跨越断层_走出误区_数学课程标准_核心词的实践解读之九_应用意识

专家视角Zhuanjiashijiao/小学数学教师/2015.4□曹培英一、重视数学应用的背景某次面向小学数学教师的调研，有一单选 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：数学课程改革重视数学应用最主要的背景是（）。A.教育回归生活的理念B.数学在日常生活中的应用越来越广泛C.数学是“数理化”之首D.数学在社会各领域中应用越来越广泛82%的教师选择A，15%的教师选择B。无所谓对错，但反映了小学数学教师课程观念的倾向性。我们究竟为什么要强调数学的应用？是因为课改的普适性理念？是为了日常生活中柴米油盐的计算？笔者的倾向性观点，可以借用中科院一份报告中的话语来表达：“学科的强大生命力在于对社会进步的贡献，数学也不例外。”1100多年前，恩格斯对数学应用的描述是：在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在液体力学中已经比较困难了；在物理学中多半是尝试性的和相对的；在化学中是最简单的一次方程式；在生物学中＝0。220世纪以来，数学与自然科学的发展，彻底改变了这种局面。以生物学为例，数学出人意料地与它紧密联系在一起，已经形成了数学生物学的庞大体系，如数学生态学，数量生理学，数量遗传学，数量生物经济学等。今天，数学几乎触及生物学的每一个领域，难怪德国的一位生物统计学家说：“这门学科，由于应用了数学，获得了第二次生命。”生物学成了数学与自然科学相互结合的一个缩影。数学的思想方法和量化 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 已成为众多科学发现和理论构建的重要手段。3在数学与自然科学、社会科学越来越深刻地相互影响和相互渗透的过程中，应用数学、计算数学突飞猛进地发展，成了当代数学发展的主要标志。数学历来被奉为科学的女皇，现在则自觉自愿地放下身价，甘当科学的女仆。正如中科院院士姜伯驹教授所言：“数学已从幕后走到前台，直接为社会创造价值。”甚至“有些重要问题的解决，数学方法是唯一的。也就是说，除数学外，用任何其他方法、仪器、手段都会一筹莫展”4。因此，数学既是一门科学也是一门技术的观点，高科技本质上是数学技术的观点，得到了普遍的认同。进入21世纪以来，现代社会以大数据为标志的信息时代特征越来越明显，从数据的采集、分析和处理，到信息的编码、存储、传输和1中国科学院数学物理学部（王梓坤执笔）.今日数学及其应用[J].数学通报，1994（7）.2[德]恩格斯.自然辩证法[M].于光远等译.北京：人民出版社，1984：172.3刘洁民.数学与现代社会[J].学科教育，1996（2）.4同1.跨越断层，走出误区：“数学课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ”核心词的实践解读之九——应用意识12专家视角Zhuanjiashijiao小学数学教师/2015.4/接受，数学始终处于关键地位。“而且随着个人计算机的普及,数学技术也有由高技术向一般技术普及的趋势。”1新近一个有力的间接证据是：美国从事评选最佳和最差职业排名十多年的CareerCast网站，推出了2014年最新职业排行榜，“数学家”竟然登上“美国十大最佳职业榜”榜首。此外，统计员（第三名）、精算师（第四名）和计算机系统分析员（第八名），都是和数学应用有关的工作。在社会对数学的需求越来越强烈的大背景下，数学课程改革重视数学应用的教育，势所必然。二、数学应用意识的内涵1.什么是数学应用广义地说，数学应用包括数学的内部应用和外部应用。数学的内部应用，即运用数学解决本理论体系或自身某一领域内的问题；数学的外部应用，即应用数学解决生活、生产、科研等方面的实际问题。通常，我们所讨论的“数学应用”是指它的外部应用。将数学应用于它的外部，最直接的是应用数学的知识、技能，最本质的是应用数学的思想、方法，最普遍的是应用数学的语言、数学的精神。仅就数学语言而言，它是迄今为止唯一不分地域、民族的世界通用语言。任何科学的数学化过程，一切数学的应用，都是以数学语言为表征的。正如伽利略所说：“自然界的伟大的书是用数学语言写成的。”