第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题课典型例题主要内容矩阵的初等变换相关定理初等变换初等矩阵等价矩阵行阶梯形矩阵矩阵的
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形行最简矩阵秩的定义相关定理及性质矩阵的秩有解判别定理方程组的解法线性方程组返回下页一、初等变换1.初等变换的定义上页返回下页 三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换．上页返回下页 初等变换 逆变换反身性传递性对称性2.矩阵的等价上页返回下页3.初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵． 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．(1)对调两行(列),得初等矩阵E(i,j).上页下页返回(2)以数k(非零)乘某行(列),得初等矩阵E(i(k)). 上页下页返回 (3)以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去,得初等矩阵E(ij(k))).上页下页返回 经过初等行变换,可把矩阵化为行阶梯形矩阵,其特点是：可画出一条阶梯线,线的下方全为0；每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元．例如4.行阶梯形矩阵上页下页返回 经过初等行变换,行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵,其特点是:非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如5.行最简形矩阵上页下页返回 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换,可得到矩阵的标准形,其特点是:左上角是一个单位矩阵,其余元素都为0．例如6.矩阵的标准形上页下页返回 所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类,标准形F是这个等价类中形状最简单的矩阵．上页下页返回7.矩阵的秩上页下页返回行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．8.矩阵秩的性质及定理上页下页返回二、线性方程组1.线性方程组有解判别定理上页下页返回 齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵,写出通解． 非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解．2.线性方程组的解法上页下页返回上页下页返回上页下页返回三、初等矩阵与可逆矩阵的关系上页下页返回典型例题一、求矩阵的秩二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法上页返回下页一、求矩阵的秩求矩阵的秩有下列基本方法(1)计算矩阵的各阶子式,从阶数最高的子式开始,找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式,则这个子式的阶数就是矩阵的秩． (2)用初等变换.即用矩阵的初等行(或列)变换,把所给矩阵化为阶梯形矩阵,由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行(或列)的个数,而初等变换不改变矩阵的秩,所以化得的阶梯形矩阵中非零行(或列)的个数就是原矩阵的秩．上页返回下页 第一种方法当矩阵的行数与列数较高时,计算量很大，第二种方法则较为简单实用．例1求下列矩阵的秩解对A施行初等行变换化为阶梯形矩阵上页下页返回 注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．上页下页返回二、求解线性方程组 当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解． 当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．例2当a取何值时,下述齐次线性方程组有非零解,并且求出它的通解．上页下页返回解法一 系数矩阵A的行列式为上页下页返回从而得到方程组的通解上页下页返回解法二用初等行变换把系数矩阵A化为阶梯形上页下页返回上页下页返回三、求逆矩阵的初等变换法上页下页返回例3求下述矩阵的逆矩阵．解上页下页返回 注意：用初等行变换求逆矩阵时,必须始终用行变换,其间不能作任何列变换.同样地,用初等列变换求逆矩阵时,必须始终用列变换,其间不能作任何行变换．上页下页返回四、解矩阵方程的初等变换法或上页下页返回例4解上页下页返回上页返回
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