人教版数学九年级下册27.2《相似三角形的应用》名师教案

.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。27.2.3相似三角形的应用〔王军〕一、教学目标1．核心素养通过学习相似三角形的应用举例，初步形成根本的推理能力和应用意识．2．学习目标进一步稳固相似三角形的知识，学会用相似三角形知识解决不能直接测量的物体的长度或高度等一些实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ．3．学习重点运用相似的判定和性质定理解决实际问题．4．学习难点灵活运用三角形相似的知识解决实际问题〔如何把实际问题抽象为数学问题〕．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务任务1阅读教材P39-40,思考：如何测量不能到达顶部的物体的高度？任务2阅读教材P39-40,思考：如何测量不能直接到达的两点间的距离？任务3阅读教材P40-41,思考：什么是视点、视线、仰角、俯角？什么是盲区？2．预习自测1.测量不能到达顶部的物体的高度，通常借助太阳光照射物体形成影子，根据同一时刻物高与影长______或利用相似三角形来解决.2.求不能直接到达的两点间的距离，关键是构造___________,然后根据相似三角形的性质求出两点间的距离.3.如图，小明测量某广场旗杆的高度，他从A走1.8m到C处时，他头顶的影子正好与点A重合.小明身高1.58m，并测得BC＝7.2m，那么旗杆的高度是(　　)〔二〕课堂设计1．知识回忆1.三角形相似的判定 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：〔1〕定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．〔2〕平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似；(3)判定定理1(边边边)：三边对应成比例，两三角形相似；(4)判定定理2(边角边)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；〔5〕判定定理3(角角)：两角对应相等，两三角形相似；〔6〕直角三角形相似的判定定理〔HL〕：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.2.相似三角形的性质：〔1〕相似三角形对应角相等、对应边成比例.相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.相似三角形对应线段之比等于相似比.〔3〕相似三角形的周长之比等于相似比.〔4〕相似三角形的面积之比等于相似比的平方.2．问题探究问题探究一如何测量不能到达顶部的物体的高度？重点、难点知识★▲●活动1探究利用三角形相似测量物高据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度.小组合作：自学课本第39页，例题4----测量金字塔高度问题。例：如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.怎样测出OA的长？问题：1、此题中是利用什么构造相似三角形的？2、此题的突破点在哪里？3、如何测量旗杆的高度？〔设计出你的测量 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，画出图形与同伴交流〕4、你发现了什么规律？学习成果展示：解：太阳光是平行线，因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴，∴.答：金字塔的高度BO=134m.你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？〔利用平面镜也可测高〕△ABO∽△AEF.测高的方法：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例〞的原理解决.甲物高：乙物高=甲影长：乙影长利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题一般图形:●活动2例题讲解例1：如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长．【 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ：相似三角形的应用】解析：先利用△BDC∽△FGE得到eq\f(BC,3.6)＝eq\f(2,1.2)，可计算出BC＝6m，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长．解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴eq\f(BC,CD)＝eq\f(EF,GE)，即eq\f(BC,3.6)＝eq\f(2,1.2)，∴△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长AB是12m.点拨：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解．例2.小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一局部影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高l.2m，又测得地面局部的影长2.7m，他求得的树高是多少?【知识点：相似三角形的应用】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，因此BE=CD=1.2m，CE=BD=2.7m，由所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2(m).答：这棵树的高为4.2m．点拨：解此题的关键是构造出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识．●活动3应用练习1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是________m．【知识点：相似三角形的应用】解：54设楼高xm，那么有，x=54,故填54.2.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m.当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.她的眼睛距地面高度DC＝1.6m，那么大楼AB的高度为________m．(注：入射角＝反射角)．