数学语言已成为人类社会交流和贮存信息的重要手段。事实上，在应用数学知识技能与思想方法的过程中，自然会用到数学的语言，并涉及数学的精神。例如，解决“从家到学校出租车起步费够不够问题”（如下图）2。需要用到连加的计算技能和选择最短路线的“优化思想”，也需要运用数学的语言分析问题和解决问题。如，（1）从家到学校一共有3×2条不同的路线；（2）观察发现路线“b→①”可能最短，因为它比较“直”；（3）先分别计算a、b、c和①、②这5段路线的长，再分别计算a→①、a→②、…、c→②这6条路线的长，然后找出小于或等于3000m的路线。在此过程中，先分段计算，再相加得到各条路线的长，是为了减少重复计算；计算所有路线，是为了不遗漏任何一条小于或等于3000m的路线3。这些，其实都在一定程度上体现了追求尽可能简洁、准确、彻底地解决问题的数学精神。强调数学应用不局限于知识、方法的应用，这是由数学的素质教育功能、学科的育人价值所决定的。2.什么是数学应用意识辩证唯物主义认为，意识是人脑对于客观物质世界的反映。在心理学中，“意识”问题一直是长期争论不休的“老大难”问题，如有的将意识等同心理，有的则强调意识是一种觉醒状态。在我1严士健.数学思维与数学意识、创新意识、应用意识[J].教学与教材研究，1999(3).2程虹，曹培英.解决问题[J].小学数学教育，2012（1）.3同2.13专家视角Zhuanjiashijiao/小学数学教师/2015.4国，一般认为意识是指包括感知、思维在内的高级认识活动，它重在自觉性、自主性，它对主体活动发挥着调节、控制、指导的作用。所谓数学应用意识，简单地说就是应用数学知识、思想方法的自觉心理倾向性。它基于对数学应用广泛性特点和应用价值的认识，表现为主动从数学角度解释现实现象、解决现实问题的尝试愿望，以及试图沟通数学知识与现实联系的主动思考。当然，只有在产生“尝试愿望”或“主动思考”等心理倾向的同时，还伴随相应的积极行为，才能被认为具有了较强的数学应用意识。也就是说，应用意识通常需要通过应用行为加以表现。因此，数学的应用意识与应用能力常常紧密地联系在一起。两者的区别：从应用过程看，意识先行，应用意识激活自身的应用能力或其他应用行为（如请他人解决自己发现的数学问题）；从形成过程看，应用意识的形成则滞后于相关的认知与行为。两者相辅相成，应用意识的形成又能反过来促进应用能力的提升。《义务教育数学课程标准》（2011年版）对数学应用意识作了具体化的描述：“应用意识有两个方面的含义：一方面，有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴藏着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。”上述两方面的含义，虽不是应用意识的概念界定，但比较贴近中小学实际地刻画了数学应用意识的主要表现。可以解读为，一方面是从数学到现实，另一方面是从现实到数学。也可以理解为，一是应用数学的意识（包括用数学解释现实现象的意识，用数学解决实际问题的意识），二是理论联系实际的意识。其中，“有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题”，实际上为我们指明了培养学生数学应用意识的两条基本途径。在这段话的最后，还强调了综合实践活动的良好载体作用。据此反观当前的教学实践，应当引起我们的反思：两条基本途径是否存在偏颇？“很好的载体”实际教学效果如何？三、怎样培养小学生的数学应用意识1.处理好数学应用意识与数学基础、数学能力的关系首先，应用意识的培养应贯穿在“整个数学教育的过程中”，因为数学应用意识是现代社会公民科学思维与文化素质不可或缺的内涵，所以也是数学课程的主要目标。其次，应用意识的培养不能单列，也难以专项落实，它必须以数学知识的教学与数学能力的培养为载体，并融入其中。诚如北京师范大学严士健教授所指出：“对于数学基础课，除了基本的知识、技能和基本训练外，应该定位在培养学生的数学应用意识以及一般的应用意识。但是为了培养应用意识，必须使学生学到必要的数学应用知识和受到必要的数学应用的实际训练，否则强调应用意识就会成为空洞的说教。”1因此，处理好数学应用意识与数学基础、数学能力的关系，实现三者的融合，才能使学生认识数学“有用”，“想用”“敢用”“善用”数学解决问题。