(完整)初中经典几何证明练习题(含答案),推荐文档

第PAGE\*MERGEFORMAT#页共9页初中几何证明 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 经典题（一）1已知：如图，0是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD丄AB,EF丄AB,EG丄CO.求证：CD=GF.证明：过点G作GH丄AB于H，连接OE•/EG丄CO,EF丄AB•••/EGO=90。，/EFO=90°•••/EGO+/EFO=180°E、G、O、F四点共圆•••/GEO=/HFG•••/EGO=/FHG=90°•••△EGOs^FHGEOGOFG=HG•/GH丄AB,CD丄ABGH//CDGOCOHGCDEOCOFGCD•/EO=COCD=GFPAD=ZPDA=15°。2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，/求证：△PBC是正三角形.（初二）证明：作正三角形ADM，连接MP•••/MAD=60。，/PAD=15°•••/MAP=/MAD+/PAD=75°•••/BAD=90。，/PAD=15°•••/BAP=/BAD-/PAD=90°-15°=75°•••/BAP=/MAP•/MA=BA,AP=AP△MAP◎△BAP•••/BPA=/MPA,MP=BP同理/CPD=/MPD,MP=CP•/PAD=ZPDA=15°PA=PD，/BAP=/CDP=75°-BA=CD.△BAPCDPZBPA=ZCPD-ZBPA=ZMPA,ZCPD=ZMPDZMPA=ZMPD=75°ZBPC=360°-75°X4=60°-MP=BP,MP=CP•BP=CPBPC是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.求证：/DEN=ZF.证明：连接AC,取AC的中点G,连接NG、MG•/CN=DN,CG=DG1•••GN//AD,GN=AD2•••/DEN=/GNM•/AM=BM,AG=CG1•GM//BC,GM=—BC2•••/F=/GMN••AD=BC••GN=GM经典题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点）（1）求证：AH=2OM;,O为外心，且OM丄BC于M.（2）若/BAC=600,求证：AH=AO.（初二）证明：（1）延长AD交圆于F,连接BF，过点0作0G丄AD于G•/0G丄AF•AG=FGTAB=AB•••/F=/ACB又AD丄BC,BE丄AC•••/BHD+/DBH=90/ACB+/DBH=90°•••/ACB=/BHD••/F=/BHD••BH=BF又AD丄BC-t••DH=DF•AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH)=2GD又AD丄BC,OM丄BC,OG丄AD•四边形OMDG是矩形•OM=GD•AH=2OM(2)连接OB、OC•••/BAC=60BOC=120•/OB=OC,OM丄BC1•••/BOM=/BOC=60OBM=3°2•BO=2OM由(1)知AH=2OM•AH=BO=AO、J?GAFQ/PAF=/AFEAF=AE/AFE=/AEF2、设MN是圆0外一条直线，过0作0A丄MN于A，自A引圆的两条割线交圆0于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.求证：AP=AQ.证明：作点E关于AG的对称点F,连接AF、CF、QF•/AG丄PQPAG=/QAG=90又/GAE=/GAFPAG+/GAE=/QAG+/即/PAE=/QAF•••E、F、C、D四点共圆/AEF+/FCQ=180°EF丄AG,PQ丄AGEF//PQ/AEF=/PAF/PAF+/QAF=180°在厶AEP和厶AFQ中/AFQ=/AEP/FCQ=/QAFF、C、A、Q四点共圆•••/AFQ=/ACQ又/AEP=/ACQ•••/AFQ=/AEP:AF=AE、/QAF=/PAE•△AEP◎△AFQ•••AP=AQDE，设CD、EB分别交MN于P、Q0A、AF、AG3、设MN是圆0的弦，过MN的中点A任作两弦BC、求证：AP=AQ.