电像法在高中物理竞赛中的应用

·竞赛园地·电像法在高中物理竞赛中的应用周　佳（江苏省常熟中学，江苏常熟　２１５５００）　　电像法是高中物理竞赛中常用到的一种方法，主要应用于讨论导体周围有一个或几个点电荷时空间的电势和场强等问题．其核心思想是在不改变原来问题的边界条件基础上，用求解区域外的假想电荷代替导体上的感应电荷．掌握了这种方法，对学生解题思路的拓展和解题能力的提高都有很大的帮助．１　电像法在高中物理竞赛中的应用１．１　接地平面导体板模型如图１所示，在一接地的无限大平面导体板上方有一点电荷Ｑ，其感应电荷在导体板上方区域产生的影响．根据电磁学知识可知，可以用带电荷量为－Ｑ，位置与Ｑ关于导体板对称的像电荷Ｑ１来取代（如图２所示）．［１］图１图２例１．如图３所示，有一块很大的接地导体，具有两个互相垂直的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面，在此两表面外较近处有一个点电荷ｑ，坐标为（ｘ０，ｙ０），求点电荷ｑ受到的库仑力．图３分析：根据接地无限大平面导体板像电荷的结论和边界条件，我们很容易想到在（－ｘ０，ｙ０）及（ｘ０，－ｙ０）处各有一个带电荷量为－ｑ的镜像电荷．但要同时满足两个表面的边界条件则必须在（－ｘ０，－ｙ０）处引入一个带电荷量为ｑ的镜像电荷（如图４所示）．这样等效处理后，点电荷ｑ受到的库仑力就来自于这３个像电荷．分别在ｘ与ｙ轴两个方向上进行分析．Ｆｘ＝－ｋｑ２４ｘ０２＋ｋｑ２４（ｘ０２＋ｙ０２）ｃｏｓθ，（１）ｃｏｓθ＝ｘ０ｘ０２＋ｙ０槡２．（２）由（１）、（２）式可得Ｆｘ＝－ｋｑ２４１ｘ０２－ｘ０（ｘ０２＋ｙ０２）［］３２，同理可得Ｆｙ＝－ｋｑ２４１ｙ０２－ｙ０（ｘ０２＋ｙ０２）［］３２．负号表示库仑力与ｘ、ｙ轴的方向相反．图４　图５１．２　导体球模型如图５所示，有一点电荷ｑ置于半径为ｒ的接地导体球外，点电荷距球心的距离为ｈ．由对称性可知，像电荷在导体球的球心Ｏ与点电荷ｑ的连线上．设像电荷带电荷量为－ｑ１，离球心Ｏ的距离为ｈ１，要满足球面的电势为０，则ｈ１＝ｒ２ｈ；ｑ１＝ｒｑｈ（如图６所示）．若导体球不接地，则导体的电势不为０，但仍然是一个等势体．所以不妨仍然认为存在一个像电荷－ｑ１．由于导体球不带电，根据电荷守恒定律，导体球应还带有电荷量＋ｑ１．因为导体球是一个等势体，所以ｑ１电荷只能均匀分布于球表面．这样，一方面导体球上－ｑ１与＋ｑ１之和正好—０７—Ｖｏｌ．３３Ｎｏ．８（２０１２）物　理　教　师ＰＨＹＳＩＣＳ　ＴＥＡＣＨＥＲ第３３卷第８期２０１２年等于０，同时导体球上－ｑ１、＋ｑ１及球外ｑ共同产生的电场仍然能保证导体球为一个等势体．在处理具体问题时，均匀分布于球面的＋ｑ１可用处于球心带电量为＋ｑ１的点电荷代替（如图７所示）．图６　　　图７例２．如图８所示，一个带有电荷量Ｑ的不接地导体球，半径为Ｒ，离球心距离为ｄ处有一点电荷，带电荷量为ｑ．试求，当Ｑ为何值时，点电荷ｑ将被导体球吸引．图８图９分析：根据前面的讨论可知，在研究导体球外点电荷所受静电力时，可以把导体球等效地看作两个像电荷：一个带电荷量为－ｑ１，在点电荷与球心的连线上，且距球心的距离为ｘ．