关于最大公因式定理逆命题及最大公因式求法的研究

关于最大公因式定理逆命题及最大公因式求法的研究 本科学生毕业论文 关于最大公因式定理逆命题及最大公因 式求法的研究 黑 龙 江 工 程 学 院 The Graduation Design for Bachelor's Degree The Study of the Greatest Common Factor against the Proposition and Method of the Greatest Common Factor 黑龙江工程学院本科生毕业论文 摘 要 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。其中最大公因式是多项式代数中一个很重要的基本概念，多项式最大公因式理论是多项式代数理论的核心定理，了解、熟悉和灵活运用最大公因式性质、定理，对于处理多项式代数中的许多问题都有意义。 本文研究的内容有两个方面，第一方面是对最大公因式定理逆命题是否成立进行研究，如果不成立，需要满足什么条件，并举出实例。通过举例可以说明，多项式最 大公因式定理的逆命题是不成立的，然后给出需要满足的条件，即“最大公因式是待求多项式的一个公因式”，在加上这个条件后，可以证明最大公因式定理逆命题成立。 P本文研究的第二个方面的内容是:对于数域上的任意多个多项式，其最大公因式是存在的，但很难求得，本文将利用高等代数的相关知识给出多项式最大公因式的新求法，以达到对多项式代数理论的深入理解。本文利用高等代数中矩阵初等变换的知识给出任意多个多项式最大公因式的新求法，主要方法是先将待求的多项式构成一个矩阵，再对这个矩阵实施一系列初等列变换，得到与此矩阵等价的另一个矩阵，这时第二个矩阵中第一列第一个元素是最大公因式，下面的元素便是系数多项式。 关键词:一元多项式;最大公因式;最大公因式定理;矩阵;初等变换 I 黑龙江工程学院本科生毕业论文 ABSTRACT Polynomials is a class of function of the most common and the simplest, which has a very wide range of applications. The study of polynomial algebra, including the theory of divisibility, greatest common divisor, weight factor and so on. The greatest common divisor is a very important basic concepts in polynomial algebra, the polynomial greatest common divisor theorem is the core theory of polynomial algebra theorem, understanding familiar with, and flexible using the nature and theorem of the greatest common divisor, to deal with many of the issues of algebra of polynomials have significance. The contents of this paper, there are two aspects, the first aspect is to study if the converse proposition of the greatest common divisor theorem is set up, if it do not set up, what conditions need to be met, citing examples. By way of example we can see that the converse proposition of the polynomial greatest common factor theorem is not established, And then given the conditions to be met, that is, “greatest common divisor is a common divisor of the polynomials”, together with the conditions, the converse proposition of the greatest common divisor theorem can be proved. In this paper, the second aspect is: For any number of polynomials on domain of numb- Per ,its greatest common factor is existence, but it is difficult to achieve, this article will u- se the knowledge of higher algebraic given a new method of polynomial greatest common divisor, in order to achieve the depth understanding of the theory of polynomial algebra. In this paper, the knowledge of the matrix of transpose is used in the higher elementary algebra and given the new method of greatest common factor to any number of polynomials, the main method is : first, for the polynomials form a matrix, and then for the matrix implement a series of elementary column transformation, achieve a new matrix, which is equivalent with the first matrix , at this point, the first of the first column in the second matrix is the greatest common divisor, the following is the coefficient Polynomials. Key words: one dollar polynomial;greatest common factor; greatest common factor theorem;matrix;elementary transformation II 黑龙江工程学院本科生毕业论文 目 录 摘要 .................................................................................................................. I Abstract ........................................................................................................... II 1 第1章 绪论 ................................................................................................... 1.1 概述 .......................................................................................................................1 第2章 最大公因式 ....................................................................................... 3 2.1 最大公因式定理逆命题的研究 .............................................................................3 2.1.1 基本 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ..................................................................................................3 2.1.2 命题的提出和正确性的验证 .......................................................................8 2.1.3 使命题成立的条件 .................................................................................... 12 2.2 最大公因式求法的研究 ...................................................................................... 13 2.2.1 基本知识点 ................................................................................................ 13 2.2.2 辗转相除法 ................................................................................................ 19 2.2.3 多项式最大公因式的新求法 ..................................................................... 21 2.3 本章小结 ............................................................................................................. 24 结论 ................................................................................................................ 26 参考文献 ........................................................................................................ 