快速学完高等数学(基础讲义)

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示的，则定义域就是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数的集合若由实际问题建立的函数，定义域就是具有实际意义的自变量取值的集合；复杂函数的定义域，就是求解由简单函数的定义域所构成的不等式组的解集；表达式与自变量的表示符号无关2．函数的分类及表示方法基本初等函数（定义域、值域、图形、特性要非常清楚）（1）常值函数y＝C（常数）（2）幂函数yx（为常数）（3）指数函数xya（0a且1a）（4）对数函数logayx（0a且1a）（5）三角函数sin;cos;tan.yxyxyxcot;sec;csc.yxyxyx（6）反三角函数arcsin;cos;yxyarcxarctan;cot.yxyarcx初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或复合所构成的用一个解析表达式表示的函数称为初等函数分段函数：如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示3.函数的四大特性（1）奇偶性：（要求定义域关于原点对称）若)()(xfxf，则称)(xf为偶函数；若)()(xfxf，则称)(xf为奇函数；高等数学期末通关讲义高等数学2注：奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y轴对称；常见的奇函数有：xxxxarcsin,arctan,tan,sin等；常见的偶函数有：xxarccos,cos等（2）周期性：若)()(xfTxf，则称T为)(xf的周期.由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周期.注：常见的周期函数有：xxcos,sin以2为周期，xxxxx2sin,cos,sin,cot,tan等以为周期（3）单调性：若)(xf在区间I上有定义，若Ixx21,（21xx）总有)()(21xfxf，则称)(xf在I上单调递增；若)()(21xfxf，则单调递减.注：一个函数的单调性取决于区间（4）有界性)(xf在区间I上有定义，,Ix都有Mxf)(，则称)(xf在区间I上有界，否则就无界.注：)(xf有界与否依赖于区间I，)(xf在I上有界的充要条件是既有上界又有下界.常见的有界函数为:正弦、余弦以及四个反三角函数高等数学期末通关讲义高等数学3第二讲极限【教学目的】掌握微积分的理论基础【教学重点】会套用公式求解简单极限无穷小的概念，性质及无穷小的比较，会灵活运用等价无穷小化简复杂的计算【教学难点】灵活运用等价无穷小化简复杂00的运算【内容展开】1.极限的定义：变化过程+变化趋势；2.极限的性质：（1）函数（数列）极限存在必唯一；(2)极限的局部保号性：1）若)0(0)(lim0Axfxx，则存在0，当||00xx时，有)0(0)(xf2）若)0(0)(xf，且Axf)(lim，则)0(0A（3）极限的局部有界性：Axfxx)(lim0，则存在0，当||00xx时，有Mxf)(3．极限的计算（1）极限存在的两个准则定理1（单调有界准则）：若数列nx满足单调上升（下降）有上界（下界），则有极限.定理2（夹逼准则）：设数列nx满足以下两个条件1）从某项起nnnzxy2）azynnnnlimlim则nx有极限且axnnlim.（2）关于极限的计算1）套用基本公式求极限CClim；)()(lim00xPxPnnxx；)()()()(lim000xQxPxQxPmnmnxx（)0)(0xQm11101110limmmmmnnxnnaxaxaxabxbxbxb0mnmnamnbmn　　　　　　当时＝　　　　　当时　　　　当时2）套用两个重要极限高等数学期末通关讲义高等数学4利用第一个重要极限1sinlim0xxx求极限例：计算下列极限1）xxx3sin2sinlim02）xkxxsinlim03）xxxcotlim0利用第二个重要极限exxx10)1(lim求极限例：计算下列极限1）xxx10)1(lim2）xxx3)21(lim3）xxxx11lim4.无穷小与无穷大（1）无穷小量定义：若lim0fx，则称fx为无穷小量（2）无穷小的性质：有界变量乘无穷小量仍是无穷小量.在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.常数与无穷小的乘积是无穷小.有限个无穷小的乘积是无穷小.