椭圆知识点总结复习
1. 椭圆的定义：
（1）椭圆：焦点在
轴上时
（
）
（参数方程，其中
为参数），焦点在
轴上时
＝1（
）。方程
表
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示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
例一：已知线段AB的两个端点A，B分别在
轴，
轴上，AB=5，M是AB上的一个点，且AM=2，点M随AB的运动而运动，求点M的运动轨迹方程
2. 椭圆的几何性质：
（1）椭圆（以
（
）为例）：①范围：
；②焦点：两个焦点
；③对称性：两条对称轴
，一个对称中心（0,0），四个顶点
，其中长轴长为2
，短轴长为2
；④准线：两条准线
； ⑤离心率：
，椭圆
，
越小，椭圆越圆；
越大，椭圆越扁。⑥通径
例二：设椭圆
上一点P作x轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点
，此时椭圆与x轴交于点A，与y轴交于点B，且A,B两点所确定的直线AB与OP平行，求离心率e
2.点与椭圆的位置关系：（1）点
在椭圆外
；
（2）点
在椭圆上
＝1；
（3）点
在椭圆内
3．直线与圆锥曲线的位置关系：（往往设而不求）
（1）相交：
直线与椭圆相交；（2）相切：
直线与椭圆相切； （3）相离：
直线与椭圆相离；
例三：:直线y―kx―1=0与椭圆
恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；
例四：椭圆
与过点
的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率
（1）求椭圆的方程
（2）设
分别为椭圆的左，右焦点，M为线段
的中点，求证：
（3）求证：
.
4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径
，其中
表示P到与F所对应的准线的距离。
例五：已知椭圆
上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：10/3）；
例六：椭圆
内有一点
，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使
之值最小，则点M的坐标为_______（答：
）；
5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）
问题：
，当
即
为短轴端点时，
的最大值为bc；
6、弦长公式：（直线与椭圆的交点坐标设而不求）
若直线
与圆锥曲线相交于两点A、B，且
分别为A、B的横坐标，则
＝
，若
分别为A、B的纵坐标，则
＝
，
（若弦AB所在直线方程设为
，则
＝
。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。）
例七：已知椭圆
：
和直线
交于
两点，且
，求直线的方程。
7、圆锥曲线的中点弦问题：（直线和椭圆的交点设而不求）
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆
中，以
为中点的弦所在直线的斜率k=－
；
例八：如果椭圆
弦被点A（4，2）平分，求这条弦所在的直线方程是（答：
）；
例九：（2）已知直线y=－x+1与椭圆
相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，求此椭圆的离心率（答：
）；
例10：试确定m的取值范围，使得椭圆
上有不同的两点关于直线
对称（答：
）；
特别提醒：因为
是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验
！
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