28 致谢 ................................................................................................................ 29 附录 ................................................................................................................ 30 黑龙江工程学院本科生毕业论文 第1章 绪 论 1.1 概述 本文以多项式为研究对象，多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。在多项式代数所研究的内容中，最大公因式是一个很重要的基本概念，了解、熟悉和灵活运用最大公因式性质、定理，对于处理多项式代数中的许多问题都有意义。 本文的研究内容分两个方面: 1.关于最大公因式定理逆命题的研究 多项式最大公因式理论是多项式代数理论的核心定理，其中多项式最大公因式理论中有重要定理:任给，必存在使,,,,f(x),g(x),Pxu(x),v(x),Px ，我们将对关于最大公因式定理逆命题是否成立进行u(x)f(x)，v(x)g(x),(f(x),g(x)) 研究，若不成立，需要满足什么条件，并举出实例。 要解决这个问题，首先，要给出最大公因式定理逆命题的叙述。接着判断其逆命题的正确性，一般来说，对于判断性的问题，如果认为这个问题不正确，只要找到一个反例即可，在本文中，判断最大公因式定理逆命题的正确性也利用了这样的方法，即举例证明此逆命题不成立。然后就要用到我们学习过的高等代数的相关知识，找出使命题成立的条件。最后，证明加上我们找到的条件后最大公因式定理逆命题成立，并举出实例。 我们在高等代数中学习过的最大公因式定理是对于两个多项式来说的，然而对于 P数域上任意多个多项式，最大公因式定理也是存在的，本文在研究时，就分别对于两个多项式的最大公因式和任意多个多项式的最大公因式两种情况进行研究，这也是我们在学习中经常遇到的从个别到一般的学习方法。 我们平常所说的多项式都是指在某一个数域上的，在本科阶段我们了解到的数域也只有有理数、实数和复数几个数域，本文就分别在这几个数域上举例说明最大公因式定理逆命题是否成立，如果不成立，利用高等代数的相关知识给出使命题成立的条件，证明满足条件后的多项式最大公因式定理逆命题成立，最后，在几个数域上分别给出实例。 2.最大公因式新求法的研究 多项式理论是高等代数中的重要组成部分，求多项式的最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位。在高等代数中我们学习过两种求多项式最大公因式的方法，因 1 黑龙江工程学院本科生毕业论文 式分解法和辗转相除法。有了几个多项式的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 分解式，它们的最大公因式一看便知，但标准分解式本身却不易得到，因而在高等代数中，辗转相除法就成了求多项式最大公因式的一般解法。 辗转相除法是求两个多项式最大公因式的一般方法，在每次作除法时用的是带余除法。它的原理将在后面的部分中给出，按照《高等代数》中的辗转相除法求多项式的最大公因式时往往会出现较为复杂的分数运算。为了避免这种情况的发生，在做除 P法时，可以用数域上的一个不等于零的数乘被除式或除式，而且不仅在每一次除法开始时可以这样做，就是在进行除法的过程中也尅这样做。这样商式自然会受到影响，但是每次求得的余式与正确的余式只能差一个零次因式，这对求最大公因式来说是没有什么关系的。 用辗转相除法求多项式最大公因式的过程中我们看出，辗转相除法的步骤较多， P篇幅较大，计算量较复杂。而我们知道，数域上任意几个多项式的最大公因式是存在的，但是用辗转相除法就更难求得，因此本文将利用高等代数中的相关知识给出最大公因式的新求法，以达到对任意多个多项式的最大公因式都可以方便的求得。 2 黑龙江工程学院本科生毕业论文 第2章 最大公因式 2.1 最大公因式定理逆命题的研究 2.1.1 基本知识点 在阐述最大公因式定理之前先了解一些基本知识点: P定义2.1 如果数的集合中任意两个数作某一运算(+、—、、)的结果都仍，,PPP在中，我们就说数集对这个运算是封闭的;如果一个包含0，1在内的数集对于 [1]P加法、减法、乘法、与除法(除数不为0)是封闭的，那么就称为一个数域 (所 有数域都包含有理数域作为它的一部分)。 定义2.2 设是一非负整数，形式表达式 n 1nn,ax，ax，？，a (2.1) 10nn, PP其中a,a,？,a全属于数域 ，称为系数在数域中的一元多项式，或者简称为数域01n [1]P上一元多项式。 iaxaii在多项式(2.1)中，称为次项，称为次项的系数，以后我们用f(x),g(x),？ii 或等来代表多项式。 f,g？ 定义2.3 如果在多项式与中，除去系数为零的项外，同次项的系数全f(x)g(x) 相等，那么与就称为相等，记为 f(x)g(x) f(x),g(x) [1]系数全为零的多项式称为零多项式，记为0。 naxa,0a在多项式(2.1)中，如果，那么称为多项式(2.1)的首项，称为nnn 首项系数，称为多项式(2.1)的次数。零多项式是唯一不定义次数的多项式，多项n 式的次数记为。 f(x),(f(x)) PP数域上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域上的多 项式。 对于多项式的加法，不难看出 ,(f(x),g(x)),max(,(f(x)),,(g(x))) 对于多项式的乘法，可以证明，如果，那么并且f(x),0g(x),0f(x)g(x),0 ,(f(x)g(x)),,(f(x))，,(g(x)) 多项式的运算律: 3 黑龙江工程学院本科生毕业论文 (1) 加法交换律 f(x)，g(x),g(x)，f(x)(2) 加法结合律 (f(x)，g(x))，h(x),f(x)，(g(x)，h(x))(3) 乘法交换律 f(x)g(x),g(x)f(x)(4) 乘法结合律 (f(x)g(x))h(x),f(x)(g(x)h(x))(5) 乘法对加法的分配律 f(x)(g(x)，h(x)),f(x)g(x)，f(x)h(x)(6) 乘法消去律 如果且，则有 f(x)g(x),f(x)h(x)f(x),0g(x),h(x) PP定义2.4 所有系数在数域中的一元多项式的全体，称为数域上的一元多项式 [1]环，记作P,,x。 带余除法:对于P,,x中的两个多项式与，其中，一定有P,,x中f(x)g(x)g(x),0 的多项式存在，使得 q(x),r(x) f(x),q(x)g(x)，r(x) [1]成立，其中或者，并且这样的和是唯一确定的。 ,(r(x)),,(g(x))r(x),0r(x)g(x) PP定义2.5 数域上的多项式称为整除，如果有数域上的多项式，g(x)f(x)h(x) 使得等式 f(x),g(x)h(x) [1]g(x)f(x)成立，用“”表示整除。 g(x)f(x) g(x)f(x)当时，就称为的因式，称为的倍式。 g(x)f(x)f(x)g(x)当时，带余除法给出了整除性的一个判别法。 g(x),0 g(x)f(x),,x定理2.1 对于P中的任意两个多项式与，其中，的f(x)g(x)g(x),0 [2]充分必要条件是除的余式为零。 g(x)f(x) 整除的性质: f(x)g(x)g(x)f(x)(1)如果，，则有，其中为非零常数。 f(x),cg(x)c f(x)g(x)g(x)h(x)f(x)h(x)(2)如果，，则有(整除的传递性)。 f(x)g(x),(3)若，那么 i,1,2,？,ri 4 黑龙江工程学院本科生毕业论文 f(x)(u(x)g(x)，u(x)g(x)，？u(x)g(x))， 1122rr [2]P其中u(x)是数域上的任意的多项式。 i P设是一个属数域，,如果既是的因式，又是 P,,xh(x),f(x),g(x),h(x)f(x) 的因式，即 g(x) h(x)f(x),h(x)g(x) 则称为与的公因式。 h(x)f(x)g(x) 定义2.6 设是的一个,,Px中两个多项式，P,,x中多项式d(x)称为f(x),g(x)f(x),g(x) 最大公因式，如果它满足下面两个条件: 1); d(x)是f(x),g(x)的公因式 [2]2)的因式。 f(x),g(x)的公因式全是d(x) 由最大公因式的定义不难看出，如果是与的两个最大公因d(x),d(x)f(x)g(x)12 d(x)d(x)d(x)d(x)式，那么一定有与，也就是，这就是说，两d(x),cd(x),c,0122112 个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的，我们知道，两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式。在这个情形，我们约定，用来表示首项系数是1的那个最大公因式。 (f(x),g(x)) 下面给出最大公因式定理: 定理2.2 对于,,,,Px中任意两个多项式，，在Px中存在一个最大公 f(x)g(x) 因式，且可以表成，的一个组合，即有,,中多项式使 Pxd(x)d(x)f(x)g(x)u(x),v(x) [2]。 d(x),u(x)f(x)，v(x)g(x) 对于首项系数是1的最大公因式,,，同样存在Px中的使 (f(x),g(x))u(x),v(x) (f(x),g(x)),u(x)f(x)，v(x)g(x) 以下是与最大公因式有关的知识点: 最大公因式的性质: (1)若是与的一个最大公因式，则d(x)是与的最大公 d(x)f(x)g(x)f(x)g(x)1 因式当且仅当，。 d(x),cd(x)c,P,c,01 g(x)f(x)(2)若，则是与的一个最大公因式。 g(x)f(x)g(x) 最大公因式的存在性: (1)设有等式成立，又存在，则存f(x),q(x)g(x)，r(x)(g(x),r(x))(f(x),g(x))在，且=。 (f(x),g(x))(g(x),r(x)) r(x)g(x)(2)设f(x)除以g(x)的余式为r(x)，且，则r(x)为f(x)与g(x)的最大 5 黑龙江工程学院本科生毕业论文 公因式。 (3)中两个非零多项式，的最大公因式存在，且为,,Pxf(x)g(x)f(x)(f(x),g(x))与的组合，即有中的多项式，使得=。 ,,Pxg(x)u(x),v(x)(f(x),g(x))u(x)f(x)，v(x)g(x) [1]定义2.7 中的两个多项式，称为互素的，如果。 ,,Pxf(x)g(x)(f(x),g(x)),1 互素的性质: (1)定理2.3 ,,中的两个多项式，互素的充分必要条件是有,,中PxPxf(x)g(x) [2]的多项式使。 u(x),v(x)u(x)f(x)，v(x)g(x),1 [1]f(x)g(x)h(x)f(x)h(x)(2)定理2.4 如果，且，那么。 (f(x),g(x)),1 f(x)g(x)f(x)g(x)(3)推论 如果，，且，那么 (f(x),f(x)),11212 [1]f(x)f(x)g(x)。 12 在上面，最大公因式与互素的概念，都是对两个多项式定义的。事实上，对于任 意多个多项式f(x),f(x),？,f(x)也同样可以定义最大公因式。称为d(x)(s,2)12s f(x),f(x),？