（初二）证明：作0F丄CD于F,0G丄BE于G,连接0P、0Q、•••C、D、B、E四点共圆•••/B=/D，/E=/C△ABEADCABBE2BGBGADDC2FDDF△ABGADF•••/AGB=/AFD•••/AGE=/AFC•/AM=AN,0A丄MN又0G丄BE,•••/0AQ+/0GQ=180°0、A、Q、E四点共圆•••/A0Q=/AGE同理/A0P=/AFC•••/A0Q=/A0P又/0AQ=/0AP=90°,0A=0A△0AQ也厶0APAP=AQ4、如图，分别以△ABC的AB和AC为一边，在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点0是DF的中点，0P丄BC求证：BC=20P（初二）证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N•/OF=OD,DN//OP//FL•••PN=PL•••OP是梯形DFLN的中位线DN+FL=2OPTABFG是正方形•••/ABM+/FBL=90°又/BFL+/FBL=90°•••/ABM=/BFL又/FLB=/BMA=90°,BF=AB△BFL◎△ABMFL=BM同理△AMC◎△CNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=2OP经典题（二）1如图，四边形ABCD为正方形，DE//AC,AE=AC,AE与CD相交于F.求证：CE=CF.（初二）证明：连接BD交AC于O。过点E作EG丄AC于G■/ABCD是正方形BD丄AC又EG丄ACBD//EG又DE//ACODEG是平行四边形又/COD=90°ODEG是矩形111EG=OD=—BD=—AC=—AE222/EAG=30°•/AC=AE/ACE=/AEC=75°又/AFD=90°-15°=75°/CFE=/AFD=75°=/AEC•CE=CF2、如图，四边形ABCD为正方形，DE//AC,且CE=CA，直线EC交DA延长线于F.求证：AE=AF.(初二)/证明：连接BD，过点E作EG丄AC于G■/ABCD是正方形BD丄AC,又EG丄ACBD//EG又DE//ACODEG是平行四边形又/COD=90°ODEG是矩形111EG=OD=BD=AC=CE222/GCE=30°•/AC=EC-/FAC-/ACF在厶AFC中/F=180°X.jf1oX*1•/CAE=/CEA=/GCE=152=180°=180°-/FAC-/GCE-135°-30°=15°•••/F=ZCEA•••AE=AF求证：PA=PF.（初二）.4D证明：过点F作FG丄CE于G,FH丄CD于H■-•••CD丄CG•HCGF是矩形、\fl丿•••/HCF=/GCF•FH=FG\•HCGF是正方形\•CG=GF\///;•/AP丄FP设AB=x,BP=y,CG=z•/APB+/FPG=90°z：y=(x-y+z):xp7GE•••/APB+/BAP=90°化简得(x-y)•y=(x-y)•z•/FPG=/BAP•/x-yz0又/FGP=/PBA•y=z•△FGPs^PBA即BP=FG•FG：PB=PG:AB•△ABP也厶PGF3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF丄AP,CF平分/DCE.4、如图，PC切圆O于C,AC为圆的直径，PEF为圆的割线,求证：AB=DC,BC=AD.（初三）证明：过点E作EK//BD，分别交AC、AF于M、K,连接OH、MH、EC•/EH=FH.OH丄EF,•/PHO=90°又PC丄OC,•/POC=90P、C、H、O四点共圆/HCO=/HPO又EK//BD，•/HPO=/HEK/HCM=/HEMH、C、E、M四点共圆/ECM=/EHM•EM=KM•/EK//BDOBAOODKM又/ECM=/EFA•/EHM=/EFAEMAMOB=OD又AO=CO•四边形ABCD线互相平分ABCD是平行四边形AB=DC,BC=ADAE、AF与直线PO相交于B、D.取EF的中点H,R的对角•HM//AC•/EH=FHC又/ADP=/ABP/AEP=/ABPA、E、B、P四点共圆/BEP=/PAB/PAB=/PCB经典题（四）1已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3,求/APB的度数.(初二)解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得厶BCQ，连接PQ则厶BPQ是正三角形•••/BQP=60°,PQ=PB=3在厶PQC中，PQ=4,CQ=AP=3,PC=5•△PQC是直角三角形•••/PQC=90°•••/BQC=/BQP+/PQC=60°+90°=150°B•••/APB=/BQC=150°2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且/PBA=ZPDA.求证：/PAB=ZPCB.（初二）证明：过点P作AD的平行线，过点两平行线相交于点E,连接BE•/PE//AD,AE//PDADPE是平行四边形PE=AD,又ABCD是平行四边形TOC\o"1-5"\h\zAD=BC'PE=BC又PE//AD,AD//BC；PE//BCBCPE是平行四边形；/BEP=/PCB•••ADPE是平行四边形；/ADP=/AEP3、设证明：AB•CD+AD•BC=AC•点E,使/BCE=/ACDABCD为圆内接凸四边形，求证:在BD上去•/Cd=CD•/CAD=/CBD•△BECADCBEBCADAC•AD•BC=BE•ACBCE=/ACDBCE+/ACE=/ACD+/ACE即/BCA=/ECD•••BC=BC，•/BAC=/BDC△BACEDCI①+②得AB•CD+AD•BC=DE•AC+BE•AC=(DE+BE)•AC=BD•ACABACDE•AB•CDCD=DE•AC4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P,且AE=CF.