高考数学易错易混易忘知识点总结

1新课标高考数学（理科）易错易混易忘知识点汇总及简单对策解析“知识”是车轮，“方法”是传动，“思想”是发动机，提高数学素质的核心就是提高我们对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是数学“能力”。【易错点01】交集子集想空集，勿因忽视空集是任何（非空）集合的（真）子集而失分。【锦囊妙计】（1）在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔AB时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合A是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合元素的三性质——“确定性、无序性、互异性”。特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是否满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化。如：已知(){}22,|4Axyxy=+=，()()(){}222,|34Bxyxyr=−+−=，其中0r>，若A∩B=φ，求r的取值范围。此题将集合所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2为半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点，即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。因此马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。【易错点02】求解函数值域或单调区间、奇偶性时，易忽视定义域优先的原则。【锦囊妙计】只要遇到函数问题，都要定义域优先。就像过马路一定要先看红绿灯一样，要养成一种习惯。【易错点03】在利用图象求交点，且涉及反函数知识时，易漏掉确定原函数的值域，即反函数的定义域。【锦囊妙计】（1）在利用函数的反函数求值域（交点）时，一定要通过确定原函数的值域，即反函数的定义域进行必要的范围限制，以免值越界造成错误，最好在反函数的解析式后标明定义域，除非是R。（2）应用1()()fbafab−=⇔=可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解，但应注意其自变量和函数值要互换。而且一定要用好互为反函数的两个函数图象上相应的点关于直线y=x对称这一性质。【易错点04】利用反函数或者逆向变换时，一定要注意顺序，不要错位。【锦囊妙计】（1）函数()11yfx−=−与函数()1yfx=−并不互为反函数，f-1(x-1)只是表示()1fx−中x被x-1替代后的一个反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设()1yfx=−，则()11fyx−=−，∴()11xfy−=+，再将x、y互换即得()1yfx=−的反函数为()11yfx−=+，故()1yfx=−的反函数不是()11yfx−=−，因此在今后求解此类问题时一定要谨慎。（2）三角函数图象的变换，如果需要反向变换时，一定不要跳步或者打乱题目的变换顺序，要一步一步的反向变回去，方向、数值都要做相应的变换，否则解析式和特殊值都不对。【易错点05】判断函数的奇偶性时不要忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。【锦囊妙计】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。而且只要定义域不关于原点对称，哪怕差一个点，都直接判断为非奇非偶函数，无需再验证f(x)与f(-x)的关系。（2）函数()fx具有奇偶性，则()()fxfx=−或()()fxfx=−−是对定义域内所有x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。（3）函数具有奇偶性不意味着函数图象一定过原点（或y轴），但在原点有意义的奇函数，f(0)=0恒成立.【易错点06】不要忘了奇偶函数的单调性之间的关系。【锦囊妙计】（1）奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，要比较偶函数在跨对称轴的区间上的大小时，记得用f(A)<f(B)⇔f(|A|)<f(|B|)这一性质简化计算。2（2）补充关于反函数的如下结论：①定义域上的单调函数必有反函数。②奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。③定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。④周期函数不存在反函数。⑤原函数的定义域和值域与反函数的定义域和值域互换。即1()()fbafab−=⇔=。【易错点07】证明或判断函数的单调性要从定义出发，由单调性定导数取值范围时，不要忘了带等号。【锦囊妙计】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中。（2）单调性的定义等价于如下形式：()fx在[],ab上是增函数()()12120fxfxxx−⇔>−，()fx在[],ab上是减函数()()12120fxfxxx−⇔<−，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两点()()()()1122,,,xfxxfx连线的斜率都大于（小于）零。（3）对勾函数()()0,0bfxaxabx=+>>是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。（4）在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加“∪”符号和“或”字等，【易错点08】注意单调性与导函数之间的关系并不是充要条件。【锦囊妙计】若函数()fx可导，其导数与函数的单调性的关系如下：现以增函数为例来说明：①0)(>′xf与)(xf为增函数的关系是：0)(>′xf能推出)(xf为增函数，但反之不一定。