,f(x)的一个最大公因式，如果具有下面的性质: (s,2)d(x)12s d(x)f(x),i,1,2,？,s1); i ,(x)f(x),i,1,2,？,s,(x)d(x)2)如果，那么。 i (f(x),f(x),？,f(x))我们仍用符号来表示首项系数为1的最大公因式，不难证明，12s f(x),f(x),？,f(x)f(x),f(x),？,f(x)的最大公因式存在，而且当全不为零时， 12s12s ((f(x),f(x),？,f(x)),f(x)) 12s,1s f(x),f(x),？,f(x)就是的最大公因式，即 12s (f(x),f(x),？,f(x))((f(x),f(x),？,f(x)),f(x))= 12s12s,1s u(x),i,1,2,？,s同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式，使 i u(x)f(x)，u(x)f(x)，？，u(x)f(x)(f(x),f(x),？,f(x))=。 1122ss12s (f(x),f(x),？,f(x))f(x),f(x),？,f(x)如果=1，那么就称为互素的。同样，有12s12s类似于定理1的结论。 下面给出这些结论的证明: f(x),f(x),？,f(x)f(x),f(x),？,f(x),证明如果的最大公因式存在，那么 12s,112s,1f(x)f(x),f(x),？,f(x)的最大公因式也存在，且当全不为零时有 s12s (f(x),f(x),？,f(x),f(x))((f(x),f(x),？,f(x)),f(x))=， 12s,1s12s,1s u(x),u(x),？,u(x)再利用上式证明，存在多项式使 12s 6 黑龙江工程学院本科生毕业论文 =. u(x)f(x)，u(x)f(x)，？，u(x)f(x)(f(x),f(x),？,f(x))1122ss12s证明:1)令为的最大公因式，那么 f(x),f(x),？,f(x)d(x)12s,11 d(x),(f(x),f(x),？,f(x)) (2.2) 112s,1 则两个多项式与f(x)的最大公因式也是存在的，设 d(x)s1 d(x),(d(x),f(x)) (2.3) 1s d(x)d(x)d(x)f(x),i,1,2,？,s,1d(x)f(x),i,1,2,？,s,1由于，而，因此，又有11iid(x)f(x)d(x)f(x),i,1,2,？s所以. si 即f(x),f(x),？,f(x),f(x)的最大公因式存在。 12s,1s ,(x)d(x)设是f(x),f(x),？,f(x),f(x)的任一公因式，由(2.2)可得从,(x)112s,1s ,(x)d(x)f(x)而成为与的一个公因式，再由(2.3)，可得，所以 d(x),(x)s1 (f(x),f(x),？,f(x),f(x))((f(x),f(x),？,f(x)),f(x))= 12s,1s12s,1s2)数学归纳法 s,2当时，结论成立。 s,1v(x),v(x),？,v(x)假设对于命题成立，即存在，使得 12s,1 v(x)f(x)，v(x)f(x)，？v(x)f(x),(f(x),f(x),？,f(x)),d(x) 1122s,1s,112s,11成立，再证命题对也成立。 s 由(2)式可知，存在和，使得 p(x)q(x) p(x)d(x)，q(x)f(x),d(x),((f(x),f(x),？,f(x)),f(x)) 1s12s,1s p(x)[v(x)f(x)，v(x)，？，v(x)f(x)]，q(x)f(x)= 112s,1s,1su(x),p(x)v(x),i,1,2,？,s,1u(x),q(x)令，，即可得证。 iis PP,1定义2.8 数域上次数的多项式称为数域上的不可约多项式，如果它p(x) [2]P不能表示成数域上的两个次数比低的多项式的乘积。 p(x) 注意:一个多项式是否不可约是依赖于系数域的。 P,1因式分解及唯一性定理 数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分f(x) P解成数域上一些不可约多项式的乘积，如果有两个分解式 f(x),p(x)p(x)？p(x),q(x)q(x)？q(x) 12s12t那么必有s,t，并且适当排列因式的次序后有 p(x),cq(x),i,1,2,？,s iii [1]c(i,1,2,？,s)其中是一些非零数。 i 在多项式f(x)的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们 7 黑龙江工程学院本科生毕业论文 成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是的分解式成为 f(x) rrrs12f(x),cp(x)p(x)？p(x) 12s 其中是的首项系数，p(x),p(x),？,p(x)是不同的首项系数为1的不可约多项cf(x)12s 式，而是正整数。这种分解式称为标准分解式。 r,r,？,r12s ,1复系数多项式因式分解定理 每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一 [1]地分解成一次因式的乘积。 因此，复系数多项式具有标准分解式 llls12f(x),a(x,,)(x,,)？(x,,) 12ns其中,,,,？,,是不同的复数，l,l,？,l是正整数。 12s12s ,1实系数多项式因式分解定理 每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一 [1]地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。 因此，实系数多项式具有标准分解式 llkk221s1rf(x),a(x,c)？(x,c)(x，px，q)？(x，px，q) n1s11rr其中c,？,c,p,？,p,q,？,q全是实数，l,？l,k,？,k是正整数，并且1s1r1r1s1r22x，px，qp,4q是不可约的，也就是适合条件,0，。 (i,1,2,？,r)i,1,2,？,riiii 1nn,g(x),bx，bx，？，b本原多项式 如果一个非零的整系数多项式的系数10nn, ,1b,b,？,b没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多nn,10 [2]项式。 注意:任何一个非零的有理系数多项式都可以表示成一个有理数r与一个本f(x) 原多项式的乘积，即，而且这种表示法除了差一个正负号是唯一的，g(x)f(x),rg(x) 亦即如果，其中都是本原多项式，那么必有f(x),rg(x),rg(x)g(x),g(x)111 。 r,,r,g(x),,g(x)11 [2]定理2.5(高斯(Guass)引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式。 本原多项式的性质: (1)如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘 积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。 (2)设是整系数多项式，并且是本原的，如果，f(x),g(x)g(x)f(x),g(x)h(x) [3]其中是有理系数多项式，那么一定是整系数的。 h(x)h(x) 2.1.2 命题的提出和正确性的验证 下面给出定理2的逆命题——命题1 8 黑龙江工程学院本科生毕业论文 命题2.1(最大公因式定理的逆命题) 对于中任意两个多项式，存P[x]f(x),g(x)在中的多项式，成立，那么是的P[x]u(x),v(x)d(x)f(x),g(x)u(x)f(x)，v(x)g(x),d(x) 最大公因式。 本文要研究的是命题1是否成立，下面举实例说明之: 例 令 f(x),xg(x),x，1 对于 u(x),x，2v(x),x,1 成立 u(x)f(x)，v(x)g(x) = x(x，2)，(x，1)(x,1) 2= 2x，2x,1 = d(x) 但显然不是与的最大公因式，因为若是与的最大公 d(x)f(x)g(x)d(x)f(x)g(x) d(x)f(x)因式，则，即存在使，因此，造成矛c(x)f(x),d(x)c(x),(d(x)),,(f(x))盾，所以命题1不成立，不是的最大公因式，因此最大公因式定理逆命d(x)f(x),g(x) 题不成立。 由于本文研究的多项式最大公因式理论，是在几个多项式能整除的条件下而言的， 而几个多项式的关系有两种: (1)有公因式; (2)互素。 下面就在以上两种情况下分别说明多项式最大公因式定理逆命题不成立。 (1)互素 在前一部分中已经给出了两个多项式互素的定理(定理2.3)，并且也已经说明了 P数域上任意几个多项式互素同样有上面的定理存在，所以类似于定理2.3，给出任意 '几个多项式互素的定理——定理 3 f(x),f(x),？,f(x)定理2.3' 中任意多个多项式互素的充分必要条件P[x](s,2)12s u(x),i,1,2,？su(x)f(x)，u(x)f(x)，？，u(x)f(x),1是有中的多项式，使。 P[x]i1122ss 由于互素的多项式的最大公因式是1，且存在上面的定理，所以对于互素的多项式来说最大公因式定理的逆命题成立。 (2)有公因式 以下仅在几个多项式有公因式的情况下，分别在不同的数域上，来研究多项式最大公因式定理的逆命题，这里只考虑复系数、实系数和有理系数多项式，上面已经证 P明过数域上多项式最大公因式定理的逆命题不成立，因此只需将复系数、实系数和 9 黑龙江工程学院本科生毕业论文 P有理系数分别看做，得出在此三个数域上的多项式最大公因式定理逆命题不成立， 下面分别举例说明: 1.复系数多项式 对于复数域上的任意两个多项式，利用复系数多项式因式分解定理可以f(x),g(x) 将分解成下面的标准分解式的形式: f(x),g(x) llls12f(x),a(x,,)(x,,)？(x,,); 12ns rrrt12g(x),b(x,,)(x,,)？(x,,). 12mt其中,,,,？,;,,,,？,是不同的复数，l,l,？,l;r,r,？,r是正整数。 12s12t12s12t 由于存在公因式，所以最大公因式一定存在，设其为， f(x),g(x)d(x) jjjk12d(x),(x,,)(x,,)？(x,,)， 12k其中(x,,),(x,,),？(x,,)是分解式中一次因式的公共部分，f(x),g(x)12k j分别是的一次因式公共部分中次数小的那些数。 j,j,？,f(x),g(x)k12 由于最大公因式一定存在，根据最大公因式定理可知，存在复数域上的多项式 ，成立，下面举例说明定理的逆命题不成立，即，u(x),v(x)u(x)f(x)，v(x)g(x),d(x) 如果成立，那么不是的最大公因式。 d(x)f(x),g(x)u(x)f(x)，v(x)g(x),d(x) 例 f(x),x(x，i)(x,1)g(x),x(x，2i)(x,1) 当 时 u(x),1v(x),x，1 u(x)f(x)，v(x)g(x) = 1,x(x，i)(x,1)，(x，1),x(x，2i)(x,1) 432x，(2i，1)x,(2,i)x,3ix= = d(x) 显然不是的最大公因式，所以在复数域上，最大公因式定理的逆命题不d(x)f(x),g(x) 成立。 2.