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等价无穷小的应用

等价无穷小的应用一、等价无穷小的概念与性质概念：当x→x(或x→∞)时，limf(x)=O，那么称函数f（x）在x→x时(或x→00∞)时为无穷小量。当lim=1，就说与是等价无穷小。性质1：设，，，，等均为同一自变量转变进程中的无穷小，11若～，～，且lim1存在，那么lim=lim1.1111性质2：设，，，等均为同一自变量转变进程中的无穷小，且～，～，那么～注：性质1说明等价无穷小量的商的极限求法。性质2说明等价无穷小的传递性关于等价无穷小的和与差，有以下性质：性质3：设...

一、等价无穷小的概念与性质概念：当x→x(或x→∞)时，limf(x)=O，那么称函数f（x）在x→x时(或x→00∞)时为无穷小量。当lim=1，就说与是等价无穷小。性质1：设，，，，等均为同一自变量转变进程中的无穷小，11若～，～，且lim1存在，那么lim=lim1.1111性质2：设，，，等均为同一自变量转变进程中的无穷小，且～，～，那么～注：性质1说明等价无穷小量的商的极限求法。性质2说明等价无穷小的传递性关于等价无穷小的和与差，有以下性质：性质3：设，，，，是同一极限进程中的无穷小量，且～，～，1111且lim≠-1，那么+～+11性质4：设，，，是同一极限进程中的无穷小量，且～，～，1111若是lim≠1，那么-～-11性质5：设、、、及、、、是同一极限进程中的无穷小量，1111AC知足～，～，～，～，且lim≠-1，lim≠-1，其中1111BDABABA、B、C、D为常数，那么有lim=lim11CDCD11另外等价无穷小在幂指函数中有以下性质；性质6：设，，，是同一极限进程中的无穷小量，且～，～，111111那么有lim(1)=lim(1)11性质7：设，，，是同一极限进程中的无穷小量，且～，～，1111其中〉0，〉0，那么有lim=lim111性质8：当x→0时，无穷小量（x）～（x），且（x）与（x）在[0，x]xx上持续，那么有(t)dt～(t)dt00二、等价无穷小的应用⑴、利用等价无穷小的性质求函数极限①利用等价无穷小的传递性直接求函数极限常见的等价无穷小有：当x→0时，x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln（1+x）～ex-1，1x1-cosx～x2，n1x～1+，(1x)2-1～2x2ntanxsinx例1．limx0x3x2解：∵当x→0时，tanx～x，1-cosx～2tanx(1cosx)那么原式=limx0x31x.x2=lim2x0x31=2注：此题也可用罗比塔法那么，但通过比较，显然等价无穷小代换计算更直接简单。1例2：求lim（cot2x）x0x2tan2xx2解：原式=limx0x2tan2x(tanxx)(tanxx)=limx0x42x(tanxx)=lim（∵tanx～x）x0x42(tanxx)=limx0x32(sec2x1)=limx03x22tan2x=lim3x0x22=3注：假设直接用罗比塔法那么，那么会显现以下结果：tan2xx2原式=limx0x2tan2x2(secx.tanxx)=limx02xtan2x2x2tanx.secxsecx(tan2xsec2x)1=limx0tan2x4x.tanx.secxx2secx(sec2xtan2x)式子越变越复杂，不能求出极限，而结合等价无穷小那么专门快可求出。另外等价无穷小思想也可用二元函数求极限ln[1x(x2y2)]例3：求lim(x,y)(0,0)x2y2解：因为当（x,y）→(0,0)时，ln[1x(x2y2)]与x(x2y2)为等价无穷小x(x2y2)因此原式=lim(x,y)(0,0)x2y2=limx(x,y)(0,0)=0②利用等价无穷小的和差的性质求极限1cosx3sinx例4：求limx0ex1sinxx21cosx解：∵lim=lim2=0≠-1x03sinxx03xex1exlim==1≠-1x0sinxcosx由性质3可知：x23x1cosx3sinx3lim=lim2=x0ex1sinxx0xx2ln(13xsinx)arcsinx2例5：求limx0ex2sinx1ln(13xsinx)3xsinx解：∵lim=lim=3≠1x0arcsinx2x0x2ex21x2lim=lim=0≠1x0sinxx0x由性质4可知：ln(13xsinx)arcsinx2原式=limx0(ex21)sinx3xsinxx2=limx0x2x3sinxx=limx0x1=0注：利用性质3时必然要注意，假设～，～，有前提条件lim≠-111时，有+～+；同理，利用性质4时必然要注意若～，～，有1111前提条件lim≠1时，才有-～-。11tanxxtanxxxx假设求lim假设直接如此计算lim=lim=0那么是错误的。x0x3x0x3x0x3因为忽略了性质3的前提条件，不知足条件，故不能用等价无穷小取代。③利用等价无穷小在幂指函数的性质求极限1tanx1例6：求lim()sin3xx01sinx1tanx1sinxtanxsinxtanx(1cosx)解：因为==1+1sinx1sinx1sinxtanx(1cosx)x2x3当x→0时，～x.=sin3x～x31sinx22由性质5可知：1tanx1原式=lim()sin3xx01sinx1=lim(1x3)x3x02=e例7：求lim(arcsinxsinx)x2sinxx0解：当x→0时，arcsinxsinx～2xx2sinx～3x由性质6可知：lim(arcsinxsinx)x2sinx=lim(2x)3x=lim23xx3x=lim(xx)3=1x0x0x0x0④利用等价无穷小在积分中的性质求极限sin2xln(1t)dt例8：求lim0x01x21解：∵ln(1t)～tsin2xsin2x由性质8有：ln(1t)dttdt00sin2xtdt∴原式=lim01x0x221sin22x=lim21x0x224sin2xcos2x=limx02xsin4x=limx0x=4⑵、利用泰勒公式确信等价无穷小求极限泰勒局部公式：假设（1）函数f（x）在x某邻域xx内有概念；00（2）在此邻域内有一直到n-1阶的导数f'(x)，f''(x)，…f(n1)(x)；（3）n阶导数fn(x)在x点存在；00nfk(x)则f(x)a(xx)x(xxn)其中a0（k=0，1，…，n）k00kk!k0nfk(0)专门当x=0时，有f(x)xk(xn)k!k0

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