在这里，“有用”是一种认识，“想用”是一种愿望，都可归入应用意识培养的研究范畴。而“敢用”数学解决问题，底气来自对数学基础知识的理解与基本技能的掌握，主要是“双基”教学研究的问题；“善用”数学解决问题，取决于数学的应用能力，主要是问题解决教学研究1严士健.数学思维与数学意识、创新意识、应用意识[J].教学与教材研究，1999(3).14专家视角Zhuanjiashijiao小学数学教师/2015.4/的问题。因此，下面陈述的教学策略，主要侧重“有用”的认知与“想用”的激发，以确保本文的探讨不偏离主题。2.有效沟通数学知识与现实世界的联系小学阶段的数学知识，大多具有真实的现实背景；同时，小学生在生活中形成的常识与经验，又是他们理解数学的认知基础。因此，揭示数学知识的实际来源或现实背景，是促进学生建构所学数学知识的意义、培养数学应用意识的重要手段。至于联系现实世界的适当时机，多数情况是在生成数学知识之初，通过创设情境展现数学知识是怎样源于实际需要，怎样从现实生活中提取、抽象出来的。由于数学知识的生成，源于实际需要和数学内部需要两个方面，当属于后者时，联系现实世界的适当时机，就可能是在给出数学概念之后，再来揭示数学知识的现实背景。例如，素数与合数，来源于纯数学对整数的研究，教学时不便通过生活情境引入，可以在建立概念之后，简要介绍素数在密码学、在变速齿轮设计中的应用。还可以介绍蝉的生长周期，长的有13年、17年，都是素数。这是为什么呢？一种合理的解释是，蝉的天敌也有自己的生命周期，当蝉的生命周期不是素数时，就会有很多机会和天敌的周期相逢。比如，12年蝉就会和周期为1、2、3、4、6、12年的天敌相逢，被吃的可能性就要大很多。自然界中的素数现象，常常激起学生的遐想，寻根究底，令教师既高兴，又为难。沟通数学知识与现实世界的联系，除了教师创设现实情境，教师介绍实际应用之外，也可以调动学生的主观能动性，让他们自己去实现“沟通”。常用的主要策略如下。（1）让学生课前搜集素材。有些内容，如百分率、折线统计图等，可在教学前布置学生寻找、了解生活中的应用实例，从中获得切身体会，效果明显优于教师举例介绍。（2）让学生用实际问题说明结论。有些内容，如运算定律、运算性质等，不一定非要从现实情境引出，可以先让学生通过计算实例，发现、验证、表达规律，再让学生自己寻找生活实例，加以说明（教学过程如下图1）。例如，减法运算性质a-b-c＝a-(b＋c)，总结规律之后，让学生自编实际问题，用生活经验说明这一性质成立。最常见的如“妈妈买来9个苹果，我前天吃了2个，昨天又吃了3个，还剩几个”。虽说幼稚，但能说明问题，能提高学生的数学自信。也有学生画出线段图，加以直观解释，呈现出表征的多样性。显然，让学生面对新的数学知识时，主动联系现实生活，寻找新知识的实际背景，实现数学知识与生活经验的融合，能更为有效地促进知识的意义建构和应用意识的形成。3.逐步拓展数学的应用范围小学数学教学应当随着学生年龄的增长、生活经验的积累与常识的丰富，逐步拓展数学的应用范围。从最初清一色的儿童生活情境与虚拟的童话情境开始，逐渐将数学应用的触角伸向社会生活的方方面面，伸向自然界的众多领域。在这方面，青岛版小学数学教材为我们提供了一个范例。该教材每个单元都贯穿一个情境载体的主题，有山东的地域、人文方面的主题，也有科学研究、生产建设方面新成就的主题，还有动物、植物、生态环境等方面的主题，初步构成了一个丰富多彩的情境系列。1曹培英.以学定教，为学而教，以学论教的实践——以“乘法分配律”的教学为例[J].小学数学教育，2013(6).15专家视角Zhuanjiashijiao/小学数学教师/2015.4关于拓展数学的应用范围，比较集中的经验，一是开阔视野，拓宽儿童的生活世界；二是关注社会的发展与进步，适当引进新素材、新数据，以增加数学应用的时代气息。除此之外，还应该加强数学与其他学科的联系。例如，自然课学习了毛细现象，数学课就可以将它加工成反比例的应用问题。实验表明，在相同条件下，毛细管的直径x与水上升的高度y成反比例xy＝k。请根据下表中 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 的实验数据，求出k，并求出空格里的数。