二○○四年湖南省高中数学竞赛试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目
要求
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的)
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
2.有四个函数：
① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=
④
其中在
上为单调增函数的是 ( )
A．①
B．②
C．①和③
D．②和④
3.方程
的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x为实数)，则A中所有元素的平方和等于 ( )
A．0
B．1
C．2
D．4
4.已知点P(x,y)满足
，则点P(x,y)所在区域的面积为
A．36π
B．32π
C．20π
D．16π ( )
5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( )
A．9
B．12
C．15
D．18
6.已知数列{
}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于 ( )
A．80
B．40
C．24
D．-48
7.已知曲线C：
与直线
有两个交点，则m的取值范围是 ( )
A．
B．
C．
D．
8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则
的值为 ( )
A．
B．
C．
D．
9.设
，则x、y、z的大小关系为 ( )
A．x
证明
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(1).若A=φ，则A
B 显然成立；
若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 A
B.
解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即
的实根.
由 A≠φ，知 a=0 或
即
B中元素是方程
即
的实根
由A
B，知上方程左边含有一个因式
，即方程可化为
因此，要A=B，即要方程
①
要么没有实根，要么实根是方程
② 的根.
若①没有实根，则
，由此解得
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有
，代入①有 2ax+1=0.
由此解得
,再代入②得
由此解得
.
故 a的取值范围是
16.解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：
，且
①
只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.
由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.
则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)
依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即
.
令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(
)=123+
因为 0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax=125.
因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.
17.证明：令
,则有
，且
于是
由算术-几何平均值不等式，可得
+
注意到
，可知
，即
18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.
因为
又
，所以
，由题意得
.
此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).
所以C点的轨迹方程为
(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得
显然有 △≥0， 所以
而由椭圆第二定义可得
只要考虑
的最小值，即考虑
取最小值，显然.
当k=0时，
取最小值16.
当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得
但
，故
，这样的M、N不存在，即
的最小值的集合为空集.
19.证明：由 题意可得
，且α、β、
所以
因为
，所以
当
时，
.
当
时，
，同样有
故
另一方面，不妨设
，则
令
，
则
因为
，所以
所以
所以
如果运用调整法，只要α、β、
不全相等，总可通过调整，使
增大.
所以，当α=β=
=
时，α+β+
取最大值 3
.
综上可知，
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浙公网安备 33021202002483