求证：/DPA=ZDPC.(初二)证明：过点D作DG丄AE于G,作DH丄FC于H,11•SaADE=2AE•DG,S^FDC=2FC•DH1又ADE=FDC=S^ABCD2•••AE•DG=FC•DH又AE=CF•DG=DH•••点D在/APC的角平分线上•/DPA=ZDPC经典题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC,求证：.3ZAGP/APD>ZADPBfl•AD>PA①又BD+PD>PB②CG+PG>PC③①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG>PA+PB+PC•AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC>PA+PB+PC=L•/AB=AC=1••LV2由(1)(2)可知：,3wLV2.E2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值.解：将ABCP绕点B顺时针旋转60°得厶BEF，连接PE,则厶BPE是正三角形•••PE=PBPA+PB+PC=PA+PE+EF•要使PA+PB+PC最小，贝UPA、PE、EF应该在一条直线上(如图)此时AF=PA+PE+EF过点F作FG丄AB的延长线于G则/GBF=180°-ZABF=180°-150°=30BG=^•AF=.,GF2AG2•PA+PB+PC的最小值是2.33、P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,证明：将厶ABP绕点B顺时针旋转90°得厶BCQ，连接PQ则厶BPQ是等腰直角三角形，PQ=..2PB=,2x2a=2,2a又QC=AP=aQP2+QC2=(2■.2a)2+a2=9a2=PC2△PQC是直角三角形•ZBQC=135•••BC2=BQ2+CQ2-2BQ•CQ•cosZBQC=PB2+PA2-2PB•PAcos135°=4a2+a2-2x2axax解得BC=.52「2a•正方形的边长为52、・2a4第PAGE\*MERGEFORMAT#页共9页4、如图，△ABC中，/ABC=ZACB=80°,D、E分别是AB、AC上的点，/DCA=30°,/EBA=20°，求/BED的度数.解：在AB上取一点F,使/BCF=60,CF交BE于G,连接EF、DG•//ABC=80°，/ABE=20°,a/EBC=60°，又/BCG=60°•••△BCG是正三角形•••BG=BC•//ACB=80°，/BCG=60°•/FCA=20°•/EBA=/FCA又•••/A=/A,AB=ACABE也ACF•AE=AF1/AFE=/AEF=2(180°-/A)=80°又•••/ABC=80°=/AFE•EF//BCEFG=/BCG=60°△EFG是等边三角形•EF=EG,/FEG=/EGF=/EFG=60°•/ACB=80°，/DCA=30°•/BCD=50°•••/BDC=180°-/BCD-/ABC=180°-50°-80°=50°•••/BCD=/BDC•BC=BD前已证BG=BC•BD=BG1/BGD=/BDG=2(180°-/ABE)=80°•••/FGD=180°-/BGD-/EGF=180°-80°-60°=40°又/DFG=180°-/AFE-/EFG=180°-80°-60°=40°•••/FGD=/DFG•DF=DG又EF=EG,DE=DEEFD◎△EGD11ABC/BED=/FED=2/FEG=2X60°=30°5、如图，△ABC内接于OO,线PD交CA的延长线于点P,求线段PD的长。且AB为OO的直径，/ACB的平分线交OO于点D，过点D作OO的切过点A作AE丄CD于点E,过点B作BF丄CD于点F，若AC=6,BC=8,解：•••/ACD=/BCD•AD=BD•AD=BD•/AB为OO的直径•/ADB=90•△ABD是等腰直角三角形•••/ACB=90°,AC=6,BC=8•AB=10•AD=AB•cos/DAB=10X鼻=5.22又AE丄CD,/ACD=45•△ACE是等腰直角三角形•CE=AE=AC•cos/CAE=6X2=3.22心ADE中,DE2=AD2-AE2•DE2=(5^2)2-(3V2)232•DE=4-2PDPAAD525PCPDCD7^27•CD=CE+DE=3、2+4..2=7、2•••/PDA=/PCD,/P=/PPDAPCD解得PD=^7575•-PC=—PD,PA=PD•/PC=PA+AC•PD=—PD+65757