实系数多项式 对于实数域上的多项式根据实系数多项式的因式分解定理，可以将f(x),g(x) 分解成以下标准分解式形式: f(x),g(x) llkk221s1rf(x),a(x,c)？(x,c)(x，px，q)？(x，px，q); n1s11rr tt,,22hu11g(x),b(x,d)？(x,d)(x，ix，j)？(x，ix，j)。 mhuu111 l,？,lc,？,c,p,？,p,q,？,qd,？,d,i,？,i,j,？,j其中;全是实数，， 1s1s1r1r1h1u1u 22x，ix，jx，px，qk,？,k,t,？,t,,,？,,是正整数，并且，， (,,1,2,？,,,,,1r1h1u 10 黑龙江工程学院本科生毕业论文 2是不可约的，也就是适合条件p,4q0，，,(,,1,2,？,r,,,1,2,？u),,1,2,？r,,2i,4j0，。 ,,,1,2,？,u,, 由于有公因式，所以的最大公因式存在，设其为， d(x)f(x),g(x)f(x),g(x) erer22,k11d(x),(x,f)？(x,f)(x，,x，,)？(x，,x，,) ,111kk其中的一次因式是标准分解式中相同的一次因式次数小的那些项的乘d(x)f(x),g(x) 积，二次因式是标准分解式中相同的二次不可约因式次数小的那些项的乘f(x),g(x) ，有积。由最大公因式定理，存在实数域上的多项式u(x),v(x)u(x)f(x)，v(x)g(x),d(x) 成立，下面举例说明定理的逆命题不成立，即，如果成立 ， u(x)f(x)，v(x)g(x),d(x)那么不一定是的最大公因式。 d(x)f(x),g(x) 222例 f(x),(x,1)(x，1)(x，x，2)g(x),(x),(x,1)(x，1)(x，x，2) 当 时 u(x),xv(x),,(x,1) u(x)f(x)，v(x)g(x) 222=x,(x,1)(x，1)(x，x，2),(x,1),(x,1)(x，1)(x，x，2) 22=(x,1)(x，1)(x，1)(x，x，2) = d(x) 显然不是的最大公因式，所以在实数域上，最大公因式定理的逆命题不d(x)f(x),g(x) 成立。 3.有理系数多项式 有理系数多项式的因式分解问题，可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问 题，也就是可以归结为本原多项式的因式分解问题。 对于有理数域上的多项式有以下的分解式: f(x),g(x) f(x),rc(x)？c(x) 11s g(x),rh(x)？h(x)21r c(x),？,c(x);h(x),？,h(x)其中r,r是有理数，都是本原多项式，且都不可约。 1s1r12 由于有公因式，所以一定存在最大公因式，设其为， d(x)f(x),g(x) d(x),rl(x)？l(x) 31t rl(x),？,l(x)其中是有理数，是中相同的本原多项式的乘积。由最大公因f(x),g(x)31t 式定理，存在有理数域上的多项式，有成立，下面u(x),v(x)u(x)f(x)，v(x)g(x),d(x)举例说明定理的逆命题不成立，即，如果成立 11 黑龙江工程学院本科生毕业论文 ， u(x)f(x)，v(x)g(x),d(x) 那么不是的最大公因式。 d(x)f(x),g(x) 22例 f(x),x(x，1)(x，2)(x,1) g(x),x(x，1)(x,1)3 当 时 u(x),3xv(x),,2(x，2) u(x)f(x)，v(x)g(x) 223x,x(x，1)(x，2)(x,1),2(x，2),x(x，1)(x,1)= 3 = ,2(x，1)(x,1)(x，2) = d(x) 显然不是的最大公因式，所以在有理数域上，最大公因式定理的逆命题d(x)f(x),g(x) 不成立。 以上说明的最大公因式定理及其逆命题都是对于两个多项式而言的，在前一部分 f(x),f(x),？,f(x)中我们证明了对于任意多个多项式最大公因式定理是成立(s,2)12s 的，下面给出任意多个多项式最大公因式定理的逆命题——命题2.2 f(x),f(x),？,f(x)命题2.2 对于中任意多个多项式，存在中的P[x]P[x](s,2)12s 多项式u(x),i,1,2,？su(x)f(x)，u(x)f(x)，？，u(x)f(x),d(x)，成立，那么d(x)i1122ss f(x),f(x),？,f(x)是的最大公因式。 (s,2)12s 根据上面对于两个多项式最大公因式定理逆命题的研究，对于任意多个多项式最大公因式定理的逆命题显然不成立，在此就不再说明了。 综上所述，最大公因式定理的逆命题不成立，下面来研究使命题2.1成立的条件。 2.1.3 使命题成立的条件 以上在不同的数域上分别说明了最大公因式定理的逆命题不成立，下面给出 (1)使命题2.1成立的条件: 是与的一个公因式 d(x)f(x)g(x) 那么，最大公因式定理逆命题成立的完整叙述为: 结论2.1 对于中任意两个多项式，存在中的多项式，P[x]P[x]f(x),g(x)u(x),v(x)成立 ， u(x)f(x)，v(x)g(x),d(x) 且当d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式时，d(x)一定是f(x)与g(x)的一个最大公因式。 下面给出结论2.1的证明 12 黑龙江工程学院本科生毕业论文 证明:对于任意的，存在，成立 ,,,,f(x),g(x),Pxu(x),v(x),Px u(x)f(x)，v(x)g(x),d(x)设是的任意一个公因式，则 d(x)f(x),g(x)1 d(x)f(x)d(x)g(x)，， 11 d(x)u(x)f(x)，v(x)g(x)所以，即 1 d(x)d(x)， 1 所以是与的一个最大公因式。 d(x)f(x)g(x) (2)使命题2.2成立的条件: 是f(x),f(x),？,f(x)的一个公因式 d(x)(s,2)12s 那么，任意多个多项式最大公因式定理逆命题成立的完整叙述为: f(x),f(x),？,f(x)结论2.2 对于中任意多个多项式，存在中多P[x]P[x](s,2)12s项式u(x),i,1,2,？,s，成立 i u(x)f(x)，u(x)f(x)，？，u(x)f(x),d(x)， 1122ss f(x),f(x),？,f(x)且当是的一个公因式时，一定 d(x)d(x)f(x),f(x),？,(s,2)12s12f(x)的一个最大公因式。 (s,2)s 下面给出结论2.2的证明 ,,证明:对于任意的f(x),f(x),？,f(x)u(x),Px,i,1,2,？,s,P,,x，存在 (s,2)12si成立 u(x)f(x)，u(x)f(x)，？，u(x)f(x),d(x)， 1122ss f(x),f(x),？,f(x)设是的任意一个公因式，则 d(x)(s,2)12s1 d(x)f(x),i,1,2,？,s;s,2 1i d(x)d(x)d(x)u(x)f(x)，u(x)f(x)，？u(x)f(x)所以，即，所以是， f(x)d(x)111122ss1 f(x),？,f(x)的一个最大公因式。 (s,2)2s 2.2 最大公因式求法的研究 2.2.1 基本知识点 在这一部分中主要运用矩阵的相关知识进行研究，下面给出矩阵的相关知识点 定义2.9 由个数排成的行(横的)列(纵的)的表 snsn 13 黑龙江工程学院本科生毕业论文 aa？a,,11121n,,aa？a,,21222n ,,？？？？,,,,aa？as1s2sn,, aa,i,1,2,？,s,j,1,2,？,n称为一个矩阵，其中数，称为矩阵的元素，i称为元素s，nijij a的行指标，称为元素的列指标，矩阵也称为级方阵，当一个矩阵的元素全nn，njij [2]PP是某一数域中的数时，它就称为这一数域上的矩阵。 [2]定义2.10 矩阵的初等变换分为初等列变换和初等行变换。 1.矩阵初等列变换 P数域上矩阵的初等列变换是指下列三种变换: P(1)以数域中一非零数乘矩阵的某一列; P(2)把矩阵的某一列的倍加到另一列，这里是中的任意一个数; cc(3)互换矩阵中两列的位置。 2.矩阵初等行变换 P数域上矩阵的初等行变换是指下列三种变换: P(1)以数域中一非零的数乘矩阵的某一行; P(2)把矩阵的某一行的倍加到另一行，这里是中的任意一个数; cc(3)互换矩阵中两行的位置。 PP定义2.11 所谓数域上一个维向量就是由数域中个数组成的有序数组 nn (a,a,？,a) (1) 12n [2]a称为向量(1)的分量。 i P,,,,？,,定义2.12 向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域中的数,12s k,k,？,k，使 12s [2],,k,，k,，？，k,。 1122ss ,,,,？,,当向量是向量组的一个线性组合时，我们也说可以经向量组,,12s ,,,,？,,线性表出。 12s ,,,,？,,,(i,1,2,？,t)定义2.13 如果向量组中每一个向量都可以经向量组12ti ,,,,？,,,,,,？,,,,,,？,,线性表出，那么向量组就称为可以经向量组线性12s12t12s [2]表出，如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价。 向量组之间等价的性质 1)反身性:每一个向量组都与它自身等价。 14 黑龙江工程学院本科生毕业论文 2)对称性:如果向量组与等价，那么向量组 ,,,,？,,,,,,？,,12s12t 也与等价。 ,,,,？,,,,,,？,,12t12s 3)传递性:如果向量组与等价，与 ,,,,？,,,,,,？,,,,,,？,,12s12t12t,,,,？,,,,,,？,,等价，那么向量组,,,,？,,与等价。 12p12p12s P定义2.14 向量组称为线性相关，如果有数域中不全为零的数,,,,？,,(s,1)12s k,k,？,k，使 12s [1]。 k,，k,，？，k,,01122ss 定义2.15 一向量组,,,,？,,(s,1)不线性相关，即没有不全为零的数12s k,k,？,k使 12s k,，k,，？，k,,0， 1122ss ,,,,？,,(s,1)就称为线性无关;或者说，一向量组不线性相关，如果由 12s k,，k,，？，k,,0 1122ss 可以推出 [2]k,k,？,k,0。 12s 定义2.16 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量(如果还存在的话)，所得的部分 [2]向量组都线性相关。 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组自身。 向量组的极大线性无关组不是唯一的，但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。 [1]定义2.17 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。 一向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含向量的个数相同。 如果我们把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些行向量组成的，同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的。 