另一个像电荷带电量为Ｑ＋ｑ１，在导体球的球心处（如图９所示）．满足ｑ１＝Ｒｄｑ．（１）ｘ＝Ｒ２ｄ．（２）两个像电荷对点电荷的库仑力分别为Ｆ１＝ｋｑｑ１（ｄ－ｘ）２，Ｆ２＝ｋｑ（Ｑ＋ｑ１）ｄ２．由题目已知条件，要使点电荷ｑ被导体球吸引，则应满足Ｆ１＞Ｆ２，即ｋｑｑ１（ｄ－ｘ）２＞ｋｑ（Ｑ＋ｑ１）ｄ２．（３）将（１）、（２）式代入（３）式可得Ｑｄ＋Ｒｑｄ３＜ｑＲｄ（ｄ２－Ｒ２）２，故Ｑ所满足的条件为Ｑ＜ｑＲ３（２ｄ２－Ｒ２）ｄ（ｄ２－Ｒ２）２．例３．在电势为Ｕ的导体内有一半径为Ｒ的球型空腔，空腔内充满介电常数为ε的电介质，有一点电荷ｑ位于离空腔中心为ａ（ａ＜Ｒ）的地方（如图１０所示），求空腔内的电势．分析：这是一个有介质的问题，空腔内的电势由３部分组成：电荷ｑ的电势、感应电荷的电势、极化电荷的电势．可用空腔外的像电荷－ｑ１来等效球面上的感应电荷和极化电荷（如图１１所示）．由于必须保证球面是等势体，则应满足ｑ１＝ｑＲａ，ｄ＝Ｒ２ａ．（ｄ为像电荷距球心的距离）对于球腔内的任一点Ａ（ｒ≤Ｒ）有φＡ＝ｑ４πεｒ１－ｑ１４πεｒ２＋Ｕ，其中ｒ１，ｒ２分别为ｑ，－ｑ１到Ａ点的距离，故φＡ＝ｑ４πεｒ２＋ａ２－２ａｒｃｏｓ槡θ－ｑＲ４πａεｒ２＋Ｒ４ａ２－２ｒＲ２ｃｏｓθ槡ａ＋Ｕ．（ｒ≤Ｒ）图１０图１１２　运用电像法解题时的几个注意点在运用电像法来解题时，一般先根据题目的边界条件来确定像电荷的位置和大小，然后再根据场的叠加原理求出电势、电场强度等物理量．学生对于使用电像法并不困难，而问题出在总是“滥用”电像法．每遇到导体在电场中的情况时就去使用电像法，其实很多问题是无法用电像法解决的．所以一定要强调电像法的适用条件和使用范围．（１）所求区域有少数几个或一个点电荷．如果点电荷过多，就很难利用边界条件求出像电荷的电荷量与位置．（２）导体或者介质的边界形状比较规则（球面，平面，圆柱面），具有一定的对称性．如果没有很好的对称性，像电荷是很难找出来的．（３）边界条件必须给定．如果没有确定的边界条件，那么唯一性定理也就不成立了，电像法就无从谈起．（下转封三）—１７—第３３卷第８期２０１２年物　理　教　师ＰＨＹＳＩＣＳ　ＴＥＡＣＨＥＲＶｏｌ．３３Ｎｏ．８（２０１２）明了，还能起到一般计算法所不能起到的作用，可以使物理概念得到进一步拓展．解法４：微元法．　图３　　求解Ｂ处的速度同解法２中的求解方法一样．现在把老鼠出洞后从Ａ到Ｂ的距离分成ｎ等份（ｎ→∞），则每等份的长度为ｓ２－ｓ１ｎ，每等份都可看做匀速直线运动．如图３所示，对第ｉ等份，其速度大小为ｖｉ＝ｖ１ｓ１ｓ１＋（ｉ－１）ｓ２－ｓ１ｎ，老鼠通过该小段所需时间为Δｔｉ＝ｓ２－ｓ１ｎｖｉ＝（ｓ２－ｓ１）ｓ１＋（ｉ－１）ｓ２－ｓ１［］ｎｎｖ１ｓ１＝ｓ２－ｓ１ｎｖ１＋（ｉ－１）（ｓ２－ｓ１）２ｎ２　ｖ１ｓ１，老鼠从Ａ到Ｂ所用的时间为ｔ＝∑ｎｉ＝１ｓ２－ｓ１ｎｖ１＋（ｉ－１）（ｓ２－ｓ１）２ｎ２　ｖ１ｓ［］１＝ｓ２－ｓ１ｖ１＋（ｓ２－ｓ１）２ｎ２　ｖ１ｓ１［１＋２＋３＋…＋（ｎ－１）］＝ｓ２－ｓ１ｖ１＋（ｓ２－ｓ１）２ｎ２　ｖ１ｓ１·ｎ（ｎ－１）２，当ｎ→∞时，ｔ＝ｓ２－ｓ１ｖ１＋（ｓ２－ｓ１）２２ｖ１ｓ１＝ｓ２２－ｓ１２２ｖ１ｓ１．