【知识点：相似三角形的应用】解：12.8如图，∵根据光的反射定律知∠BEA＝∠DEC，∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴eq\f(AB,DC)＝eq\f(AE,EC).∵CE＝2.5m，DC＝1.6m，∴eq\f(AB,1.6)＝eq\f(20,2.5)，∴AB＝12.8，∴大楼AB的高度为12.8m.问题探究二如何测量不能直接到达的两点间的距离？重点、难点知识★▲●活动1探究利用三角形相似测量距离〔或宽度〕例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．小组合作：自学教材49页，例题5----测量河宽问题。此题中是如何构造相似三角形来解决问题的？你还可以用什么方法来测量河的宽度？学习成果展示：解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST，∴，即，∴PQ=90.答：河的宽度PQ为90m．你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？〔利用三角形相似测宽〕△ABE∽△CDE.测距的方法：测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。解相似三角形实际问题的一般步骤：〔1〕审题；〔2〕构建图形；〔3〕利用相似解决问题.●活动2例题讲解例：如图，零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个穿插卡钳〔两条尺长AC和BD相等〕去量，假设OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x。分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB。而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度。【知识点：相似三角形的判定与性质及应用；数学思想;数形结合】解：∵OA:OC＝OB:OD＝n且∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD.∵OA:OC＝AB:CD＝n，又∵CD＝b，∴AB=CD·n＝nb，∴x＝EQ\F(a－AB,2)＝EQ\F(a－nb,2).点拨：利用三角形相似求线段长是常用方法.●活动3应用练习1.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN=18m，那么AB的长为m.【知识点：相似三角形的判定与性质及应用；数学思想;数形结合】解：722.如下图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m，在这岸离开岸边16m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有1棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，那么这段河的河宽是m.【知识点：相似三角形的判定与性质及应用；数学思想;数形结合】解：24设河宽为dm，∵∠BAC＝∠EAD，∠EDA＝∠BCA，∴△ABC∽△AED，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(BC,DE).∵BC＝50m，DE＝20m，AD＝16m，∴eq\f(16＋d,16)＝eq\f(50,20)，解得d＝24.问题探究三什么是视点、视角、盲区？它们是如何应用的？重点、难点知识★▲●活动1相关知识介绍：视点：观察者眼睛的位置叫视点；视线：由视点出发的线叫视线；盲区：眼睛看不见的区域叫盲区.视角：视线与水平线的夹角。仰角：视线在水平线以上，视线与水平线的夹角。俯角：视线在水平线以下，视线与水平线的夹角。●活动2例题讲解例：如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？分析：如图,设观察者眼睛的位置(视点)为点F(EF近似为人的身高),画出观察者的水平视线FG,它交AB、CD于点H、K.视线FA、FG的夹角∠AFH是观察点A的仰角.能看到C点．类似地,∠CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了.【知识点：相似三角形的判定与性质及应用；数学思想;数形结合】解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点F与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AFH∽△CFK.∴.即.解得FH=8(m).由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．点拨：解实际问题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．问题探究四如何解相似三角形与函数的综合应用？解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进展解答．活动1合作探究，相似三角形与函数的综合应用例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A〔，〕，点D的坐标为〔0，1〕〔1〕求直线AD的解析式；〔2〕直线AD与x轴交于点B，假设点E是直线AD上一动点〔不与点B重合〕，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．【知识点：一次函数，相似三角形的判定与性质；数学思想;数形结合】分析：〔1〕设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A〔，〕，D〔0，1〕的坐标代入即可；〔2〕由直线AD与x轴的交点为〔﹣2，0〕，得到OB=2，由点D的坐标为〔0，1〕，得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．解：〔1〕设直线AD的解析式为y=kx+b，将A〔，〕，D〔0，1〕代入得：，解得：．故直线AD的解析式为：y=x+1；〔2〕∵直线AD与x轴的交点为〔﹣2，0〕，∴OB=2，∵点D的坐标为〔0，1〕，∴OD=1，∵y=﹣x+3与x轴交于点C〔3，0〕，∴OC=3，∴BC=5.∵△BOD与△BCE相似，∴或，∴==或，∴BE=2，CE=，或CE=，∴E〔2，2〕，或〔3，〕．点拨：此题考察了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．例2.如图，反比例函数y=〔x＞0，k是常数〕的图象经过点A〔1，4〕，点B〔m，n〕，其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．