a？a？a111j1n ？？？ a？a？aai定义2.18 在行列式中划去元素所在的第行与第列，ji1ij1nij ？？？ a？a？an1njnn 2n,1(n,1)剩下的个元素按原来的排法构成一个级的行列式 15 黑龙江工程学院本科生毕业论文 a？aa？a111,j,11,j，11n ？？？？ a？aa？ai,1,1i,1,j,1i,1,j，1i,1,n a？aa？ai，1,1i，1,j,1i，1,j，1i，1,n ？？？？ a？aa？an1n,j,1n,j，1nn [1]aM称为元素的余子式，记为。 ijij ij[2]，aA,(,1)M定义2.19 元素的代数余子式。 ijijij [2]AAA,0定义2.20 矩阵称为非退化的，如果矩阵的行列式。 定义2.21 所谓矩阵的行秩就是指矩阵行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向 [2]量组的秩。 矩阵的行秩与列秩相等，统称为矩阵的秩。 矩阵的运算 PP为了确定起见，我们取定一数域，以下所讨论的矩阵全是在数域上进行的。 1.加法 (1)加法的定义 aa？abb？b,,,,11121n11121n,,,,aa？abb？b,,,,21222n21222n设， AaBb,,,,()()ijsnijsn,,,,？？？？？？？？,,,,,,,,aa？abb？bs1s2sns1s2sn,,,, 是两个矩阵，则矩阵 s，n abab？ab，，，,,111112121n1n,,abab？ab，，，,,212122222n2n Ccab,,，,()()ijsnijijsn,,？？？？,,,,abab？ab，，，s1s1s2s2snsn,,ABC,A，B称为和的和，记为。 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加，当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和 列数。 (2)加法的性质 (a)结合律 ; A，(B，C),(A，B)，C A，B,B，A(b)交换律 ; O(c)零矩阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为，在不致引起混淆的时侯， sn A，O,A可以简单的记为，显然。 O 16 黑龙江工程学院本科生毕业论文 aa？a,,,,,11121n,,aa？a,,,,,21222nA,A(d)负矩阵，矩阵称为矩阵的负矩阵，记为.显然 ,,？？？,,,,aa？a,,,s1s2sn,,有，.矩阵的减法定义为。 A，(,A),OA,B,A，(,B) ABA，B,(e)秩()秩()+秩()。 2.乘法 (1)乘法的定义 A,(a),B,(b)C,(c)设，那么矩阵，其中 ijsmijsnijnm n ， c,ab，ab，？，ab,ab,1122ijijijinnjikkj,1k ABC,AB称为与的乘积，记为。 在做矩阵的乘法时，要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。 (2)乘法的性质 (a)结合律 ; (AB)C,A(BC) AB,BA(b)矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来，; AE,A,EA,A(c); snnsnssnsn (d)分配率 ; A(B，C),AB，AC(B，C)A,BA，CA klklklk，l(e)幂的性质 ，(A),A; AA,A (f)秩,,。 (AB),min秩(A),秩(B) 3.数量乘法 (1)数量乘法的定义 kaka？ka,,11121n,,kaka？ka,,21222nA,(a)矩阵称为矩阵与数的数量乘积，记为。 kkAijsn,,？？？,,,,kaka？kas1s2sn,, (2)数量乘法的性质 (a); (k，l)A,kA，lA (b); k(A，B),kA，kB (c); k(lA),(kl)A 1A,A (d); (e)。 k(AB),(kA)B,A(kB) 17 黑龙江工程学院本科生毕业论文 ABEAB,BA,E定义22 级方阵称为可逆的，如有级方阵，使得，这里是nn [2],1BA级单位矩阵，其中，称为的逆矩阵，记为。 nA A定义2.23 设是矩阵 ij aa？a,,11121n,,aa？a,,21222n A,,,？？？,,,,aa？an1n2nn,,a中元素的代数余子式，矩阵 ij AA？A,,1121n1,,AA？A,,1222n2* A,,,？？？,,,,AA？A1n2nnn,, [2]A称为的伴随矩阵。 矩阵逆的性质 AA(1)定理2.6 矩阵是可逆的充分必要条件是非退化，而 1[4],1*A,A(d,A,0)。 d 'AB(2)推论 如果矩阵可逆，那么与也可逆，且 A,BA ',1,1'(A),(A)， [4],1,1,1(AB),BA. AP(3)定理2.7 是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，Qn，ns，ns，s 那么 [4]秩=秩=秩。 (A)(PA)(AQ) [4]E定义2.14 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 初等矩阵都是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵，包括: Ei(1) 互换矩阵的行与行的位置; j PEi(2) 用数域中非零数乘的行; c Ei(3) 把矩阵的行的倍加到行。 jk 同样也可以得到与列变换相应的初等矩阵，在这里就不再叙述了。 初等矩阵的性质: AA(1)引理 对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的s，n AA初等矩阵;对作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩n，ns，s 18 黑龙江工程学院本科生毕业论文 阵。 ABBA(2)定义2.15 矩阵与称为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得 [1]到。 等价具有性质: (1)反身性、对称性与传递性; (2)矩阵等价的充分必要条件是有初等矩阵使 P,P,？,P,Q,Q,？,QA,B12l12t [4]A,PP？PBQQQ; 12l12t A(3)定理2.8 级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的 n 乘积 [4] A,QQ？Q12m(4) 推论2.1 两个矩阵等价的充分必要条件为，存在可逆的级矩 A,Bss，n P阵与可逆的级矩阵使 nQ [4] A,PBQ [4] (5)推论2.2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。 En，2n逆矩阵的求法作矩阵，用初等行变换把它的左边一半化成，这时，(A？E) ,1右边一半就是。 A 2.2.2 辗转相除法 辗转相除法是求两个多项式最大公因式的一般方法，在每次作除法时用的是带余 除法，下面先介绍一下辗转相除法的原理。 常用辗转相除法求最大公因式，其步骤如下: ,0以除得余式;若，以除得余式;若，r(x)g(x)f(x)r(x)r(x)r(x)g(x)r(x),011 ,0则为最大公因式，若，以r(x)除得余式写成数学表达式: r(x)r(x)r(x),？,r(x)112 ， f(x),q(x)g(x)，r(x) ， g(x),r(x)q(x)，r(x)11 ， r(x),r(x)q(x)，r(x)122 „„， r(x),r(x)q(x)，r(x), s,2s,1ss r(x),r(x)q(x) s,1ss，1 由于 ,,,,(r(x))„， ,(g(x)),(r(x))1 r(x),0故一定有，即 s，1 19 黑龙江工程学院本科生毕业论文 r(x)r(x)， ss,1 r(x)即为与的最大公因式，且 f(x)g(x)s r(x)=r(x),r(x)q(x)， ss,2s,1s 又可将r(x)换成r(x)与r(x)的组合，„，依次下去，就可将r(x)表示为与f(x)s,1s,2s,3s 的组合，再除以r(x)的首项系数就可以了，这种求最大公因式的方法称为辗转相g(x)s 除法。一般我们用下面的形式表示 f(x) g(x)q(x) q(x)1 g(x)q(x) r(x)q(x)？1 r(x) r(x)q(x)12 ？？ 按照《高等代数》中的辗转相除法求多项式的最大公因式时，往往会出现较为复杂的分数计算，为了运算的简化，我们可以用一个非零常数去乘被除式或者除式。这种方法不仅在辗转相除法的开始可以用，而且在辗转相除的过程中也可以用，对计算 0,C,P的结果并无影响，这是由于若对于，我们有 f(x),q(x)g(x)，r(x) ， Cf(x),,,Cf(x)q(x)，Cr(x) 及 1，，,,f(x),q(x)Cq(x)，r(x)， ,,C，， 故 (Cf(x),g(x)),(g(x),Cr(x)),(g(x),r(x)),(f(x),g(x)) (f(x),Cg(x)),(Cg(x),r(x)),(g(x),r(x)),(f(x),g(x)) 另外，为了简化计算，在辗转相除的过程中，若遇到两个多项式的次数相同时，可以任取一个作除式，另一个作被除式。并且为了减小多项式的系数，也可以将被除式减去除式的若干倍再作辗转相除，不改变的结果。这是因为: (f(x),g(x)) ， f(x),q(x)g(x)，r(x) f(x),u(x)g(x),,,q(x),u(x)g(x)，r(x) (f(x),u(x)g(x),g(x)),(g(x),r(x)),(f(x),r(x)) 由此辗转相除法得到了进一步简化，下面给出一般实例 43232f(x),x，3x,x,4x,3g(x),3x，10x，2x,3例1 设，求 (f(x),g(x)) 解: 20 黑龙江工程学院本科生毕业论文 g(x)f(x) 32432 3x，10x，2x,3x，3x,x,4x,3 32432 3x，15x，27x，273x，9x,3x,12x,9 ,3 乘以3 432 3x，10x，2x,3x 2 ,5x,25x,30 x 乘以232 x，5x，6,x,5x,9x,9 1232 x，3x,x,5x,6x, 5 ,3x,9 2x，6 ,x x，2 2x，6 x，3 乘以 0 1 , 3从而 ,x，3。 (f(x),g(x)) 2.2.3 多项式最大公因式的新求法 我们看到，用辗转相除法求两个多项式的最大公因式时，步骤较多，篇幅较大， P计算较繁。而数域上任意几个多项式的最大公因式是存在的，用辗转相除法就更难求得，下面利用高等代数中矩阵的相关知识给出最大公因式的新求法。 在前面我们介绍过下面两个引理: 引理2.1 对矩阵A进行一次列初等变换，相当于A右乘一个对应的初等矩阵。 f(x)u(x)，f(x)u(x)，？f(x)u(x),d(x)引理2.2 设，且是 d(x)f(x),f(x),1122nn12？,f(x)f(x),f(x),？,f(x)的一个公因式，则一定是多项式的最大公因式。 d(x)n12n 以下将要进行的最大公因式新求法的研究，其主要方法就是基于这两个引理的。 