如函数3)(xxf=在),(+∞−∞上单调递增，但f’(0)=0，所以只能得到0)(≥′xf，∴0)(>′xf是)(xf为增函数的充分不必要条件。②0)(≠′xf时，0)(>′xf与)(xf为增函数的关系是：若将0)(=′xf的根作为分界点，因为规定0)(≠′xf，即抠去了分界点，此时)(xf为增函数，就一定有0)(>′xf。∴当0)(≠′xf时，0)(>′xf是)(xf为增函数的充要条件。③0)(≥′xf与)(xf为增函数的关系是：)(xf为增函数，一定可以推出0)(≥′xf，但反之不一定，因为0)(≥′xf，即为0)(>′xf或0)(=′xf。当函数在某个区间内恒有0)(=′xf时，则)(xf为常函数，常函数不具有单调性。∴0)(≥′xf是)(xf为增函数的必要不充分条件。因此一般在求单调区间时可以一律用开区间作为单调区间，以避免讨论上述问题，但在解题中遇到端点需要讨论时，必须谨慎处理，确保其充要性。【易错点09】应用重要不等式确定最值时，不要忘了应用的前提条件，特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。【锦囊妙计】“一正、二定、三相等”，重要不等式三条腿，少了谁也站不稳。【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数中真数的限制条件。【锦囊妙计】要熟练掌握常用初等函数的单调性。如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号；二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置；指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是大于0小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的意识。【易错点11】用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．【锦囊妙计】解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫3换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。常见错误都是忽略新元取值范围导致的，一定要养成换元就定范围的习惯。【易错点12】已知nS求na时，易忽略n＝1的情况．【锦囊妙计】数列中na与ns之间有如下关系：()()1112nnnsnassn−=⎧⎪=⎨−≥⎪⎩，利用两者之间的关系可以已知ns求na。但注意只有在当1a适合()12nnnassn−=−≥时两者才可以合并，否则要写成分段函数的形式。【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和的最大值时，易忽略其定义域是正整数集或其子集（从1开始的，只取整数，可能函数取得最值时并不是整数。）【锦囊妙计】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数与方程的思想，应用函数知识解决数列问题。特别的，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项。反之，满足形如2nsanbn=+所对应的数列也必然是等差数列。此时由nsanbn=+知数列中的点,nsnn⎛⎞⎜⎟⎝⎠在同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n项和nnscac=−所对应的数列必为等比数列。【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答，使解题思维受阻或解答过程繁琐。【锦囊妙计】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列{}na，若qpmn+=+，则qpmnaaaa+=+，千万不要用am+an=as这种不对称的错误形式；对于等比数列{}na，若vumn+=+，则vumnaaaa⋅=⋅；若数列{}na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk∈，那么kS，kkSS−2，kkSS23−成等比数列；若数列{}na是等差数列，nS是其前n项的和，*Nk∈，那么kS，kkSS−2，kkSS23−成等差数列等。【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比q＝1的情况。【锦囊妙计】不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列。对等比数列求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和时不会采用错位相减法或解答结果不到位。【锦囊妙计】一般情况下对于数列{}nc，若nnncab=，其中数列{}na和{}nb分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错开一项相减的方法来求解。【易错点17】不能根据数列通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律找不清，导致多项或少项。【锦囊妙计】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数或式子（也可三个或更多）相乘，且这两个数（式子）的第一个正好是前一个式子的第二个，如果不具备这些特点，就要进行转化。同时要明确消项的规律，一般情况下剩余项是前后对称的。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：11++=nnan，求其前n项和，可通过分母有理化的方法解决。4【易错点18】易由特殊性代替一般性，误将题目条件加强，本来是一般数列的，当成等比或等差去算。【锦囊妙计】虽然最终我们能解决的就只有等差和等比两种数列，但是没有转化前，很多数列其实既不是等差也不是等比，要细读题目条件，不要妄自想当然的增加限制条件。【易错点19】绝对不能忘记的公式——化一（辅助角）公式。