直线的交点坐标与距离公式点到直线的距离公式探究新知问
题
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1如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离 PQxyOl
答案
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:过点作直线的垂线，记垂足为，则垂线段的长度就是点到直线的距离. 探究新知追问1答案:如何求出的距离？ 利用两点间距离公式，需要先求出、点的坐标.其中，点坐标已知，因此只需要求出点的坐标. PQxyOl探究新知追问2答案:如何求出点的坐标？ 是直线与垂线的交点，所以联立两条直线方程求交点坐标. PQxyOl探究新知追问3答案:如何求垂线的方程？ 已知一点，再求出直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程. PQxyOl探究新知追问4答案:如何求垂线的斜率？ 直线与直线垂直，直线的斜率为，可得垂线的斜率. PQxyOl探究新知由此，求得垂线的方程为，整理得. 解方程组： 将得. 整理得. 同理可得. 则PQxyOl探究新知利用两点间距离公式由此，求得点P到直线l的距离PQxyOl探究新知追问5答案:如图，如果直线平行于x轴，点到直线的距离还满足上式吗？ 到直线的距离 由A=0，d也
表
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示为PQxyOl探究新知追问6答案:如果直线垂直于x轴，点到直线的距离还满足上式吗？ 到直线的距离 由B=0，d也表示为PQxyOl探究新知一般地，点到直线的距离： PQxyOlPQxyOlPQxyOl探究新知问题2上述推导过程思路自然，但运算较繁，
反思
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求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗?答案:原因在于，求出的点Q坐标比较复杂，再代入两点间距离公式造成了运算的复杂.PQxyOl探究新知追问1答案:能否不求出点Q的坐标，推得点到直线的距离公式？设Q(x，y)，观察两点间距离公式的结构能否从方程组中直接写出，的表达式？ 由得将(3)、(4)两边分别平方后相加可得所以从而探究新知追问2答案:与第一种方法相比，第二种方法的计算量大大降低.能否概述简化运算的过程吗?第二种方法的推导过程，实际上是从所求表达式的结构入手，虽然设出点Q的坐标，但是并不求出点Q的坐标，通过整体代换简化了运算.“设而不求”和“整体代换”也是运算中十分常用的方法.探究新知问题3答案:向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢?如图，点到直线的距离|PQ|是点与直线上所有点的距离中最短的.PQxyOlM(x,y)探究新知追问1答案:点与直线上任一点所成向量与向量有何关系呢？ 设是直线上任意一点，是在直线方向上的投影. ，其中是与直线的方向向量垂直的单位向量. PQxyOlM(x,y)探究新知追问2答案:如何用坐标表示向量？ 因为直线的斜率为，它的一个方向向量为， 由向量的数量积运算可求得与直线垂直的一个方向向量为 由此，与直线l垂直的单位向量探究新知因为，其中所以（5）因为M(x，y)在直线l上，则Ax+By=C. 代入（5）式整理得.探究新知问题4答案:比较上述推导点到直线距离公式的“坐标法”和“向量法”两种方法，它们各有什么特点?“坐标法”是通过寻找所求量的坐标表示，再经过一系列运算最终得到点到直线距离公式.坐标法运算量较大，所以我们还要寻求简化运算的方法.这里我们用到了设而不求，整体代换的手段.“向量法”抓住了点到直线距离是点与直线上点的最短长度这一几何特征，借助投影向量、直线方向向量的概念，将向量用坐标表示，再运算求解.这种方法体现了解析几何形与数、数与形的转化，技巧性强，但是大大降低了运算量.探究新知问题5答案:点到直线距离公式有什么结构特征？公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把P的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.特别地，如果P在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0.运算结果与实际相符.这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离.知识应用例1解：求点到直线的距离. 点到直线的距离. 知识应用例2解：如图，已知的三个顶点分别是求的面积. 如图，设边上的高为，则. 边AB所在直线l的方程为，即． 故点到直线的距离. 课堂小结问题6答案:你能写出点到直线的距离公式吗？这个公式如何证明？公式证明的三种方法各有特点，谈一谈你的体会？坐标法是解析几何问题中最本质的方法，是通过点的坐标建立方程再计算获得结论.第二种“坐标法”采用了“设而不求”的想法，通过整体代换的思想简化了运算.向量法利用了投影向量的概念，借助向量运算获得点到直线距离公式.这个方法十分巧妙，大大降低了运算量，但是需要熟练使用向量的相关知识.谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵
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