2020-2021学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题及答案解析

绝密★启用前2020-2021学年江苏省南京市高一上学期期末数学试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 正确填写在答题卡上一、单选题1．若角的终边经过点，则（）A．B．C．D．答案：C根据三角函数定义可得，判断符号即可.解：解：由三角函数的定义可知，符号不确定，，故选：C．点评：任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点，则；（2）角终边任意一点，则.2．设函数的定义域，函数的定义域为，则（）A．B．C．D．答案：B求出两个函数的定义域后可求两者的交集.解：由得，由得，故，故选：B.点评：本题考查函数的定义域和集合的交，函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.3．设实数满足，函数的最小值为（）A．B．C．D．6答案：A将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.解：解：由题意，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为.故选：A．点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方4．已知，，都是负数，且，则（）A．B．C．D．答案：D利用不等式的性质可判断A、B、C，利用作差法可判断D.解：由题意，则，选项A错误；由，不等式两边同除，可得，即，选项B错误；由不等式的可加性可知，由，可得，选项C错误；由，所以，选项D正确；故选：D5．有一组实验数据如下表所示：1.93.04.05.16.11.54.07.512.018.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．B．C．D．答案：B先画出实验数据的散点图，结合各选项中的函数特征可得的选项.解：实验数据的散点图如图所示：4个选项中的函数，只有B符合，故选：B.6．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值是（）A．B．C．D．答案：C根据题意求出原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得，，相减即可.解：解：由题意函数在上单调递减，函数在上单调递减，所以则，，所以的最大值为.故选：C.点评：求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.7．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为A．B．C．D．答案：D先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．解：由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．点评：本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．8．若函数同时满足：①定义域内存在实数，使得；②对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“函数”．下列函数中是“函数”的为（）A．B．C．D．答案：A根据题意函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，且为定义域内的单调递增函数，通过此两点判定即可.解：解：由定义域内存在实数有，可得函数定义域关于原点对称且函数值有正有负，排除D、C.由②得“函数”为单调递增函数，排除B.故选：A【解析】确定函数单调性的四种方法：（1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.二、多选题9．关于函数，下列说法中正确的是（）A．最小正周期是B．图象关于点对称C．图象关于直线对称D．在区间上单调递增答案：AB利用正切函数的知识逐一判断即可.解：的最小正周期为，故选项A正确；由，故选项B正确；因为函数不存在对称轴，故选项C错误；因为，所以，此区间不是函数的单调递增区间，故选项D错误；故选：AB．10．已知曲线，，下列说法中正确的是（）A．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到B．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到C．把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到D．把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到答案：BD根据三角函数的图象变换可分别判断.解：变换方式一：由函数的图象可向左平移个单位长度，得到，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到；变换方式二：由函数的图象可讲其图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到，再向左平移个单位长度，得到.故选：BD．11．我们知道，如果集合，那么的子集的补集为，且．类似地，对于集合，，我们把集合，且叫作集合与的差集，记作．据此，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则答案：ACD利用集合的新定义逐一判断即可.解：由差集的定义可知，对于选项A，若，则中的元素均在中，则，故选项A正确；对于选项B，若，则中的元素均在中，则，故选项B错误；对于选项C，若，则、无公共元素，则，故选项C正确；对于选项D，若，则，故选项D正确；故选：ACD．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，．已知函数，下列说法中正确的是（）A．是周期函数B．的值域是C．在上是增函数D．，答案：AB根据新定义将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.