判据判断离散系统的稳定性，需要通过W变换（又称双线性变换）。第78页/共93页使变量Z与新的变量W之间有这样的对应关系：Z平面上的单位圆周对应于W平面上的虚轴，Z平面上的单位圆内部对应于W平面上的左半平面，Z平面上单位圆外部对应W平面的右半平面。经过W变换以后，对于W平面就可以应用劳斯判据了。第79页/共93页W变换将代入，并整理得：由于Z和W都是复变量，故可以写成：则：令第80页/共93页W平面的虚轴对应于上式中的实部为0，即即Z平面上的单位圆。所以有如下结论:即Z平面上的单位圆对应于W平面上的虚轴；即Z平面上的单位圆以内对应于W平面的左半平面；即Z平面上的单位圆以外的对应于W平面的右半平面。第81页/共93页例1已知某离散系统的脉冲传递函数试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：由知系统的特征方程为：将代入特征方程，有第82页/共93页化简得：各项系数不同号，不满足系统稳定的必要条件，所以系统不稳定。列劳斯表：第一列变号一次，可知系统有一个根在Z平面的单位圆以外。第83页/共93页例2设离散系统如图所示，若，试求采样周期T=1秒和T=0.5秒时，系统临界稳定时的放大系数。解：系统的开环脉冲传递函数：第84页/共93页闭环系统的脉冲传递函数：当时，系统的特征方程为：令，得第85页/共93页列劳斯表：欲使系统稳定，劳斯表第一列元素必须为正，即第86页/共93页所以系统临界稳定时的放大系数。当T=0.5(S)时，系统的特征方程为：同样用劳斯判据可以求得系统临界稳定时的放大系数令，得第87页/共93页采样周期T越长，丢失的信息越多，系统的稳定性越差，临界开环增益越小。减小采样周期T可以提高系统的稳定性。对二阶离散系统而言，当采样周期时，系统的开环增益K可以取任意值。因为当时，离散系统实际上转化为连续系统了。第88页/共93页四、离散系统的稳态误差1.稳态误差的计算方法误差传递函数：G(s)-第89页/共93页如果的极点都在Z平面的单位圆以内，系统稳定。则可以利用Z变换的终值定理来计算系统在采样瞬时的稳态误差:离散系统的稳态误差还与采样周期T有关，这是因为和与T有关的缘故，这一点与连续系统不同。提高采样频率可以降低稳态误差。其他消除和减小稳态误差的结论与连续系统相同。第90页/共93页例设离散系统如图，试求系统在单位速度输入时的稳态误差。解：开环脉冲传递函数：第91页/共93页系统的误差传递函数当第92页/共93页感谢您的观看！第93页/共93页