〔1〕写出反比例函数解析式；〔2〕求证：△ACB∽△NOM；〔3〕假设△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．【知识点：反比例函数，相似三角形的判定与性质，一次函数；数学思想;数形结合】分析：〔1〕把A点坐标代入y=可得k的值，进而得到函数解析式；根据A、B两点坐标可得AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，那么=，再根据反比例函数解析式可得=m，那么=m﹣1，而=，可得=，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM；根据△ACB与△NOM的相似比为2可得m﹣1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可．解：〔1〕∵y=〔x＞0，k是常数〕的图象经过点A〔1，4〕，∴k=4，∴反比例函数解析式为y=；〔2〕∵点A〔1，4〕，点B〔m，n〕，∴AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，∴==﹣1，∵B〔m，n〕在y=上，∴=m，∴=m﹣1，而=，∴=，∵∠ACB=∠NOM=90°，∴△ACB∽△NOM；〔3〕∵△ACB与△NOM的相似比为2，∴m﹣1=2，m=3，∴B〔3，〕，设AB所在直线解析式为y=kx+b，∴，解得，∴解析式为y=﹣x+．此题主要考察了反比例函数的综合应用，关键是掌握但凡函数图象经过的点，必然能使函数解析式左右相等．例3.如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B.〔1〕写出点B的坐标；〔2〕点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧局部上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点.假设以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，求点P的坐标.【知识点：二次函数，一次函数，相似三角形的判定与性质；数学思想;数形结合、分类讨论】点拨：此题考察了二次函数的综合运用.关键是利用平行线的解析式之间的关系，相似三角形的判定与性质，分类求解.活动2应用练习1.如图，动点A在函数(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q．当QE：DP=4：9时，图中的阴影局部的面积等于_______．【知识点：一次函数，反比例函数，相似三角形的判定与性质；数学思想;数形结合】解：如图，作EF⊥y轴，DH⊥x轴，由题意得：△QEF∽△DHP，∵QE：DP=4:9设AC=a,那么AB=，，，∵△AED∽△DHP，.ADBEOCFxy〔G〕2.如图，直线与直线相交于点C，、分别交轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线、上，顶点都在轴上，且点与点重合．〔1〕求的面积；〔2〕求矩形的边与的长；〔3〕假设矩形从点B出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向点A平移，设移动时间为秒，矩形与重叠局部的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．【知识点：一次函数，矩形，三角形面积，相似三角形的判定与性质；数学思想;数形结合、分类讨论】解：〔1〕解：∵A(-4,0)B(8,0)C(5,6)，∴〔2〕B(8,0)D(8,8)〔3〕当时，如图1，矩形与重叠局部为五边形〔时，为四边形〕．过作于，那么ADBEORFxyyM〔图3〕GCADBEOCFxyyG〔图1〕RMADBEOCFxyyG〔图2〕RM∴即∴AF=8-t．∴，即，∴．∴即〔〕②当时，如图2，矩形DEFG与△ABC重叠局部为梯形QFGR(t=8时，为△ARG)，那么AF=8-t,AG=12-t，由Rt△AFQ∽Rt△AGR∽Rt△AMC得，，即，．∴．∴==．③当时，如图3，其重叠局部为△AGR，那么AG=12-t，．∴．3.如图，直线AB交x轴于点B〔4，0〕，交y轴于点A〔0，4〕，直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．〔1〕直接写出直线AB的解析式；〔2〕求点D的坐标；〔3〕假设点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．【知识点：一次函数，二次函数，相似三角形的判定与性质；数学思想;数形结合、分类讨论】解：〔1〕设直线AB的解析式为y=kx+b，将A〔0，4〕，B〔4，0〕两点坐标代入，得，解得，所以，直线AB的解析式为y=﹣x+4；〔2〕过D点作DG⊥y轴，垂足为G，∵OA=OB=4，∴△OAB为等腰直角三角形，又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°，即△ADG为等腰直角三角形，∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2，∴D〔2，6〕；〔3〕存在．由抛物线过O〔0，0〕，B〔4，0〕两点，设抛物线解析式为y=ax〔x﹣4〕，将D〔2，6〕代入，得a=﹣，所以，抛物线解析式为y=﹣x〔x﹣4〕，由〔2〕可知，∠B=45°，那么∠CFE=∠BFP=45°，C〔2，2〕，设P〔x，0〕，那么MP=x﹣2，PB=4﹣x，①当∠ECF=∠BPF=90°时〔如图1〕，△BPF与△FCE相似，过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形，那么PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2〔x﹣2〕=x，将E〔x，x〕代入抛物线y=﹣x〔x﹣4〕中，得x=﹣x〔x﹣4〕，解得x=0或，即P〔，0〕，②当∠CEF=∠BPF=90°时〔如图2〕，此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，那么PE=MC=2，将E〔x，2〕代入抛物线y=﹣x〔x﹣4〕中，得2=﹣x〔x﹣4〕，解得x=或，即P〔，0〕，所以，P〔，0〕或〔，0〕．3．课堂总结【知识梳理】1、相似三角形的应用主要有如下两个方面：〔1〕测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)〔2〕测距(不能直接测量的两点间的距离)2、测高的方法测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例〞的原理解决.3、测距的方法测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.4、解决实际问题时〔如测高、测距〕，一般有以下步骤：①审题；②构建图形；③利用相似解决问题.