（3）无穷小的比较：设lim0lim0fxgx，，且limfxlgx1)0l，称fx是比gx高阶的无穷小量，称gx是比fx低阶的无穷小量记为fxogx2)0l，称fx与gx是同阶无穷小量.3)1l，称fx与gx是等价无穷小量，记为)(~)(xgxf4）)0()()(limccxgxfk，称)(xf是)(xg的k阶无穷小注：（1）等价无穷小有个良好的性质可用定理表示如下：定理3：设)(~)(1xfxf，)(~)(1xgxg，若)()(lim11xgxf存在，则)()(lim)()(lim11xgxfxgxf.该定理表明求00的极限时，可对分子分母分别做等价代换其结果将保持不变，此结论可使得计算简单许多.（2）常见的等价无穷小（)0x高等数学期末通关讲义高等数学5xxxxexxxxxxx~1)1(21~cos11~)1ln(~arctan~tan~arcsin~sin~2（3）等价无穷小不能滥用，一般建议应用于乘除法因子中做等价代换.例:计算下列极限)3sin11sin3(lim0xxxxx)3sin11sin3(limxxxxxxxxx30sinsintanlim112cos1lim20xxx（4）无穷大量定义：任給0M，当x变化一定以后，总有fxM，则称fx为无穷大量，记limfx.（5）无穷小和无穷大的关系：1)若)(limxf，则0)(1limxf；2)若0)(limxf，且0)(xf，则)(1limxf.高等数学期末通关讲义高等数学6第三讲连续【教学目的】掌握微积分的理论基础【教学重点】连续的定义以及间断点的类型【教学难点】连续与间断的判定【内容展开】1．函数在某点连续的定义：定义1：设函数)(xf在)(0xU内有定义,且0lim0yx,此时就称函数)(xf在点0x连续,并称0x为)(xf的连续点.否则称0x为)(xf的间断点.定义2：设函数)(xf在)(0xU内有定义，如果有)()(lim00xfxfxx，那么就称)(xf在0x处连续，否则在0x处间断.注：)()(lim)(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx，即)(xf在0x处连续的充要条件是既要左连续又要右连续.2.间断点的类型1）第一类间断点：左右极限都存在的点.若左极限等于右极限，称此时的间断点为第一类的可去间断点（可通过修改或者补充原函数的定义使此类间断点变成连续点）；若左极限不等于右极限，称此时的间断点为第一类中的跳跃间断点.2）第二类间断点：左右极限至少有一个不存在,若)(lim0xfxx，则称0x是)(xf的无穷间断点.例：判定下列函数在给定点处的连续性，若不连续请指明间断点的类型，若是可去间断点请修改或者补充原函数的定义使其成为连续点1）010001)(xxxxxxf0x2）020sin)(xxxxxf0x3）xxf1)(0x【教学总结】本部分主要涉及微积分的基本理论，介绍了什么是函数，我们要研究的函数都有哪些；介绍了什么是极限，有什么性质，都该如何去计算等；介绍了连续与间断的定义，如何利用定义表明这个点是函数的连续点还是间断点.高等数学期末通关讲义高等数学7第四讲导数与微分【教学目的】理解导数的定义，会利用几何意义建立切线（法线）方程，会求简单函数的导数，并能利用导数借助于洛必达法则求解未定式的极限【教学重点】导数的定义和几何意义借助于求导法则求导数掌握洛必达法则【教学难点】借助于求导法则求导数，洛必达法则【内容展开】一、导数与微分概念1.导数的定义（增量比的极限）设函数yfx在点0x的某邻域内有定义，自变量x在0x处有增量x，相应地函数增量00yfxxfx，如果极限0000limlimxxfxxfxyxx存在，则称此极限为函数fx在0x处的导数，记作0fx或000xxxxdfxdyyxxdxdx，，等，并称函数yfx在点0x处可导，如果上面的极限不存在，则称函数yfx在点0x处不可导.注：fx在点0x处可导fx在点0x处左、右导数皆存在且相等.2.导数的几何意义：如果函数yfx在点0x处导数0fx存在，则在几何上0fx表示曲线yfx在点00xfx，处的切线的斜率，于是有切线方程000yfxfxxx法线方程：000010yfxxxfxfx　　　3.求导法则1)基本求导公式：高等数学期末通关讲义高等数学80)(Cxxcos)(sinxxsin)(cosxxx22cos1sec)(tan221(cot)cscsinxxxxxxtansec)(secxxxcotcsc)(cscaaaxxln)(axxaln1)(log211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cot(xxarc2）四则运算的求导法则设vu,均为x的可导函数，则vuvu)(uvvuuv)(2vuvvuvu（0v）3）复合函数的求导法则设)(),(xuufy均可导，则)]([xfy可导，且dxdududydxdy即y对x的导数等于y对中间变量的导数乘以中间变量对x的导数，可见要学好复合函数的导数得学会分析复合函数的形成过程.4）隐函数的求导法则设yyx是由方程0Fxy，所确定，求y的方法如下：把0Fxy，两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y的表达式.5）反函数的求导法则设yfx的反函数xgy，两者皆可导，且0)(ygdydxdxdy16）分段函数的求导：分段函数分段求，分段点处定义求4.