【锦囊妙计】asinθ+bcosθ=22ab+(22aab+sinθ+22bab+cosθ)=22sin()abθϕ++，（其中tanϕ=ba）。还要注意辅助角的取值范围，一定要仔细确定一个尽可能小的取值范围。【易错点20】易遗忘关于sinθ和cosθ齐次式的处理方法。【锦囊妙计】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。2222(1sincossectanαααα=+=−tancotαα=这些统称为1的代换)常数“1”的种种代换有着广泛的应用．【易错点21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n项与数列的前n项和混淆导致错误解答。【锦囊妙计】以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中有很多问题都是涉及到等差或者等比数列的前n项和或第n项的问题，在审题过程中一定要将两者区分开来。【易错点22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘，应用意识不强，另一方面易将角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来，产生概念性的错误。【锦囊妙计】单位圆中的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来，体现了数形结合的数学思想，要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明等方面都有着广泛的应用并且在这些方面有着一定的优越性。例如利用三角函数线易知0,,sintan2παααα⎛⎞∈<<⎜⎟⎝⎠，sincos1αα+≥等。【易错点23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时，易将ω和ϕ求错。【锦囊妙计】利用图象变换作图是作出函数图象的一种重要的方法，一般地由sinyx=得到()sinyAwxφ=+的图象有如下两种思路：一是先进行振幅变换，即由sinyx=横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍得到sinyAx=，再进行周期变换，即由sinyAx=纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍，得到sinyAwx=，再进行相位变换，即由sinyAwx=横坐标向左（右）平移φω个单位，即得()sinsinyAxAxφωωφω⎛⎞=+=+⎜⎟⎝⎠；另一种就是先进行振幅变换后，再进行相位变换，即由sinyAx=向左（右）平移φ个单位，得到函数()sinyAxφ=+的图象，再将其横坐标变为原来的1ω倍即得()sinyAwxφ=+。不论哪一种变换都要注意一点，就是不论哪一种变换都是对纯粹的变量x来说的。【易错点24】没有挖掘题目中的隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。【锦囊妙计】在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件。如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在()0,π区间内、5与已知角的三角函数值的大小比较，结合三角函数的单调性等。【易错点25】根据已知条件确定角的大小，没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函数名称不适当造成错解。【锦囊妙计】根据已知条件确定角的大小，一定要转化为确定该角的某个三角函数值，再根据此三角函数值确定角，这是求角的必然步骤，在这里要注意两点：一就是要结合角的范围选择合适的三角函数名称，同时要注意尽量用已知角表示待求角，这就需要一定的角的变换技巧，如：()()2ααβαβ=++−等。二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。【易错点26】对正弦型函数()sinyAxωφ=+及余弦型函数()cosyAxωφ=+的性质：如图象、对称轴、对称中心等易遗忘或没有深刻理解其意义。【锦囊妙计】对于正弦型函数()sinyAxωφ=+及余弦型函数()cosyAxωφ=+，它们有无穷多条对称轴及无数多个对称中心，它们的意义是：分别使得函数取得最值的x值和使得函数值为零的x值，这是它们的几何和代数特征。【易错点27】利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数。【锦囊妙计】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题：1、已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。2、已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角，这时由于正弦函数在在区间()0,π内不严格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来判断三角形解的个数。如：在ABC∆中，已知a,b和A解的情况如下：（1）当A为锐角时（2）当A为直角或钝角时【易错点28】三角形中的三角函数问题。对三角变换同三角形边、角之间知识的结合的综合应用程度不够。【锦囊妙计】三角形中的三角函数问题一直是高考的热点内容之一。对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角互化（如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的常规思路），三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇，体现了高考命题的原则性。【易错点29】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。