【重难点突破】1.利用影长测量不能直接测量的物高的方法：利用同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人影来计算出物高．“在同一时刻物高与影长成正比例〞测物高要注意：(1)由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的移动而发生变化．因此，度量影子的长一定要在同一时刻下进展，否那么就会影响结果的准确性．(2)太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看成平行光线．(3)此方法要求被测物体的底部可以到达，否那么测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高．3.测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造两个相似三角形，利用能测量的三角形的边长及相似三角形的性质求此距离．4.利用相似三角形的知识对未知量(高度、宽度等)进展测量，一般要经历以下几个步骤：(1)利用平行线、标杆等构造相似三角形；(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外任意一组对应边的长度；(3)画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；(4)检验并得出答案．4．随堂 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 1．一棵树的影长是27m，同一时刻一根长1.6m的标杆的影长为3m，那么这棵树的高度是()A．18mB．15.4mC．14.4mD．12m【知识点：相似三角形的应用】2.如图，铁路道口的栏杆短臂长1.2m，长臂长16m．当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高〔杆的宽度忽略不计〕〔　　〕A．8mB．8.2mC．10mD．12m【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】3.如下图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.68m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.8m，那么梯子长为()A．3.8mB．4mC．4.8mD．5m【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】4.如下图，太阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝2m，窗户下檐距地面的距离BC＝1.4m，EC＝1.75m，那么窗户的高AB为()【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】5.如图是小明设计用手电来测量某保护区围墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到围墙CD的顶端C处，AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.6米，PD=10米，那么该围墙的高度是〔〕〔平面镜的厚度忽略不计〕．A．【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】〔三〕课后作业根底型自主突破1.小明在测量某建筑物高时，先测出建筑物在地面上的影长BA为21米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，那么建筑物高为()A．16米B．15米C．14米D．12米【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】2.一斜坡长80m，它的高为6m，将某物从斜坡起点推到坡上30m处停顿下，停下地点的高度为()A．B．C．D．【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】3.如图，某商场在一楼到二楼之间装有自动扶梯，楼面与地面平行．一人扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好完全通过，请你根据图中数据答复，两层楼之间的高约为()A．2.2mB．5.5mC．6.2mD．11m【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】4.如下图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标的尺寸，蜡烛AB在暗盒中所成像CD的高度是______cm．【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】5.如图，屋架跨度的一半OP=6m，高度OQ=2.7m.现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.25m，AB在水平位置,那么AB的长度约为_________m.〔结果保存两位小数〕ABCOPQ【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】6.如图，某同学用RtDEF纸板测量树的高度AB，使斜边DF与地平面平行，并使边DE与点B在同一直线上．纸板的两条直角边DE=50cm，EF=25cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，那么树高AB=　　m．【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】能力型师生共研7.如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的穿插口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为〔〕【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】8.如图，路灯距离地面8.24米的李林从距离灯的底部〔点O〕18米的点A处，沿OA边向右行走12米到点B时，人影的长度〔〕A．增大3米3米【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】9.相邻两根电线杆都用钢索在地面上固定〔固定点M、N恰好为两电线杆的底部〕，如图，一根电线杆钢索系在离地面5m的A处，另一根电线杆钢索系在离地面6m的B处，那么中间两根钢索相交处点P离地面m.