《函数与方程、不等式之间的关系 》第1课时示范公开课教学课件【高中数学人教B版必修第一册】

函数与方程、不等式之间的关系第1课时整体概览（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？问题1　阅读课本第112~114，回答下列问题：新知探究问题2　已知函数f（x）＝x－1，我们知道，这个函数的定义域为______，而且可以求出，方程f（x）＝0的解集为______，不等式f（x）＞0的解集为_______，不等式f（x）＜0的解集为_______，在下图中作出函数f（x）＝x－1的图像， 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图像之间的关系．R{1}{x|x＞1}{x|x＜1}Oxy11新知探究形成定义：由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合．具体来说，假设函数f（x）的定义域为D，若显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D＝A∪B∪C．A＝{x∈D|f（x）＜0}，B＝{x∈D|f（x）＝0}，C＝{x∈D|f（x）＞0}，新知探究形成定义：一般地，如果函数y＝f（x）在实数a处的函数值等于零，即f（a）＝0，则称a为函数y＝f（x）的零点．上述集合B就是函数所有零点组成的集合．不难看出，a是函数f（x）零点的充分必要条件是，（a，0）是函数图像与x轴的公共点．因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0相对大小比较的不等式的解集．归纳小结问题3　如何认识函数零点？新知探究函数零点（1）函数的零点是一个实数，是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个二维有序数组，而是一维数轴上的点的坐标．函数的零点可以与函数的最值点进行类比，两者都是一个数．（2）函数y＝f（x）有零点函数y＝f（x）的图像与x轴有交点方程f（x）＝0有实数根．（3）不是所有函数都有零点，例如函数f（x）＝　就没有零点．新知探究函数零点（4）从函数的图像上能方便地看出函数的零点，但是得到函数的图像并不是一件容易的事．（5）知道函数的零点之后，如果可以进一步得到函数在非零点处的符号信息，就能作出这个函数图像的示意图．归纳小结问题4　到目前为止，求函数零点的方法主要有哪些？新知探究求函数零点的方法：（1）直接从函数解析式所对应的方程中求解；（2）直接从函数图像观察；（3）如果函数f（x）能够拆成两个函数差的形式，即f（x）＝g（x）－h（x），那么函数f（x）的零点可以利用函数y＝g（x）与y＝h（x）的图像的交点得到．整体概览问题5　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系是什么？函数的零点就是对应方程的实根，也是相应不等式解集的端点．新知探究例1　如下图所示是函数y＝f（x）的图像，分别写出f（x）＝0，f（x）＞0，f（x）≤0的解集．解：由图可知，f（x）＝0的解集为{－5，－3，－1，2，4，6}．f（x）＞0的解集为（－5，－3）∪（2，4）∪（4，6）．f（x）≤0的解集为[－6，－5]∪[－3，2]．依照零点的定义可知，求函数y＝f（x）的零点，实质上就是要解方程f（x）＝0，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图像与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似f（x）＞0等不等式的解集．新知探究注意：写解答时，可以使用集合的并集符号，而且在表示集合时，要选择合适的集合表示方式．新知探究例2　求下列函数的零点：解：（1）因为x3－2x2－x＋2＝x2（x－2）－（x－2）＝（x－2）（x2－1）＝（x－2）（x－1）（x＋1）所以函数的零点为－1，1，2．（1）y＝x3－2x2－x＋2；　（2）（2）当x＜1时，由（x－1）（x＋4）＝0得x＝－4；当x≥1时，由－（x－1）（x－3）＝0得x＝1或x＝3．由此可知该函数的零点为－4，1，3．新知探究例3　利用函数求下列不等式的解集：解：设f（x）＝x2－x－6，令f（x）＝0，得x2－x－6＝0，即（x－3）（x＋2）＝0，从而x＝3或x＝－2．（1）x2－x－6＜0；（2）x2－x－6≥0．因此3和－2都是函数f（x）的零点，从而f（x）的图像与x轴相交于（3，0）和（－2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图像示意图如下图所示．解：新知探究例3　利用函数求下列不等式的解集：由图可知：（1）所求解集为（－2，3）；（1）x2－x－6＜0；（2）x2－x－6≥0．（2）所求解集为（－∞，－2］∪［3，＋∞）．利用二次函数的图像来求解一元二次不等式，一是为了巩固一元二次不等式的解法，二是为了说明函数与方程、不等式之间的关系．新知探究注意：（1）二次函数的图像是连续不断的；（2）根据二次函数的图像可以求出多个不等式的解集，还可求出f（x）＝3，f（x）＜－3等的解集．新知探究如：用二次函数求关于x的不等式（x－1）（x－3）＞8的解集．原不等式等价于x2－4x＋3＞8，所以x2－4x－5＞0，故（x－5）（x＋1）＞0．因为二次函数y＝（x－5）（x＋1）的零点是5和－1，根据函数图像的示意图可知，原不等式的解集为f（x）＝（－∞，－1）∪（5，＋∞）．新知探究例4　利用函数求下列不等式的解集：解：设f（x）＝－x2－2x－3，令f（x）＝0，得x2＋2x＋3＝0，即（x＋1）2＝－2，该方程无解．（1）－x2－2x－3≥0；（2）－x2－2x－3＜0．因此函数f（x）无零点，从而f（x）的图像与x轴没有交点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图像示意图如下图所示．解：新知探究由图可知：（1）所求解集为∅；（2）所求解集为R．例4　利用函数求下列不等式的解集：（1）－x2－2x－3≥0；（2）－x2－2x－3＜0．新知探究例5　利用函数求下列不等式的解集：解：设f（x）＝x2－4x＋4，令f（x）＝0，得x2－4x＋4＝0，即（x－2）2＝0，从而x＝2．（1）x2－4x＋4＞0；（2）x2－4x＋4≤0．因此函数f（x）的零点为2，从而f（x）的图像与x轴相交于（2，0），又因为函数图像是开口向上的抛物线，因此可知：（1）所求解集为（－∞，2）∪（2，＋∞）；（2）所求解集为{2}．一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）：新知探究（1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f（x）的两个零点，f（x）的图像与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0）；（2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f（x）唯一的零点，f（x）的图像与x轴有一个公共点；（3）当Δ＝b2－4ac＝0＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f（x）无零点，f（x）的图像与x轴没有公共点．更进一步，可以由二次函数的图像得到对应的不等式的解集：新知探究（1）把原不等式变形为ax2＋bx＋c＞0（或ax2＋bx＋c＜0等，其中a≠0，下同）；（2）根据方程ax2＋bx＋c＝0的根（即函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点）及a的符号，画出二次函数的草图；（3）观察函数图像，写出解集．新知探究例6　求函数f（x）＝（x＋2）（x＋1）（x－1）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）＞0和f（x）≤0的解集．解：函数零点为－2，－1，1．函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下x（－∞，－2）（－2，－1）（－1，1）（1，＋∞）f（x）－＋－＋新知探究例6　求函数f（x）＝（x＋2）（x＋1）（x－1）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）＞0和f（x）≤0的解集．解：由此可以画出函数图像的示意图如下图所示．由图可知：f（x）＞0的解集为（－2，－1）∪（1，＋∞）；f（x）≤0的解集为（－∞，－2]∪[－1，1]．归纳小结问题6　回顾本节课，你有什么收获？（1）什么叫函数的零点？一般如何求函数的零点？（2）函数与方程、不等式之间的关系是什么？作业：教科 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf P119~120练习B1~3，练习C2作业布置谢谢大家敬请各位老师提出宝贵意见！再见