【锦囊妙计】解不等式对学生的运算化简、等价转化能力有较高的 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法；(2)掌握用数轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法；(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法；(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法；(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式；(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.【易错点30】求函数的定义域与求函数值域错位【锦囊妙计】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行讨论。6即函数是一次函数还是二次函数，不等式是一次不等式还是二次不等式。【易错点31】不等式的证明方法。学生不能据已知条件选择相应的证明方法，达不到对各种证明方法的灵活应用程度。【锦囊妙计】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、 配方 学校职工宿舍分配方案某公司股权分配方案中药治疗痤疮学校教师宿舍分配方案医生绩效二次分配方案 ，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性；放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论 中考 中考数学全套课件中考心理辅导讲座中考语文病句辨析修改中考语文古诗文必背中考单选题精选 查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法。凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、结论的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.【易错点32】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找解题思路。【锦囊妙计】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法。函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性解决问题，其中也联系到了方程的解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。【易错点33】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。【锦囊妙计】函数的单调性实质是体现了不等关系，故函数与不等式的结合历来都是高考的热点内容，也是我们解答不等式问题的重要工具，在解题过程中要加强应用意识，如指数不等式、对数不等式、涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。【易错点34】数学归纳法的应用。学生易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识，忽视其步骤的规范性及不理解数学归纳法的每一步的意义所在。【锦囊妙计】归纳是一种由特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有同样的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N*）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。【易错点35】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用，易产生概念性错误。【锦囊妙计】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地，已知aaaa，bbbb，cccc和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①aaaa·bbbb＝bbbb·aaaa(交换律)②(λaaaa)·bbbb＝λ(aaaa·bbbb)＝aaaa·(λbbbb)(数乘结合律)③(a＋bbbb)·сссс＝aaaa·сссс＋bbbb·сссс(分配律)说明：（1）一般地，(aaaa·bbbb)cccc≠aaaa(bbbb·cccc)（2）aaaa·cccc＝bbbb·cccc，сссс≠0000⇒(a-b)a-b)a-b)a-b)·cccc=0=0=0=0（3）有如下常用性7质：aaaa2＝|aaaa|2，(aaaa＋bbbb)(cccc＋dddd)＝aaaa·cccc＋aaaa·dddd＋bbbb·сссс＋bbbb·dddd，(aaaa＋bbbb)2＝aaaa2＋2aaaa·bbbb＋bbbb2.【易错点36】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。【锦囊妙计】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：（1）向量形式的平行四边形定理：2(|aaaa|2+|bbbb|2)=|aaaa－bbbb|2+|aaaa+bbbb|2（2）向量形式的三角不等式：||aaaa|-|bbbb||≤|aaaa±bbbb|≤|aaaa|+|bbbb|(试问：取等号的条件是什么?)；（3）在△ABC中，若点P满足；AP=⋅+|AC|AC|AB|AB则直线AP必经过△ABC的内心等结论。【易错点37】忽视向量数量积定义中对两向量夹角的定义。【锦囊妙计】高中阶段涉及角的概念不少，在学习过程中要明确它们的概念及取值范围。如直线的倾斜角的取值范围是)0,180°°⎡⎣，两直线的夹角的范围是0,90°°⎡⎤⎣⎦，两向量的夹角的范围是0,180°°⎡⎤⎣⎦，异面直线所成的角的范围是(0,90°°⎤⎦，直线和平面所成的角的范围是0,90°°⎡⎤⎣⎦，二面角的取值范围是()0,180°°。【易错点38】向量数量积性质的应用。