主要方法: 定理2.1* 设是两个一元多项式，记 f(x),f(x)12 ()()fxfx,,12,,(),10， Ax,, ,,01,, 则对实施一系列初等列变换后得 A(x) 21 黑龙江工程学院本科生毕业论文 dx()0,,,,， Bxux(),(),,,1 ,,ux(),2,,此时，且是与的最大公因式。 f(x)f(x)f(x)u(x)，f(x)u(x),d(x)d(x)121122 证明:若、不全为零，则必有一个次数相对低的多项式，不妨设为，f(x)f(x)f(x)121 对进行初等列变换，第一列乘以一个适当的多项式加到第二列上，消去的f(x)A(x)2 最高项，由于、的次数有限，重复上述过程，必然出现矩阵中第一行只有f(x)f(x)12 dx()0,,,,一个非零元，而其它均为零的情形，即， Bxux(),(),,,1 ,,ux(),2,, pxpx()(),,12,,px(),以上对所实施的变换，由引理1知，即存在初等矩阵，A(x),,pxpx()()34,, dx()0()()fxfx,,,,12,,,,pxpx()(),,12,,使得= ux(),10,,,,1,,pxpx()()34,,,,,,01ux(),2,,,, p(x),u(x)因而，，， f(x)p(x)，f(x)p(x),d(x)p(x),u(x)32111122 即 f(x)u(x)，f(x)u(x),d(x)1122 q(x)q(x),,12,,11,,p(x),p(x)设矩阵的逆矩阵为，显然也是初等矩阵，由于p(x),,q(x)q(x)34,, ,1，因而B(x)p(x),A(x)，即 B(x),A(x)p(x) ()0()()dxfxfx,,,,12,,,,()()qxqx,,12,,(),,10ux， ,,,,1,,()()qxqx34,,,,,,(),01ux2,,,,于是，，从而是f(x)与f(x)的公因式，又由d(x)q(x),f(x)d(x)q(x),f(x)d(x)112212引理2可知:是f(x)与f(x)的最大公因式。 d(x)12 f(x),f(x),？,f(x)定理2.2* 设为n个一元多项式，记 12n f(x)f(x)？f(x),,12n,,10？0,,A(x),， ,, ,,,,00？1,,则对实施一系列初等变换后得 A(x) 22 黑龙江工程学院本科生毕业论文 dx()00？,,,,ux(),,1， Bx(),,,,,,,,ux()n,, 此时 f(x)u(x)，f(x)u(x)，？，f(x)u(x),d(x)， 1122nn 且是的最大公因式。 f(x),f(x),？,f(x)d(x)12n 此结论的证明与定理1类似，从略。 下面举例说明 43232 求，和 例f(x),4x,2x,16x，5x，9f(x),2x,x,5x，412 2f(x),x，2x,3的最大公因式。 3 432322,,4,2,16，5，92,,5，4，2,3xxxxxxxxx,, 100,,解:(), Ax,,010,,,,001,, 3222,,xxxxxxx,10,4，5，9,5，，4，2,3,, cxc100,2,,23 ,,,2cxc,401013,,2,,xx,4,21,, 222,,,6x,3x，9,5x，x，4x，2x,3,, 100cxc,2,,12 ,,,x,210,,,,x0,21,, 2,,xxxx9,911,11，2,3,, 100cc，5,,23 ,,,cc，6x,21013,,,,x6,2，51,, 23 黑龙江工程学院本科生毕业论文 2,,x,1x,1x，2x,3,,11,,00c91,, 921,,,,x01,,c9112,,1121x(,2，5)1,,311,, x,103x,3,,,,111,,x,,999,,c,c212212 , 2,,,xx，,xc,xc31,,99119,,2212,，(,2x，5)1,x,,33113,, x,10x,1,,,,1111,,x,,c99273,,32212 , 2,,,xx，,x,,991127,,22112,，(,2x，5),x,,331139,, x,100,,,,1111,,,x,,99927,,c,c3122122 , 2,,,xx，x,x,,9911927,,22112,，(,2x，5),,x,,331139,, 221()ux,u(x),,xux,()所以，其中，，，且 d(x),x,1123939 f(x)u(x)，f(x)u(x)，f(x)u(x),d(x)。 112233 2.3 本章小结 这一章中主要研究了两个方面的内容，第一部分，最大公因式定理逆命题的研究， 通过举例得到此逆命题不成立，需要满足是与的一个公因式，其逆命题d(x)f(x)g(x) f(x),f(x),？,f(x)成立。对于任意多个多项式，同样，其逆命题成立，需要满足是d(x)12n的最大公因式，其逆命题成立。 第二部分，最大公因式新求法的研究，在这一部分中用到了前一部分最大公因式定理的逆命题成立的结论，所以两部分有着密切的联系。在这一部分新求法的研究中，本文利用高等代数中矩阵的初等变换知识给出了求最大公因式一种新求法，即将任多 24 黑龙江工程学院本科生毕业论文 个多项式构成矩阵形式: f(x)f(x)？f(x),,12n,,10？0,,， A(x),,, ,,,,00？1,, 再对实施一系列初等变换后得 A(x) dx()00？,,,,ux(),,1， Bx(),,,,,,,,ux()n,, 此时 f(x)u(x)，f(x)u(x)，？，f(x)u(x),d(x)， 1122nn 是f(x),f(x),？,f(x)的最大公因式。 且d(x)12n 上面求多个多项式最大公因式新求法的方法可灵活运用，不一定必须用次数最低的多项式去消其它多项式，也可以用次数较高的多项式去消次数更高的多项式，以达到逐渐消去各多项式最高项，使第一行只剩下非零元素的目的。在这个新求法中只讨论了列的情形，行的情形与列相同，此时，行初等变换的结果是第一列只剩下一个非零元素，该元素即为多项式的最大公因式。 对于求两个多项式的最大公因式，辗转相除是一种比较好的方法;但对于多个多项式的最大公因式，辗转相除法在理论上可行，在实际操作中却是非常繁琐的。本文介绍的方法，对求多个多项式的最大公因式是一种行之有效的方法。 25 黑龙江工程学院本科生毕业论文 结 论 本文研究的主要内容有下面两个方面: 1.多项式最大公因式理论中有重要定理:，必存在 ,,f(x),g(x),Pxu(x),v(x) 使。我们对关于最大公因式定理逆命题是否成u(x)f(x)，v(x)g(x),(f(x),g(x)),P(x) 立进行研究，若不成立，需要满足什么条件进行研究，并举出实例。 P2.数域上任意几个多项式的最大公因式是存在的，但很难求得，利用高等代数 的相关知识试图给出多项式的最大公因式的新求法。 得出下面的两个结论: 1.最大公因式定理的逆命题——命题2.1、命题2.2不成立。 命题2.1 对于中任意两个多项式，存在中的多项式， P[x]f(x),g(x)P[x]u(x),v(x)成立，那么是的最大公因式。 d(x)f(x),g(x)u(x)f(x)，v(x)g(x),d(x) 命题2.2 对于f(x),f(x),？,f(x)中任意多个多项式，存在中的P[x]P[x](s,2)12s u(x),i,1,2,？su(x)f(x)，u(x)f(x)，？，u(x)f(x),d(x)多项式，成立，那么d(x)i1122ss f(x),f(x),？,f(x)是的最大公因式。 (s,2)12s 需要满足条件: (1)是与的一个公因式， d(x)f(x)g(x) f(x),f(x),？,f(x)(2)是的一个公因式， d(x)(s,2)12s 此时最大公因式定理的逆命题成立。 P 2.利用高等代数中矩阵的相关知识，给出数域上任意几个多项式的最大公因式 的新求法为下面的定理2.1*和定理2.2*: 定理2.1* 设是两个一元多项式，记 f(x),f(x)12 ()()fxfx,,12,,(),10， Ax,, ,,01,, 则对A(x)实施一系列初等列变换后得 26 黑龙江工程学院本科生毕业论文 dx()0,,,,， Bxux(),(),,,1 ,,ux(),2,, 此时，且是与的最大公因式。 f(x)f(x)f(x)u(x)，f(x)u(x),d(x)d(x)121122 定理2.2* 设为n个一元多项式，记 f(x),f(x),？,f(x)12n f(x)f(x)？f(x),,12n,,10？0,,， A(x),,, ,,,,00？1,, 则对实施一系列初等变换后得 A(x) d(x)00？,,,,u(x),,1， Bx(),,,,,,,,ux()n,, 此时f(x)u(x)，f(x)u(x)，？，f(x)u(x),d(x)f(x),f(x),？,f(x)，且是的d(x)1122nn12n最大公因式。 我们知道中任意多个多项式最大公因式定理逆命题不成立，由于本人的知识P[x] 含量有限，只能给出一种使其成立的条件，还可能有其他的条件使最大公因式定理逆命成立，这里就不再叙述了。在高等代数中我们学习过一种求多项式最大公因式的方法，辗转相除法，本文又给出了一种利用矩阵初等变换的知识求多项式最大公因式的新方法，但是这种新求法并不是唯一的方法，还可能有其他的更简单的求最大公因式的方法，在这里就不再一一说明了。 27 黑龙江工程学院本科生毕业论文 参考文献 [1]北京大学数学系.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2003:1-204. [2]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2000:1-216. [3]罗家洪.矩阵分析引论[M].广州:华南理工大学出版社，2000. [4]闫晓红.高等代数全程导学及习题全解[M].北京:中国经济时代出版社，2006:1-54. [5]周立仁. n个一元多项式的最大公因式的矩阵求法[J]. 2004.17(4).湖南 岳阳:湖南理工学院学报(自然科学版)，2004. [6]魏杰，董 王君.多项式最大公因式的一种新求法[J].2008.15.(1). 甘肃 兰州: 兰州工业高等专科学校学报，2008. [7]胡少勇，易艺. 多项式最大公因式求法探讨[J].2005.(3). 江西 九江:九江学院学报(自然科学版)，2005. [8]李先安. 矩阵法求多项式的最大公因式[J].2002.19.(5). 攀枝花:攀枝花学院学报，2002. [9]郭文献. 最大公因式的初等变换求法[J].2005.(28). 河南 安阳:安阳师范学院.2005. [10]张士诚. 求多项式组最大公因式的矩阵变换及算法[J].2001.19.(4). 江苏 徐州:徐州师范大学学报(自然科学版).2001. [11]张明旺. 两多项式最大公因式简易求法[J].2000.(88). 河南 安阳:安阳师范学院学报.2000. [12] W.J. Thompson. On Theorem to the Factor of the Polynomial Function[J].2001.(2). New York:2001. [13]L.N. Trefethen. The Relation Between Root and Coefficient in Polynomials and Its Application[J].1997.20.(4).Philadelphia,PA,2002. 