【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】10.如图，某一时刻大树AB的影子一局部落在地平面上，影长BC=6m，另一局部落在斜坡上，影长CD=4m，同时，1.5m的标杆影长3m，斜坡CD与地面夹角为，那么大树AB高度为m.【知识点：相似三角形的应用,解直角三角形；数学思想：数形结合】探究型多维突破2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进展设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．〔加工损耗忽略不计，计算结果中可保存分数〕【知识点：相似三角形的应用,三角形面积，正方形性质；数学思想：数形结合、分类讨论】12.甲、乙两同学想测量某市城南“阁楼〞的高度，因观测点与“阁楼〞底部间的距离不易测得，需要两次测量，于是他们首先用平面镜进展测量．方法如下：如图，甲在乙和“阁楼〞之间的直线BM上平放一平面镜，并做上标记点C，镜子不动，甲看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“阁楼〞顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得甲眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进展了第二次测量，方法如下：如图，甲从D点沿DM方向走了16米，到达“阁楼〞影子的末端F点处，此时，测得甲身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“阁楼〞的高AB的长度．【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】自助餐1.如图，刘刚在打网球时,要使球恰好能打过网,而且落在离网4.8米的位置上，那么拍击球的高度h应为〔　　〕A、3米B、2.7米C、2.4米D、1.8米【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起的手臂超出头顶〔〕A．B．C．D．【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】3.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有〔〕A．1组B．2组C．3组D．4组【知识点：相似三角形的应用】，最下面一块踏板的长度，那么第5块踏板的长度为〔〕A.0.72mB.0.7mC.0.68mD.0.64m【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】5.一张等腰三角形纸片，底边长l8.75cm，底边上的高长25cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如下图．剪得的纸条中有一张是正方形，那么这张正方形纸条是()A．第8张B．第7张C.第6张D．第5张【知识点：相似三角形的应用，正方形性质；数学思想：数形结合】6.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1.5米的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一局部落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如下图，假设此时落在地面上的影长为4.6米，那么树高为〔〕A．11.6米B．11.8米C．12米【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】7.如图，某测量人员的眼睛与标杆顶端F，电视塔顶端E在同一直线上，此人眼睛距地面1.6m，标杆为3m，且BC＝1.5m，CD＝7.5m，那么电视塔的高ED＝m．【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】8.如图，一圆柱形油桶,高1.52米,用一根长2.28米的木棒从桶盖小口A处斜插桶内另一端的B处,抽出木棒后,量得上面没浸油的局部为1.32米,那么桶内油面的高度为m.【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】9.如图是一凳子的侧面图，BC//EF//AD，EF分别与BC、AD相距32cm、8cm，且AB＝DC，BC＝20cm，AD=50cm，那么横梁EF的长为cm.(材质及其厚度等忽略不计)【知识点：相似三角形的应用,平行四边形的判定与性质；数学思想：数形结合】10.如图，AB、CD两棵树高分别5.6m、9.2m,两树根之间的距离AC=9m,小明正对着树AB从左向右前进.小明的眼睛距地面1.6m，当小明与树AB的距离小于多少时,就看不见树顶D?【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】11.如图，小刘黄昏在路灯下散步．小刘的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=，两灯柱之间的距离OO′=m．〔1〕当AB=1.6，OP=8m，小刘距灯柱OP的水平距离OA=12m时，求他影子AC的长；〔2〕假设小刘在两路灯之间行走，那么他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC〕是否是定值请说明理由；〔3〕假设小刘在点A朝着影子的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．【知识点：相似三角形的应用；数学思想：数形结合】1，△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t〔单位：s〕〔0≤t≤4〕．解答以下问题：〔1〕当t为何值时，PQ∥BC．〔2〕设△AQP面积为S〔单位：cm2〕，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．〔3〕是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？假设存在，求出此时t的值；假设不存在，请说明理由．〔4〕如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？假设存在，求出此时菱形的面积；假设不存在，请说明理由．【知识点：相似三角形的应用,勾股定理及其逆定理，三角形面积，一元二次方程，二次函数的图象及性质；数学思想：数形结合、分类讨论】五．参考答案预习自测之比相等随堂检测C2.B课后作业根底型C3.B5.6.∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴=.