【锦囊妙计】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设aaaa与bbbb都是非零向量，①aaaa与bbbb的数量积的几何意义是向量aaaa在向量bbbb方向的单位向量正射影的数量②aaaa⊥bbbb⇔aaaa·bbbb＝0③aaaa·aaaa＝|aaaa|2或|aaaa|＝2aaaaaaaaaaaa=⋅④cosθ＝bbbbaaaabbbbaaaa⋅⋅⑤|aaaa·bbbb|≤|aaaa|·|bbbb|.【易错点39】向量与三角函数求值、运算的交汇【锦囊妙计】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具有代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。【易错点40】三角形五心的向量形式（旁心一般不做要求）【锦囊妙计】O是△ABC的重心⇔⇔⇔⇔0000OCOCOCOCOBOBOBOBOAOAOAOA====++++++++；O是△ABC的垂心⇔⇔⇔⇔OAOAOAOAOCOCOCOCOCOCOCOCOBOBOBOBOBOBOBOBOAOAOAOA⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅；O是△ABC的外心⇔⇔⇔⇔||||OCOCOCOC||||||||OBOBOBOB||||||||OAOAOAOA||||========(或222222222222OCOCOCOCOBOBOBOBOAOAOAOA========)；O是△ABC的内心的充要条件是：0000))))||||CBCBCBCB||||CBCBCBCB||||CACACACA||||CACACACA((((OCOCOCOC))))||||BCBCBCBC||||BCBCBCBC||||BABABABA||||BABABABA((((OBOBOBOB))))ACACACACACACACAC||||ABABABAB||||ABABABAB((((OAOAOAOA====−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅；【易错点41】与向量相结合的三角不等式，学生综合运用知识解决问题的能力不够。【锦囊妙计】在运用函数的单调性构造不等式时，一定要明确函数在哪个区间或定义域上的单调性如何（不可忽视定义域的限制）。【易错点42】向量与解析几何的交汇【锦囊妙计】在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来；另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题。如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。【易错点43】解析几何与向量的数量积的性质。如涉及模、夹角等的结合。8【锦囊妙计】在解题过程中要注意将以向量给出的条件转化成向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。【易错点44】牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系。【锦囊妙计】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数。【易错点45】求曲线的切线方程。【锦囊妙计】导数的几何意义是：函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=f(x)在点))(,(00xfxP处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程。具体求法分两步：(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点))(,(00xfxP处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为))(('000xxxfyy−=−。特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00xfxP处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x=x0。利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点。【易错点46】利用导数求解函数的单调区间及值域。【锦囊妙计】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容。另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题。用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多。注意以下规范步骤：单调区间的求解过程，已知y=f(x)（1）分析y=f(x)的定义域；（2）求导数y’=f’(x)；（3）解不等式f’(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间，（4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间。对于函数单调区间的合并：函数单调区间的合并主要依据的是函数f(x)在(a,b)单调递增，在(b,c)单调递增，又知函数在f(x)=b处连续，因此f(x)在(a,c)单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则两区间就可以合并为一个区间。否则一定要注意不要在单调区间中出现∪符合。【易错点47】二项式()nab+展开式的通项中，因a与b的顺序颠倒而容易出错。【锦囊妙计】二项式()()nnabba++与的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分。【易错点48】二项式展开式中项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。