洛必达法则：定理1：设（1）)(0)(lim0xfxx)(0)(lim0xgxx（2）在0x的某去心邻域内)(),(xgxf都可导，且满足)()()(lim0axgxfxx，其中0)(xg则，)()(lim0xgxfxx)()()(lim0axgxfxx高等数学期末通关讲义高等数学9例：计算下列极限30sinlimxxxx30)sin(sinsinlimxxxxxnxexlimxxxlnlimxxxlnlim0)tan11(lim0xxx二、微分1.微分的定义：设函数yfx在点0x处有增量x时，如果函数的增量00yfxxfx有下面的表达式00yAxxoxx　　　　其中0Ax与x无关，ox是0x时比x高阶的无穷小，则称fx在0x处可微，并把y中的主要线性部分0Axx称为fx在0x处的微分，记以0|xxdy或0xxdfx.2.可微的计算：定理2：)(xfy在0x处可微的充要条件是)(xfy在0x处可导且xxfdyxx)(00.【教学总结】本部分讲述了导数的定义和常用的求导法则，能够根据导数解决曲线在某点的切线和法线方程，利用导数和洛必达的法则求解未定式的极限.高等数学期末通关讲义高等数学10第五讲不定积分【教学目的】理解原函数和不定积分的定义，会求不同类型函数的不定积分【教学重点】原函数的不定积分的定义第一换元法，第二换元法，分部积分法【教学难点】第一换元法【内容展开】一、原函数与不定积分的概念与性质1．原函数与不定积分的概念设函数fx和Fx在区间I上有定义，若Fxfx在区间I上成立．则称Fx为fx在区间I的原函数，fx在区间I中的全体原函数称为fx在区间I的不定积分，记以fxdx.其中称为积分号，x称为积分变量，fx称为被积函数，fxdx称为被积表达式.2.性质：分析性质和运算性质（1）FxdxFxC或dFxFxC（2）fxdxfx或dfxdxfxdx（3）kfxdxkfxdx（4）fxgxdxfxdxgxdx二、基本积分公式CkxkdxCxxdxcossinCxxdxsincosCxxdxcoslntanCxxdxsinlncotCxxxdxtanseclnsecCxxxdxcotcsclncscCxxdxxsectansecCxxdxxcsccotcscxxtansec2Cxdxxcotcsc2Cxdxxarctan112Cxdxxarcsin112三、不定积分积分法高等数学期末通关讲义高等数学111.第一换元法的基本原理uxfxxdxfxdxfudu令()FuCFxC注：目的是化为能带基本积分公式的方法例：计算下列不定积分dxeexx1dxxx21sindxxxsindxxx2lndxxx2cossinxdxxcossindxxx2arccos1100dxxx212．第二换元法的基本原理1xtfxdxfttdtGtCGxC令，其中1tx为xt的反函数.注：是一种化繁为简的方法，主要的目的是为了去掉被积函数中的根号例：计算下列不定积分dxxa22)0(a22xadx)0(axxdx13.分部积分法的基本原理设uxvx，均有连续的导数，则uxdvxuxvxvxdux例：计算下列不定积分xdxxsinxdxxarctanxdxxlnxdxexsinxdxarctandxxex4.有理函数积分法的基本原理（1）有理函数的相关定义：有理函数是指两个多项式的商表示的函数mmmnnnbxbxbaxaxaxQxP110110)()(其中naaaa,,,,210及mbbbb,,,,210为常数，且00a，00b.如果分子多项式)(xP的次数n小于或等于分母多项式)(xQ的次数m，称分式为真分式；如果分子多项式)(xP的次数n大于或等于分母多项式)(xQ的次数m，称分式为假分式.利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和.（2）定理：若上面定义中的)(xQ可以被因式分解成slkqpxxbxaxbxQ)()()()(20（)042qp高等数学期末通关讲义高等数学12则sllkkqpxxQxPqpxxQxPqpxxQxPbxBbxBbxBaxAaxAaxAxQxP)()()()()()()()()()(2112222211221221例:求下列不定积分dxxx6512dxxx)1)(1(12【教学总结】本部分主要涉及不定积分定义与计算，要求能掌握不定积分的三大核心计算方法，第一换元法，第二换元法，分部积分法高等数学期末通关讲义高等数学15例：计算下列定积分dxxx202cossindxxaa022)0(a3.定积分的分部积分法原理bababavduuvudv例：计算下列定积分exdxx1lndxex10【教学总结】本部分涉及了定积分的概念和性质，要理解定积分的定义为以后的定积分应用打下基础，会利用牛顿莱布尼茨计算定积分的值.