毛细管直径x（mm）水上升高度y（mm）142743.552.810有学生受上题启发，联想到自然课上，曾经用两片玻璃，夹一些红墨水，演示随着玻璃片夹紧，缝隙越小，红墨水爬升越高，得到了一条美妙的曲线（如上右图）。学生的展示，令教师茅塞顿开，拍案叫绝，这不正是近似的反比例函数图像吗！没想到，在小学数学中，数学与物理的联系，数学在物理中的应用，也有如此鲜活的实例。4.引导学生利用所学数学知识解释现实现象对于培养学生数学应用意识来说，利用所学数学知识“解释现实世界中的现象”，其重要性几乎不亚于利用所学数学知识“解决现实世界中的问题”。但在目前的教学中，相对于解决问题，解释现实现象明显更弱。现实世界的事物，存在形式千姿百态，其中的数学因素、数学表现，往往是内隐的，需要学生从数与形的角度去观察，才能发现、描述其中的数学内涵，进而才有可能解释现实现象。引导学生对现实现象作出数学解释，从低年级就可以开始。例如，教学“左右”之后，联系学校行为规范教育，让学生利用左右的相对性，解释为什么要 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 “上下楼梯靠右行”，从而认识到这一规定的合理性，在理解的基础上提高遵守的自觉性。如果大家都能从小基于认知养成这样的习惯，很多踩踏事故就有可能避免。在特殊场合，数学解释的认知与行为，竟然具有保护生命的潜在作用。进入高年级，可以适当提高要求。例如，给出如下观察、思考题：请仔细观察2014年的“月历表”。①找出在同一年的月历中，哪些月份的“几日是星期几”是相同的。②你能说明这是什么原因吗？③2015年、2016年“月历表”也有这样的规律吗？学生惊讶地发现，平年的1月与10月，2月与3月、11月，4月与7月，9月与12月的“几日是星期几”完全相同。通过计算，发现1月→10月，2月→3月→11月，4月→7月，9月→12月的间隔天数分别为：273天，28天，245天，91天，91天。计算正确的学生大多能够发现，原来间隔天数都是7的倍数，也就是说，这些月份之间，相隔整星期。所以，1月1日与10月1日的星期几相同，……，9月1日与12月1日的星期几相同。教师本打算第③小题让学生回家继续探究，但课堂上就有学生想明白了：2015年与2014年都是平年，月份之间的间隔天数相同，所以“几日星期几”相同的规律是一样的。2016年是闰年，需要重新观察。一位思维特别敏捷的学生补充道：闰年只有2月多1天，3月与11月，4月与7月，9月与12月之间的间隔天数与平年相同，这些月份“几日是星期几”肯定16专家视角Zhuanjiashijiao小学数学教师/2015.4/也是相同的。可见，利用所学数学知识解释现实现象，可以和数学探究相结合，期间有可能产生大量的分析、推理活动，在培养数学应用意识的同时，也能促进学生的数学思维和提升数学的应用能力。5.缩小教学问题情境与实际应用情境的差距众所周知，数学建模、解决实际问题以及综合实践活动，是培养数学应用意识与数学应用能力的主要途径与载体。然而，有研究指出，小学生缺乏数学应用意识的原因，是“由于学校数学情境和实际应用情境之间存在差异，造成学生有两种不同的数学情境表征和解题过程”1。当学生认为当前的问题属于学校情境的问题（数学题）时，被激活的相关解题过程包括一系列的暗示，如题目中出现的数据必须全部用上，必须按照教师的要求进行解答，只有唯一答案，等等。由此，学生的关注点自然集中在计算正确、解答符合教师要求上，往往不去考虑条件与答案在实际情境中的真实意义2。这是中外学生之所以面对“船上有75头牛、32只羊。请问船长的年龄有多大”之类的问题时，都会不约而同地硬算出答案（船长年龄为43或107岁）的内在心理原因。进而推断，中国学生算出答案的比例高于外国学生的主要原因，不是别的，而是我们的孩子更听话，教师的教诲记得更牢。当学生在生活中遇到了真实的问题时，他们才会调动一些生活经验和常识，这时的问题解决过程就不一定按照教师讲的步骤进行，评判答案时才会关注到它的现实合理性。3因此，努力缩小数学题与真实问题的差距，是切实培养学生数学应用意识绕不过的坎。这方面的现成经验并不多，只能就笔者实践所及略陈一二。（1）挖掘实际素材，将教学活动置于真实的生活背景之中。这不仅是培养应用意识的需要，也是提高教学有效性的需要。因为教学内容越接近学生的生活经验和生活背景,学生自觉接纳知识的程度就越高。