【锦囊妙计】在二项展开式中，利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题，其通常做法就是确定通项公式中r的取值或取值范围，须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。不要忘了令变量分别取0，±1等特殊值，以确定常数项和奇偶项的系数。另外注意整体代换的使用和特定方法的运用。【易错点49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，在此往往因为概念不清导致出错。【锦囊妙计】在()nab+的展开式中，二次项系数最大的项一定是中间项，但当a，b的系数不为1时，最大系数值的位置不一定在中间，可通过解不等式组112rrrrTTTT+++≥⎧⎨≥⎩来确定之。【易错点50】二项展开式中的所有二项式系数和为定值2n，整除问题。【锦囊妙计】二项展开式中的所有二项式系数和为定值2n，一定要牢记。另外设计整除问题时，基本的方法和常见的结论一定要熟悉。合理的拆配将是解决问题的关键。【易错点51】对于排列组合问题，要熟记常见的问题类型和相应的解决策略。9【锦囊妙计】常规问题逐分法，可重排列求幂法；特殊元素优先法，交叉问题集合法；相邻问题捆绑法，相离问题插空法；全员分配组配法，同元分配隔板法；定序均分用除法，部合条件排除法；标号排位分步法，圆排多排单排法；对应等价转化法，多元问题分类法.【易错点52】不能正确分析几种常见的排列问题，不能恰当的选择排列的方法导致出错。【锦囊妙计】解决有限制条件的排列问题的方法是：①直接法：⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩位置分析法元素分析法用加法原理（分类）用乘法原理（分步）插入法（不相邻问题）捆绑法（相邻问题）②间接法：即排除不符合要求的情形③一般先从特殊元素和特殊位置入手。【易错点53】二项展开式的通项公式为1rnrrrnTCab−+=，事件A发生k次的概率：()()1nkkknnPkCPP−=−。二项分布列的概率公式：,0,1,2,3,01,1kknkknpCpqknppq−==<<+=LL且，三者在形式上的相似，在应用中容易混淆而导致出错。【锦囊妙计】二项分布是一种常见的、重要的离散型随机变量分布列，其概率()()0,1,2,Pkkξ==L就是独立重复实验n次中发生k次的概率()1nkkknCPP−−。但在解决实际问题时一定看清是否满足二项分布。【易错点54】正态总体()2,Nµσ的概率密度函数为()()2221,2xfxexRµσπσ−−=∈，当0,1µσ==时，()221,2xfxexRπ−=∈，叫作标准正态总体()0,1N的概率密度函数，两者在使用范围上是不同的。【锦囊妙计】在正态分布()2,Nµσ中，µ为总体的平均数，σ为总体的标准差，另外，正态分布()2,Nµσ在(),µσµσ−+的概率为0068.3，在()3,3µσµσ−+内取值的概率为0099.7。解题时，应当注意正态分布()2,Nµσ在各个区间的取值概率，不可混淆，否则，将出现计算失误。【易错点55】线性回归直线一定过样本中心，变量相关性判断K2越大越有把握认为两者有关系。【锦囊妙计】虽然直接让求线性回归直线方程的可能性并不大，但是基本的统计量的求法和相应的含义，回归直线必过样本中心()y,x，参考数据增加一个单位目标数据如何变化等，在小题中出现的可能性还是很大的，一定要熟悉。另外要重视对多元数据关系的分析和判断。【易错点56】立体图形的截面问题。【锦囊妙计】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利用平面的基本定理：一条直线上有两点在一平面内，则这条直线上所有的点都在这平面内；两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）。（注意该定理的应用，如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上，即转化为此点为两平面的公共点，而第三条直线是两平面的交线，则依据定理知交点在第三条直线上；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点，那么这些点就转化为在两平面的交线上。）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平面的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。10【易错点57】判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数。【锦囊妙计】解决异面直线所成角的问题关键是定义，基本思想是平移，在解决与两异面直线所成角的直线条数问题时，将两异面直线平移到空间一点，一方面考虑在平面内和两相交直线成等角的直线即角平分线是否满足题意，另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的条数，此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角θ与平面内的直线与平面外的直线在平面内的射影所成的角α的关系，由公式coscoscosθαβ=（其中β是直线与平面所成的角）易知coscosθα<θα⇒>，coscosθβθβ<⇒>（最小角定理）。故一般地，若异面直线a、b所成的角为θ，l与a、b所成的角均为ϕ，据上式有如下结论：当02θϕ<<时，这样的直线不存在；当2θϕ=时，这样的直线只有一条；当22θπθϕ−<<时，这样的直线有两条；当2πθϕ−=时这样的直线有3条；当22πθπϕ−<<时，这样的直线有四条。【易错点58】有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视",//,"aabbαα⊄⊂三个条件中的某一个。【锦囊妙计】判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这里所指的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可。【易错点59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”，容易导致证明过程跨步太大。