高等数学期末通关讲义高等数学13第六讲定积分【教学目的】理解定积分的定义和性质，掌握定积分的计算方法【教学重点】定积分的定义和性质定积分的计算方法【教学难点】定积分的定义【内容展开】一、定积分的概念与性质1．定义：设函数],[)(baxf在上有界，在ba,中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间ba,分成n个小区间],,[,],,[],,[12110nnxxxxxx各个小区间的长度依次为1122011,,,nnnxxxxxxxxx.在每个小区间[iixx,1]上任取一点iiiixx1(),作函数值)(if与小区间长度ix的乘积),,,2,1()(nixfii并作出和niiixfS1)(.记},,,max{21nxxx,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[iixx,1]上点i怎样取法,只要当1时,和S总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数)(xf在区间[a,b]上的定积分(简称积分),记作badxxf)(,即badxxf)(=I=niiixf10)(lim,其中)(xf叫做被积函数,dxxf)(叫做被积表达式,x叫做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限,ba,叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即：bababaduufdttfdxxf)()()(函数可积（定积分存在）的两个充分条件：高等数学期末通关讲义高等数学14定理1设],[)(baxf在上连续，则)(xf在ba,上可积.定理2设],[)(baxf在上有界，且只有有限个间断点，则],[)(baxf在上可积.2．定积分的性质为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：（1）当ba时，0)(badxxf（2）当ba时，badxxf)(abdxxf)(性质1：函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即dxxgxfba)]()([badxxf)(badxxg)(性质2：被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即badxxkf)(kbadxxf)((k是常数)性质3：如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，则badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(注意：我们规定无论cba,,的相对位置如何，总有上述等式成立.性质4：如果在区间ba,上，则,1)(xfbadxxf)(abdxba性质5：如果在区间ba,上，则,0)(xf0)(badxxf)(ba推论1如果在ba,上，则),()(xgxfbadxxf)(badxxg)(（ba）推论2badxxf)(badxxf)(性质6：“设M与m分别是函数],[)(baxf在上的最大值及最小值，则)(abmbadxxf)()(abM（ba）二、定积分的计算1.牛顿莱布尼茨公式设)(xf在ba,上连续，则)()()()(aFbFxFdxxfbaba2.定积分的换元法原理设)(xf在ba,上连续，函数)(tx满足a)(，b)(，则dtttfdxxfba)())(()(练习例1239lim3xxx.例22322lim3xxxx.例32253lim215xxx.例42237lim24xxxxx.例51lim2xxx..例62lim1xxx.例725lim35nnnnn.例8（1）2limlnsinxx（2）limlnarctanxx例9求nnnnn22212111lim.例10求下列极限（1）1lim1xxx（2）0ln1limxxx（3）01limxxax（4）2sin0lim1xxx（5）211lim2xxx例11（1）xxx5sin2tanlim0（2）xxxx3sinlim30（3）1cos1)1(lim3120xxx（4）30sintanlimxxxx例12（1）20lim1xx（2）24limsin1xx例13xxax)1(loglim)1(03sin0(2)lim(12)xxx例14设211(),()1412xxxxfxxxxxx，求复合函数)]([xf.例15求下列函数的极限.（1）xxxsin1lim21（2）xxxx1)321(lim例16求)1)(1(sin)1()(xxxxxxf的间断点，并判别其类型. 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