所以，教师应当做有心人，注意发现学生身边的数学问题素材，为学生提供尽可能多的具有原始背景的数学问题，借助真实的生活情境，让学生获得数学应用的深刻体验。例如，有教师根据本班捐款过程中发生的真实一幕，编成一道应用题：汶川地震,同学积极捐款。五(2)班有同学33人，1人病假,实到32人，平均每人捐款82元。他们得知，五(1)班平均每人捐款85元，于是在想，病假的同学捐多少元，他们班的平均捐款数才能和五(1)班相同？学生一方面惊讶私下的议论怎么被老师知道了，一方面又因已有思考，信心满满地给出了解答。交流时，教师既肯定学生的简便算法，又不失时机地加以教育：献爱心不应攀比，贵在尽心尽力。又如，学习平均数之后，教师布置学生每人测算自己的平均步距，统计从家到学校平均每次走了多少步，然后计算家校间的路程。学生从中亲身感受千米的实际长度，体会平均数减小测量误差的实际应用。（2）让学生“动手做”，亲力亲为完成实践性数学任务。小学的几何教学，从平面到立体，可以形成“动手做”的实践性数学任务系列。例如，测量并计算课桌、黑板、教室的面积；利用容器与1吴洪健，陈琦.小学生的数学应用意识及其促进研究综述[J].学科教育，2004(6).2同1.3同1.17专家视角Zhuanjiashijiao/小学数学教师/2015.4水，测定不规则物体的体积；按要求设计制作长方体、正方体纸盒，以及纸质圆柱体模型，等等。通过动手测量、计算与画图、制作，深化对相关概念、算法的认识与理解。特别是纸盒、模型的制作练习，对学生认识几何体的展开图与表面积计算方法，促进空间观念的发展，都是极为有益的。同样，统计与概率、比和比例的教学，也能开发一些常规的实践性数学任务。以比例的应用为例，测量竹竿的长度与同一时刻竹竿、旗杆的影子长，算出旗杆的高度；测量学校操场及教学楼的长、宽，选定适当的比例尺，画出学校的平面图。这样的实践性数学任务，一般学校都具备实施的条件。让学生“动手做”数学，亲力亲为完成实践性数学任务，不仅有助于缩小学校数学教学问题情境与实际应用情境的差距，同时体现了“教学做合一”的教育思想，有利于发展学生的实践能力。正所谓“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。以上两条策略的综合运用，对于当下综合实践活动的教学，摆脱过于依赖教材，单纯地“看图说话”与“纸上谈兵”的困境，也都具有积极的意义。（3）将理财教育融入数学教学。随着我国市场经济逐步完善，大众物质生活不断提高，家庭富裕了，孩子们的零花钱越来越多，他们的“小金库”日渐充盈。同时，随着经济全球化的高速发展，又不可避免地带来了多元的金钱观和消费观。社会发展呼唤理财教育必须及早进入中小学。培养学生的数学应用意识，需要充实有关商品经济的数学应用题材，这是理财教育与数学教学有机整合的有利条件。这一整合，能使理财教育不再只是空洞的说教，而是学以致用的实践。理财教育的内容相当丰富，既涉及数学应用，培养经济头脑，又要关注法律、道德教育。这里仅讨论引进理财内容，加强数学应用问题现实意义的可能性。小学数学从认识货币开始，到付费计算、消费策划，再到储蓄、保险等的金融问题，都具有真实的生活背景。其中，很多问题涉及用聪明的合理选择让有限的资源发挥最大的功用，这对学生认识数学的实用价值，体验应用数学的成功与乐趣，都很有裨益。例如，商店促销，甲店满200元送40元购物券，乙店打8.5折。如果同样商品两店原售价相同，买200元商品，在哪家商店购买合算？买300元商品呢？数学计算并不难，答案也容易得到认同：买200元商品，去甲店购买合算；买300元商品，去乙店购买合算。但有类似经历的学生提出，进甲店买200元商品，得到40元购物券，如果“不用”（没有合适的消费需求），就等于没有优惠，由此认为还是去乙店购买合算。可见，这一实际问题，有效降低了“学校数学情境和实际应用情境之间的差异”，因而激活了学生的生活经验，促使学生主动考虑数学答案在“实际情境中的真实意义”，突破数学标准答案的禁锢。如何培养学生的数学应用意识，还有很多理论问题与实践问题需要研究。比如，数学应用意识本身的心理结构、关键属性、影响因素是什么，如何立足数学应用意识的培养改善课程架构与教材编写，等等。因此，以上探讨尚属冰山一角，真诚期待同仁的斧正与补充。（上海市静安区教育学院）18