【锦囊妙计】两个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定理中的条件缺一不可。【易错点60】求异面直线所成的角，若所成角为90°，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角这一方法。【锦囊妙计】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如90°时，可以采用证明垂直的方法来求之。【易错点61】在求异面直线所成角，直线与平面所成角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围。【锦囊妙计】在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，前面已有叙述。同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角与两向量的夹角的联系与区别。【易错点62】三视图问题一定要合理利用三视图的规则，简化空间几何体的还原过程，注意细节。【锦囊妙计】主视图和左视图如果都是三角形的必然是椎体，要么是棱锥要么是圆锥。还有两种特殊的情况：1、是棱锥和半圆锥的组合体。2、就是半圆锥。到底如何确定，关键在俯视图。①若俯视图是三角形时，就是三棱锥。②若俯视图是多边形时，就是多棱锥。③若俯视图是半圆和三角形时，就是棱锥和半圆锥的组合体。④若俯视图是半圆时，就是半圆锥。另外注意虚线和实线的不同意义，虚线代表的是看不到的棱线，实线代表的是能看得见的棱，但它们都是一种平行投影所创造出来的。【易错点63】向量知识在立体几何方面的应用【锦囊妙计】利用空间向量解决立体几何问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想。向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中。常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题。用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：①要解决的问题可用什么向量11知识来解决？需要用到哪些向量？②所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？③所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？④怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？【易错点64】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错。【锦囊妙计】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求。由三视图求几何体体积时，要先观察主视图和侧视图，注意主视图和侧视图的高一定都是一样的，并且肯定是立体图形的高，先通过观察判定图形到底是什么立体图形，看看到底是棱锥，棱柱，还是组合体，通常的组合体都是较为简单的组合体，无需过多考虑。当然，适当的割补往往会让计算更简单、明了。①如果是棱锥的话，就看俯视图是什么图形，算出俯视图的面积乘以正视图的高，除以三分之一即可。②如果是棱柱的话，同样看俯视图的图形，求出俯视图面积，直接乘以正视图的高即可。③如果是组合体，要分辨出是哪两种规则图形的组合，分别算出体积相加即可。【易错点65】由三视图求空间几何体的表面积时，一定要看清哪些部分有重叠，哪些部分由于裁切裸露出来了，算侧面图形的面积时，不要轻易用侧视图中的高，那个往往不是侧面图形的高或棱长。【锦囊妙计】由三视图求空间几何体的表面积的时候，一般先利用前面叙述的判定方法来判定立体几何图形到底是什么形状的。注意：如果是组合体的时候一定不要忘了组合体重合的部分表面积是要去掉的。接下来关键就是找到棱锥怎么还原棱锥的空间图形。首先俯视图肯定是底面图形，关键是找到顶点在哪里，①若底面图形内部有一条实线，则顶点投影一定在实线与底面图形边的交点上。②若底面图形内部有多条实线，则顶点投影一定是几个实线的交点，根据投影点找出顶点即可，图形完成。③若底面图形内部没有实线，则顶点的投影就在底面图形的边上面，具体在哪里结合主视图和左视图即可。④若底面图形内部没有实线，则顶点的投影就在底面图形的边上面，并且主视图和侧视图都是直角三角形的时候，则顶点的投影一定在底面图形的端点位置。【易错点66】求点到平面的距离的方法有直接法、等体积法、向量法等。【锦囊妙计】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或利用空间向量表示点到平面的垂线段，求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用等积法求高。【易错点67】二面角的平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。【锦囊妙计】二面角的平面角的作法：（1）垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。（2）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法：是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角；【易错点68】直线与双曲线的位置关系可通过分析直线方程与渐进线方程的位置关系，也可以联立直线方程与双曲线方程通过判别式求解，两种方法往往会忽视一些特殊情形。【锦囊妙计】直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种：一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程20axbxc++=。若0,0a≠∆>，直线与双曲线相交，有两个交点；若0a=，直线与渐进线平行，有一个交点。若0,0a≠∆=，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点。若0,0a≠∆<，直线与双曲线相离，没有公共点。二是可以利用数形结合的思想。