高数求极限方法总结

第一章极限计算方法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：数列极限、 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 极限，说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：n→∞lim​(n1)2−1​=0；x→2lim​(3x−1)=5；n→∞lim​qn=0,当∣∣∣​q​∣∣∣​<1等。定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2．极限运算法则定理1已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B（2）limf(x)⋅g(x)=A⋅B（3）limg(x)f(x)​=BA​,(此时需B​=0成立) 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限（1）x→0lim​xsinx​=1（2）x→0lim​(1x)x1​=e； x→∞lim​(1)x=e说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。（2）一定注意两个重要极限成立的条件。例如：x→0lim​3xsin3x​=1，x→0lim​(1−2x)肂荖=e，x→∞lim​(1)3x​=e；等等。4．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当x→0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex−1。说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)→0），仍有上面的等价关系成立，例如：当x→0时，e3x−1～3x；ln(1−x2)～−x2。定理4如果函数f(x),g(x),f1​(x),g1​(x)都是x→x0​时的无穷小，且f(x)～f1​(x)，g(x)～g1​(x)，则当x→x0​lim​g1​(x)f1​(x)​存在时，x→x0​lim​g(x)f(x)​也存在且等于x→x0​lim​g1​(x)f1​(x)​。5．连续性定理5一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0​是函数f(x)的定义去间内的一点，则有x→x0​lim​f(x)=f(x0​)。求极限的一个方法。6．极限存在准则定理6（准则1）单调有界数列必有极限。定理7（准则2）已知{xn​},{yn​},{zn​}为三个数列，且满足：（1）yn​≤xn​≤zn​,(n=1,2,3,⋯)（2），则极限一定存在，且极限值也是a，即。二、求极限方法举例1．用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 x→1lim​x−13x1​−2​解：原式=x→1lim​(x−1)(3x1​2)(3x1​)2−22​=x→1lim​(x−1)(3x1​2)3x−3​=43​。注：本题也可以用洛比达法则。例2 n→∞lim​n​(n2​−n−1​)解：原式=n→∞lim​n2​n−1​n​[(n2)−(n−1)]​=分子分母同除以n​n→∞lim​1n2​​1−n1​​3​=23​。例3n→∞lim​2n3n(−1)n3n​解：原式=上下同除以3nn→∞lim​(32​)n1(−31​)n1​=1。2．利用函数的连续性（定理6）求极限例4x→2lim​x2ex1​解：因为x0​=2是函数f(x)=x2ex1​的一个连续点，所以 原式=22e21​=4e​。3．利用两个重要极限求极限例5x→0lim​3x21−cosx​解：原式=x→0lim​3x22sin22x​​=x→0lim​12⋅(2x​)22sin22x​​=61​。注：本题也可以用洛比达法则(第三章)例6x→0lim​(1−3sinx)x2​解：原式=x→0lim​(1−3sinx)。例7n→∞lim​(n1n−2​)解：原式=n→∞lim​(1n1−3​)−3n1​⋅=n→∞lim​[(1n1−3​)−3n1​]咀蠨=e−3。4．利用定理2求极限例8x→0lim​x2sinx1​解：原式=0（定理2的结果）。5．利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9x→0lim​arctan(x2)xln(13x)​解：∵x→0时,ln(13x)～3x，arctan(x2)～x2，∴  原式=x→0lim​x2x⋅3x​=3。例10x→0lim​x−sinxex−esinx​解：原式=x→0lim​x−sinxesinx(ex−sinx−1)​=x→0lim​x−sinxesinx(x−sinx)​=1。注：下面的解法是错误的：原式=x→0lim​x−sinx(ex−1)−(esinx−1)​=x→0lim​x−sinxx−sinx​=1。正如下面例题解法错误一样：x→0lim​x3tanx−sinx​=x→0lim​x3x−x​=0。例11x→0lim​sinxtan(x2sinx1​)​解：∵当x→0时,x2sinx1​是无穷小,∴tan(x2sinx1​)与x2sinx1​等价，所以， 原式=x→0lim​xx2sinx1​​=x→0lim​xsinx1​=0。（最后一步用到定理2）5．利用极限存在准则求极限例20已知x1​=2​,xn1​=2xn​​,(n=1,2,⋯)，求n→∞lim​xn​解：易证：数列{xn​}单调递增，且有界（0