小学奥数中国剩余定理中国剩余定理2015.08.22整数除法被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数）A÷B=C＋R（被除数－余数）÷除数=商(A－R)÷B=C例1、一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,求这个两位数用它除58余2，意外着这个两位数是56（58－2）的因数。同样的也是70和84的因数。所以这个两位数是56，70，84的公因数，答案是14。例2、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?因为每次都多出3个，所以拿走3个乒乓球，那么不论是8个8个地...
中国剩余定理2015.08.22整数除法被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数）A÷B=C＋R（被除数－余数）÷除数=商(A－R)÷B=C例1、一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,求这个两位数用它除58余2，意外着这个两位数是56（58－2）的因数。同样的也是70和84的因数。所以这个两位数是56，70，84的公因数，答案是14。例2、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?因为每次都多出3个，所以拿走3个乒乓球，那么不论是8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数，都没有剩余，这时乒乓球的个数就应该是8、10和12的公倍数。[8，10，12]=120。120+3=123所以这盒乒乓球至少有123个。例3、把几十个苹果平均分成若干份,每份4个余2个,每份10个余8个,每份25个余23个.这堆苹果共有几个？题目的意思相当于：这个数除以4缺2，除以10缺2，除以25也缺2。因此加上2后，除以4、除以10和除以25时，就都正好能整除了，也就是4，10和25的公倍数。[4，10，25]=100，100一2=98，所以这堆苹果的数量是98。例4、有一个数，除以8余数是3，除以11余数是2，这个数最小是多少？由于这个数除以8和11的余数不相同，而且缺少的数也不相同，因此不能直接利用最小公倍数来解决我们先看“除以11余2"这个条件，从小到大依次在所有满足“除以11余2”的数中寻找“除以8余3”的数。2+11=13，13÷8=1……5，不符合；13+11=24，24÷8=3，也不符合；24+11=35，35÷8=4……3，符合条件。因此这个数最小是35例5、一堆糖果，4个一数多1个，9个一数多4个，11个一数多9个。这堆糖果至少有多少个?这个问题可以概括为：一个数，除以4余1，除以9余4，除以11余9。我们可以从满足“除以11余9”的数中，找出“除以9余4”的数，这只要依次加上11即可；然后再找出“除以4余1”的数，这需要依次加上9和11的最小公倍数99即可。9+11=2020÷9=2……2，不符合“除以9余4’’的条件；20+11=3131÷9=3……4，符合“除以9余4”的条件；但31÷4=7……3，不符合“除以4余1"的条件；31+99=130，130÷4=32……2，也不符合“除以4余1”的条件；130+99=229，229÷4=57……1符合“除以4余1”的条件。因此这堆糖果至少有229个。“韩信点兵”的故事韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数(2111,4421,……)。《孙子算经》中的题目我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数”的题目：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？还有专门用来解决同一个数除以3，5和7的问题的歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”实际上70是能被5和7整除但被3除余1，21能被3和7整除但5除余1，15能被3和5整除但被7除余1。这个系统算法是南宋时期的数学家秦九韶研究后得到的。这就是著名的中国剩余定理。例6、今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？题目中此数被3除余2，那就用70乘以2，被5除余3。歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”那么就用21乘3，被7除余2，那就15乘2，相加：70×2+21×3+15×2=233。看情况减3、5、7的最小公倍数的倍数。此题减105的2倍，得到23。例7、一个数，除以5余1，除以7余2，除以9余4。这个数最小是多少?这道题目同样可以用例5的方法进行计算，但是现在我们准备采用类似于例6的方法。例6的方法之所以方便，是因为歌诀中给出了70，21和15这三个数，那么这道题目中又该是多少呢?歌诀中的70正好是能被5和7整除，而被3除余1的最小数；21正好是能被3和7整除，而被5除余1的最小数；15正好是能被3和5整除，而被7除余1的最小数。利用这个思路，我们来解答例7。因为[7，9]=63，63÷5=12……3；而63x2=126，126÷5=25……1。所以能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。例7(续)、一个数，除以5余1，除以7余2，除以9余4。这个数最小是多少?能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。同样的方法，我们可以找出能被5和9整除，而被7除余1的最小数是225；能被5和7整除，而被9除余1的最小数是280。1×126+2x225+4×280=696。这个数显然太大，接下来就要减去5、7和9的最小公倍数315，直到最后的结果小于315为止。1696-315×5=121。所以这个数最小是：121。BYE2015.08.22TheEnd！ThankyouForyourlistening!
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