解：由题意，所以，可画出图象，可得到函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，故选项A、B正确，C错误；对于选项D，，则，所以选项D错误，故选：AB．点评：关键点点睛：本题的关键是理解定义，画出函数的图象，根据函数的图象判断函数的性质.三、填空题13．幂函数的图象过点，则___________.答案：将点的坐标代入解析式可解得结果.解：因为幂函数的图象过点，所以，解得.故答案为：14．已知函数若，则的值为______．答案：4根据自变量所属的区间，代入相应段的解析式求值即可.解：由题意可知，，解得，故答案为：4．15．已知，则的值为______．答案：由诱导公式可得，，且，代入可得到答案.解：因为，，所以，，所以．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数诱导公式、凑角的应用，涉及到同角三角函数的基本关系，关键点是利用，转化求值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.16．地震震级是根据地震仪 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为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的______倍（精确到1）．答案：32有对数运算得，进而得时，地震的最大振幅为，时，地震的最大振幅为，故解：解：由题意，即，则，当时，地震的最大振幅为；当时，地震的最大振幅为，所以.故答案为：32．点评：本题考查数学知识的迁移应用，考查运算求解能力，解题的关键在于根据对数运算得，进而根据相应震级计算.是中档题.四、解答题17．已知集合，．（1）当时，求；（2）已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．答案：（1）；（2）．（1）先求出集合A，B，再根据并集定义即可求出；（2）由题可得，再讨论和1的大小可求出.解：解：（1）由，得，所以．．当时，．所以．（2）因为“”是“”的必要条件，所以．若，不符合题意；若即时，，符合题意；若，则，所以，解得．综上，．点评：结论点睛：本题考查根据必要条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．18．已知，且．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）；（2）．（1）将条件化为，然后，可得答案；（2）由第一问可得，然后，解出即可.解：（1）因为，且，所以．故．又因为，所以，即，所以．所以．（2）由（1）知，又因为，所以．因为，，所以，即，解得或．因为，所以，所以．19．（1）计算：；（2）已知，，求证：．答案：（1）13；（2）证明见解析.（1）根据指数和对数的运算法则直接计算可得；（2）根据对数函数的单调性分别求出范围和范围可判断.解：（1）原式．（2）因为在上递减，在上递增，所以，，故．因为，且在递增，所以，即．所以，即．点评：本题考查对数函数单调性的应用，解题的关键是利用对数函数的单调性求出范围，进而可比较大小.20．已知函数为上的奇函数．（1）求实数的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的最小值．答案：（1）；（2）．（1）由奇函数得到，再由多项式相等可得；（2）由是奇函数和已知得到，再利用是上的单调增函数得到对任意恒成立．利用参数分离得对任意恒成立，再求，上最大值可得答案．解：（1）因为函数为上的奇函数，所以对任意成立，即对任意成立，所以，所以．（2）由得，因为函数为上的奇函数，所以．由（1）得，是上的单调增函数，故对任意恒成立．所以对任意恒成立．因为，令，由，得，即．所以的最大值为，故，即的最小值为．点评：本题考查了函数的性质，不等式恒成立的问题，第二问的关键点是根据函数的为单调递增函数，得到，再利用参数分离后求的最大值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.21．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．答案：（1），；（2）．（1）首先根据题意得到，，从而得到，．（2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为，即可得到.解：（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，即，所以．所以，．（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点，因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，所以．因为，所以，所以的取值范围为．（注：的取值范围不考虑开闭）22．对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点．已知．（1）当时，求的不动点；（2）若函数有两个不动点，，且．①求实数的取值范围；②设，求证在上至少有两个不动点．答案：（1）的不动点为和；（2）①，②证明见解析.（1）当时，函数，令，即可求解；（2）①由题意，得到的两个实数根为，，设，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；②把可化为，设的两个实数根为，，根据是方程的实数根，得出，结合函数单调性，即可求解.解：（1）当时，函数，方程可化为，解得或，所以的不动点为和．（2）①因为函数有两个不动点，，所以方程，即的两个实数根为，，记，则的零点为和，因为，所以，即，解得．所以实数的取值范围为．②因为．方程可化为，即因为，，所以有两个不相等的实数根．设的两个实数根为，，不妨设．因为函数图象的对称轴为直线，且，，，所以．记，因为，且，所以是方程的实数根，所以1是的一个不动点，，因为，所以，，且的图象在上的图象是不间断曲线，所以，使得，又因为在上单调递增，所以，所以是的一个不动点，综上，在上至少有两个不动点．点评：利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.试卷第2页，总4页