代入数据得ｔ＝７．５ｓ．　　点评：微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法．在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的．这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解．　图４解法５：积分法．如图４所示，在ＡＢ之间取一点Ｃ，Ｃ到老鼠洞口的距离为ｘ，则Ｃ点速度为ｖＣ＝ｖ１ｓ１ｘ．在Ｃ附近取一微元ｄｘ，有ｄｔ＝ｄｘｖＣ＝ｘｖ１ｓ１ｄｘ，对两边定积分，所求时间ｔ＝∫ＢＡｄｔ＝∫ｓ２ｓ１ｘｖ１ｓ１ｄｘ＝ｘ２２ｖ１ｓ１ｓ２ｓ１＝ｓ２２－ｓ１２２ｖ１ｓ１．代入数据得ｔ＝７．５ｓ．点评：高中数学已初步接触到积分的概念，竞赛学生已掌握简单的积分公式，本题用积分的方式求解，比用初等数学的微元累加求和要简单得多．以上的５种不同方法求解同一道题目，每种方法都体现不同的思想方法，收到了“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的效果．在教学中我们要为学生创造条件，创设情景，想方设法引导学生去探究，去思考，不断培养学生的思维能力和创新精神．在习题教学中，引导学生从不同的角度去思考、去分析，展开问题探究，寻找更多的解题方法，拓开思路．通过探究问题的多种解法，训练学生的发散思维，培养学生的思维能力．（收稿日期：２０１１－１２－３１）（上接第７１页）　　（４）像电荷是一些假想的电荷，它的引入不能改变所研究区域的原有场分布，因此像电荷应放在所研究的场的区域之外．也就是说像电荷产生的效果只有在所研究区域内与感应电荷是等效的，在其他位置其效果与感应电荷并不相同．这也是学生最容易出错的地方．　图１２例４．如图１２所示，一个接地无穷大导体板，在距导体板表面为ｄ的Ａ处放一个带电量为－ｑ的点电荷．求板上感应电荷在导体内Ｐ点（ＰＡ＝ｒ）产生的电场强度．分析：在处理这个问题的时候，很多学生先找出－ｑ的像电荷ｑ，其位置在与Ａ对称的Ｂ处，认为感应电荷在Ｐ点产生的电场强度就是像电荷ｑ在该处的电场强度．故可得板上感应电荷在导体内Ｐ点产生的电场强度大小为Ｅｑ＝Ｅ感＝ｋｑｒ０２（ｒ０为Ｂ与Ｐ之间的距离），电场方向由Ｂ指向Ｐ（如图１３所示）．　　显然，这样的结果是错误的．学生之所以会出现这样　图１３的问题，原因是没有很好地掌握电像法所适用的区域．像电荷与感应电荷产生的电场只有在导体板右侧区域才是等效的，而对于导体板内部的区域两者是不等效的．故这一问题使用电像法是无法解决的．解决这个问题应当利用静电平衡与场叠加原理．首先，根据静电平衡的特点，可知导体内的场强　图１４为０，即Ｐ点处的场强为０，而Ｐ点处的零场强是导体外的点电荷及表面感应电荷产生的电场叠加的结果．所以感应电荷在Ｐ点的场强Ｅ感和－ｑ在Ｐ点的场强Ｅ－ｑ大小相等，方向相反，如图１４所示．Ｅ感＝ｋｑｒ２，方向由Ａ指向Ｐ．参考文献：１　赵凯华，陈熙谋．电磁学，北京：高等教育出版社，２０１１．２　范小辉．新编高中物理奥赛实用题典．南京：南京师范大学出版社，２００９．（收稿日期：２０１２－０４－１０）