∵DE=50cm=0.5m，EF=25cm=0.25m，AC=1.6m，CD=9m，∴.∴BC=4.5米.∴AB=AC+BC=1.6+4.5=6.1米.故答案为：6.1．能力型7.C由相似三角形对应线段成比例可求出八一街与西安路穿插口到书店的距离为270m，小明先沿南京路走到南京路与环城路的穿插口，再沿环城路走到书店，最近的路程约为：300+〔500-270〕=530〔m〕，应选C.8.B如图，∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=4.5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴﹣1.5=3米．9.2.410.作DF⊥BC延长线于F，DE⊥AB于E,由CD=4m，，得DF=2m，FC=m.∴ED=BF=,由，即，得AE=m.探究型11.由m，m2，可得m．　　由图1，假设设甲设计的正方形桌面边长为xm，　　由，得，即，∴m．　由图2，过点作斜边上的高交于，交于．由m，2.4m，由勾股定理得AC=3m．由可得，m．设乙设计的桌面的边长为ym，，,即，解得m．∵＞,∴＞.甲同学设计的方案较好．12.由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，那么=，=，即=，=，解得：AB=99，答：“阁楼〞的高AB的长度为99m．自助餐1.B2.A3.C4.D因为每相邻两块踏板之间的距离都相等，所以AB为梯形AABB的中位线，根据梯形中位线定理，AB=(AB+AB〕=〔0.52+0.88〕=0.7m．作AC∥BB，那么DB=CB=AB=0.52m，AC=0.7m-0.52m=0.18m，于是解得AD=0.12m．AB=0.12m+0.52m=0.64m．应选D．5.B要使剪出来的那张是正方形，那么剪出来边长为EF=3cm，由题意有△AEF∽△ABC，∴.∴,∴AG=4.∴GD=25-4=21,21÷3=7.所以是第7张．6.D设树在第一级台阶上面的局部高x米，那么，解得x=12，∴树高是12+0.3=13.3米．应选D．7.10如图，过A作FH//BD交ED于H,交FC于G，得ΔAFG和ΔAEH相似，得1.5：1.4=(1.5+7.5)：EH，得EH=8.4，得ED=8.4+1.6=10m．△ADE∽△ABC.解得：AE=0.64，EC=AC-AE=1.52-0.64=0.88.9.44过点C作CM∥AB，交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，交EF，AD于Q，P.由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN＝AM＝BC＝20(cm)．∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知CP＝40cm，PQ＝8cm，∴CQ＝32cm，∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD，∴eq\f(NF,MD)＝eq\f(CQ,CP)，即eq\f(NF,30)＝eq\f(32,40).解得NF＝24(cm)，∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm).10.设FG=x米．那么FH=x+GH=x+AC=x+4〔米〕，∵AB=5.6m，CD=9.2m，小明的眼睛距地面1.6m，∴BG=4m，DH=7.6m，∵BA⊥PC，CD⊥PC，∴AB∥CD，∴FG：FH=BG：DH，即FG×DH=FH×BG，∴x×7.6=〔x+9〕×4，解得x=10〔米〕，因此小于10米时就看不到树CD的树顶D．11.〔1〕由：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∴，∵OP=8，AB=1.6，OA=12，∴，∴解得：AC=3．〔2〕∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．〔3〕根据题意设小刘由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长〔如图〕．由〔1〕可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当小刘从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．12.∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．〔1〕BP=2t，那么AP=10﹣2t．∵PQ∥BC，∴，即，解得t=，∴当t=s时，PQ∥BC．〔2〕如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6﹣t．S=×AQ×PD=×2t×〔6﹣t〕=﹣t2+6t=﹣〔t﹣〕2+，∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2．〔3〕假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，那么有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12．由〔2〕可知，S△AQP=﹣t2+6t，∴﹣t2+6t=12，化简得：t2﹣5t+10=0，∵△=〔﹣5〕2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．〔4〕假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，那么有AQ=PQ=BP=2t．如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，那么有PD∥BC，∴，即，解得：PD=6﹣t，AD=8﹣t，∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣t．在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即〔8﹣t〕2+〔6﹣t〕2=〔2t〕2，化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=，∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．由〔2〕可知，S△AQP=﹣t2+6t∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×〔﹣t2+6t〕=2×[﹣×〔〕2+6×]=cm2．所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．