28 黑龙江工程学院本科生毕业论文 致 谢 很感慨，我在长舒一口气后开始写我的毕业论文的致谢辞了。论文的完成标志着我的大学四年即将结束，也意味着，新的生活又将开始了。 在本次毕业 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 过程中，肇慧老师对该论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予细心指引与教导，使我对多项式理论有了深刻的认识，使我得以最终完成毕业设计，在此表示衷心感谢。肇老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我终生学习的楷模。 在四年的大学生涯里，还得到众多老师的关心支持和帮助，老师们的高深精湛的造诣与严谨求实的治学精神将永远激励着我。在此，谨向所有老师致以衷心的感谢和崇高的敬意!另外还要感谢系主任田老师在大学四年的学习和生活期间对我们的关心和帮助，特别是在我考研期间，田老师给予了非常大的帮助，在此我要表示衷心的感谢～在大学四年的学习和生活中，数学系给予了我们每位同学很大的关心和帮助，使我们顺利的完成了四年的学习，在此特别感谢数学系对我们的培养。 寝室生活是我人生里一段美好的回忆，在这四年的生活中不断得到寝室各位姐妹和班级各位同学的关心与帮助，使我在学习和生活中不断得到友谊的温暖与关怀，最重要的是一种精神上的激励，让我非常感动。 还要感谢的是四年来一直陪伴我们、关心我们的卢老师，在这四年里，他和我们一起经历过很多事情，开学的军训中陪我们一起接受风吹日晒，运动会上和我们一起呐喊助威，“12?9合唱比赛”前陪我们一起练习，每次寝室卫生检查时对我们的严格要求„„，虽然我们有时会认为他过于严厉，但是在心里我们知道这一切都是为了我们好，在即将要离开的日子里所有的一切都感觉像是昨天发生的事情，感谢您为我们做过的一切。 最后，我还要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位师长表示感谢～ 29 黑龙江工程学院本科生毕业论文 附 录 英文文献 DEFINITION An matrix is a rectangular array of real (or complex) m，nmnnumbers arranged in horizontal rows and vertical columns: mn aa？？a？a,,11121j1n,,aa？？a？a,,21222j2n ,,？？？？？？？,, (1) A,?ith row aa？？a？a,,i1i2ijin,,？？？？,,,,aa？？a？am1m2mjmn,, ? th column j AiThe th row of is ,,aa？a ; (1,i,m)i1i2in Athe th column of is j a，，1j,,a2j,, . (1,j,n),,？,, a,,mj，， AAWe shall say that is by (written as ) . If = , we say that is a mnm，nmn a,a,？,asquare matrix of order and that the numbers form the main diagonal of n1122nnAAai. We refer to the number , which is in the th row and th column of , as the jij AAi,th element of , or the entry of , and we often write (1) as (i,j)j ,,A,a. ij ,,,,A,aB,bDEFINITION Two matrices and are said to be m，nijij a,bequal if ， ，that is , if corresponding elements are equal. 1,i,m,1,j,nijij MATRIX ADDITION A,,,,A,aB,bDEFINITION If and are matrices , then the sum of m，nijij B,,C,cand is the matrix , defined by m，nij c,a，b(1,i,m,1,j,n) . ijijij 30 黑龙江工程学院本科生毕业论文 ABThat is, is obtained by adding corresponding elements of and . C ABAIt should be noted that the sum of the matrices and is defined only when Band have the same number of rows and the same number of columns, that is ABonly when and are of the same size . ABA，BWe shall now establish the convention that when is formed, both and are of the same size . SCALAR MULTIPLICATION ,,A,aDEFINITION If is an matrix and is a real number , then the rm，nij ,,ArAB,bscalar multiple of by , , is the matrix , where rm，nij b,ra(1,i,m,1,j,n) . ijij BAThat is , is obtained by multiplying each element of by . r ABA,BIf and are matrices, we write as and call this the m，nA，(,1)B ABdifference of and . A,A,？,Ac,c,？,cIf are matrices and are real number, then an m，n12k12k cA，cA，？，cAexpression of the formis called a linear combination of 1122kk ？,Ac,c,？,c , and are called coefficients. A,A,k12k12 THE TRANSPOSE OF A MATRIX TT,,A,aDEFINITION If is an matrix, then the matrix = , ,,m，nn，mAaijij where Ta,a(1,i,n,1,j,m) ijji TAis called the transpose of , Thus , the enties in each row of are the entries in the A Acorresponding column of . MATRIX MULTIPLICATION ,,,,A,aB,bm，pp，nDEFINITION If is an matrix and is a matrix , ijij BAABC,then the product of and , denoted , is the matrix m，n ,,c , defined by ij c,ab，ab，？，ab iji11ji22jippj (2) 31 黑龙江工程学院本科生毕业论文 p ,ab (1,i,m，1,j,n),ikkj,1k Equation (2) says that the i,th element in the product matrix is the dot product of the j B(B)(A)ith row , row , and the th column , col , of ; this is shown in Figure 1.3 jji (p.22) . BA and is defined only when the number of rows of Observe that the product of BA is exactly the same as the number of columns of , as is indicated in Figure 1.4(p.22) . Figure 1.3 (B)col aa？a，，j11121p,,bb？b？baa？a，，11121j1n21222p,,,,,,bb？b？b？？？21222j2n,, ,,,,aa？a？？？？i1i2ip,,(A)row ,,i,,？？？bb？b？b,,p1p2p3pn，，,,aa？a,,m1m2mp，， cc？c，，11121n,,cc？c21222n,,= ,,？？c？ij,,cc？cm1m2mn，， p (A),(B),abrowcol ,ijikkj,1k BAABFigure 1.4 = m，n m，pp，n the same AB size of Multiplication of matrices requires much more care than their addition , since the algebraic properties of matrix multiplication differ from those satisfied by the real numbers . ABPart of the problem is due to the fact that is defined only when the number of columns BBAAm，pof is the same as the number of rows of . Thus , if is an matrix and ABBAp，nis a matrix , then is an matrix . What about ? Four different m，n situations may occur : 32 黑龙江工程学院本科生毕业论文 BA1. may not be defined ; this will take place if . n,m BABAAB2.If is defined , which means that , then is while is ; p，pm,nm，m ABBAm,pthus, if , and are of different sizes. ABBA3.If and are both of the same size, they may be equal. ABBA4.If and are both of the same size , they may be unequal. DTHEOREM 1.1 (Properties of Matrix Addition) Let and be A,B,C, matrices . m，n A，B,B，A(a) . (b) . A，(B，C),(A，B)，C (c) There is a unique matrix such that m，nO A，O,A (1) Afor any matrix . The matrix is called the additive identity or zero m，nm，nO matrix. AD(d) For each matrix , there is a unique matrix such that m，nm，n A，D,O (2) DWe shall write as , so that (2) can be written as (,A) A，(,A),O AThe matrix is called the additive inverse or negative of . (,A) THEOREM 1.2 (Properties of Matrix Multiplication) (a) If and are of the appropriate sizes , then A,BC A(BC),(AB)C (b) If and are of the appropriate sizes , then A,BC A(B，C),AB，AC (c) If and are of the appropriate sizes , then A,BC (A，B)C,AC，BC rTHEOREM 1.3 (Properties of Scalar Multiplication) If and are real s BAnumbers and and are matrices , then (a) r(sA),(rs)A (b) (r，s)A,rA，sA (c) r(A，B),rA，rB (d) A(rB),r(AB),(rA)B BArTHEOREM 1.4 (Properties of Tanspose) If is a scalar and and are matrices, then 33 黑龙江工程学院本科生毕业论文 TT(a) (A),A TTT(b) (A，B),A，B TTT(c) (AB),BA TT(d) (rA),rA ADEFINITION An matrix is said to be row equivalent to an m，nm，n BBmatrix if can be obtained by applying a finite sequence of elementary row operation Ato the matrix . THEOREM 1.5 Every matrix is row equivalent to a matrix in row echel- m，n on form . matrix is row equivalent toa unique matrix in reduced THEOREM 1.6 Every m，n row edhelon form. ADEFINITION An matrix is called nonsingular (or invertible) if there n，n Bexists an matrix such that n，n AB,BA,I n BBAAThe matrix is called an inverse of . If there exists no such matrix , then is called singular (or noninvertible) . THEOREM 1.9 An inverse of a matrix , if it exsits , is unique . THEOREM 1.10 (Properties of the Inverse) ,1A(a) If is a nonsingular matrix , then is nonsingular and A ,1,1(A),A . ABAB(b) If and are nonsingular matrices , then is nonsingular and ,1,1,1(AB),BA . A(c) If is a nonsingular matrix , then T,1,1T(A),(A) . COROLLARY 1.2 If A,A,？A are nonsingular matrices , then n，n12r is nonsingular and AA？A12r ,1,1,1,1(AA？A),AA？A . rrr12,11 BTHEOREM 1.11 Suppose that A and are matrices . n，n AB,IBA,I(a) If , then . nn BA,IAB,I(b) If , then . nn THEOREM 1.12 An matrix is nonsingular if and only if it is row equivale- n，n Int to . n 34 黑龙江工程学院本科生毕业论文 中文翻译 A定义 一个矩阵是由个实数(或复数)排列成的一个行列的矩阵 m，nmnmn aa？？a？a,,11121j1n,,aa？？a？a,,21222j2n ,,？？？？？？？,, (1) A,aa？？a？a,,?第i行 i1i2ijin,,？？？？,,,,aa？？a？am1m2mjmn,, ? 第列 j A的第i行是 ,,aa？a ; (1,i,m)i1i2in A的第列是 j a，，1j,,a2j,, . (1,j,n),,？,, a,,mj，， AAa,a,？,a我们称是矩阵。如果=，我们就称是一个阶矩阵且数形m，nmnn1122nnAAAai成的主对角线，对于中第行，第列的数，我们称它为的第个元素，或ji,jij AA,,A,a得元，且我们通常将记作。 (i,j)ij ,,,,A,aB,ba,b定义 两个矩阵和称为相等，如果，，m，n1,i,mijijijij ，即如果对应元素相等。 1,j,n 矩阵加法 AB,,,,,,A,aB,bC,c定义 如果和是矩阵，那么和的和是矩阵 m，nm，nijijij定义为 c,a，b(1,i,m,1,j,n) . ijijij AB即，由和的对应元素相加得到。. C ABAB应该注意到，只有当矩阵和有相同的行数和相同的列数时，即，只有当和 AB是同型矩阵时，和的加法可以被定义。 ABA，B现在我们应该就形式建立规定:和两个矩阵是同型矩阵。 数量乘法 35 黑龙江工程学院本科生毕业论文 ,,ArAA,a定义 如果是一个矩阵，是一个实数，那么与的数量乘积是rrm，nij ,,B,b矩阵，这里 m，nij b,ra(1,i,m,1,j,n)， ijij BA那么，是由的每个元素都乘以得到的。 r ABABA,B如果和是矩阵，我们将记为，并且称为和的差。 m，nA，(,1)B 如果A,A,？,A是矩阵，并且c,c,？,c是实数，那么一个形式表m，n12k12k 达式 cA，cA，？，cA 1122kk 称作A,A,？,A的线性组合，c,c,？,c称作系数。 12k12k 矩阵的转置 TTA定义 如果是一个矩阵，那么矩阵=，这里 ,,m，nn，mAaij Ta,a(1,i,n,1,j,m) ijji TAA称为的转置，因此的每行的所有元素是的对应列的所有元素。 A 矩阵乘法 AB,,,,A,aB,bm，pp，n定义 如果是一个矩阵，是一个矩阵，那么和的乘ijij ,,ABABcC,积记作，是矩阵，定义为 m，nij p c,ab，ab，？，ab,ab (2) (1,i,m，1,j,n),iji11ji22jippjikkj,1k BAi等式(2)所说的矩阵乘积中的第个元素是的第行和列构成向量的点积i,jj 如图1.3. BBAA注意到和的乘积是有定义的，当且仅当的行数与的列数严格的相等，如 图1.4所示。 图1.3 (B)col jaa？a，，11121p,,bb？b？baa？a，，11121j1n21222p,,,,,,bb？b？b？？？21222j2n,, ,,,,aa？a？？？？i1i2ip(A)row ,,i,,,,？？？bb？b？b,,p1p2p3pn，，,,aa？a,,m1m2mp，， 36 黑龙江工程学院本科生毕业论文 cc？c，，11121n,,cc？c21222n,,= ,,？？c？ij,,cc？cm1m2mn，， p row(A),col(B),ab ,ijikkj,1k BAAB图1.4 = m，n m，p p，n the same AB size of 矩阵乘积要比矩阵的加法更加认真，因为矩阵乘法的代数性质与实数乘法满足的 BABA那些性质不同，问题的一部分是由于被定义的当且仅当得列数与的行数相等， BAABm，pp，n因此，如果是一个矩阵，是一个矩阵，那么是一个矩阵。那m，n BA么是怎样的呢,可能发生四种不同的情况: BA1. 如果，那么有定义。 n,m BABAABp，p2. 如果有定义，这意味着，那么，是矩阵而是 m,nm，m ABBAm,p矩阵，因此如果，和是不同型矩阵。 ABBA3. 如果和两个是同型矩阵它们可能相等。 ABBA4. 如果和两个是同型矩阵它们可能不相等。 D定理1.1(矩阵加法性质) 令和是矩阵， A,B,Cm，n A，B,B，A(a) (b) A，(B，C),(A，B)，C A(c) 存在唯一的一个矩阵，对于任意一个矩阵，有 m，nm，nO A，O,A (1) A则矩阵叫做加法恒等式或零矩阵。 m，n AD(d) 对于每一个矩阵，存在唯一的一个矩阵，成立 m，n A，D,O (2) D我们将记作，因此(2)可以写作 (,A) A，(,A),O A矩阵(,A)称作加法逆或的负。 37 黑龙江工程学院本科生毕业论文 定理1.2(矩阵乘法性质) (a) 如果和是适当形式的矩阵，那么 A,BC A(BC),(AB)C(b) 如果和是适当形式的矩阵，那么 A,BC A(B，C),AB，AC(c) 如果和是适当形式的矩阵，那么 A,BC (A，B)C,AC，BC BA定理1.3(数乘的性质) 如果和是实数，和是矩阵，那么 rs (a) r(sA),(rs)A (b) (r，s)A,rA，sA (c) r(A，B),rA，rB (d) A(rB),r(AB),(rA)B BA定理1.4(转置的性质) 如果是一个数，和是矩阵，那么 r TT(a) (A),A TTT(b) (A，B),A，B TTT(c) (AB),BA TT(d) (rA),rA ABBA定义 一个矩阵说它行等价于一个矩阵，如果可以由矩阵与一m，nm，n 个有限的初等行矩阵运算后得到。 定理1.5 每个矩阵都行等价于一个阶梯型矩阵。 m，n 定理1.6 每个矩阵都行等价于一个行最简型阶梯矩阵。 m，n AB定义 一个矩阵称作非奇异的(或可逆的)如果存在一个矩阵，成n，nn，n 立 AB,BA,I n BABA那么矩阵称为矩阵的你矩阵，如果不存在这样的矩阵，那么称为奇异的(或 非可逆的)。 定理1.9 一个矩阵的逆，如果存在，是唯一的。 定理1.10(可逆的性质) ,1A(a) 如果是一个非奇异矩阵，那么是非奇异矩阵，且 A ,1,1(A),A . ABAB(b) 如果和是非奇异矩阵, 那么是非奇异的，且 ,1,1,1(AB),BA . 38 黑龙江工程学院本科生毕业论文 A(c) 如果是一个非奇异矩阵, 那么 T,1,1T. (A),(A) 推论1.2 如果是非奇异矩阵，那么是非奇异的，且 A,A,？An，nAA？A12r12r ,1,1,1,1. (AA？A),AA？Arrr12,11 B定理1.11 假设A和是矩阵 n，n (a) 如果AB,I，那么BA,I. nn (b) 如果，那么. BA,IAB,Inn I定理1.12 一个矩阵是非奇异的当且仅当它是行等价于。 n，nn 39