非线性控制系统

*第八章非线性控制系统概述非线性系统特点数学模型非线性微分方程稳定性与系统的输入信号和初始条件有关系统的零输入响应与系统初始状态有关极限环（自激振荡）频率响应跳跃谐振、多值相应、倍频现象、分频震荡、频率捕捉（跟踪）现象*第八章非线性控制系统常用的非线性系统研究方法相平面法描述函数法目前非线性控制系统的综合与设计的主要方法基于李雅普诺夫方法的综合与设计方法变结构控制微分几何控制理论混沌理论及混沌控制*第八章非线性控制系统典型非线性环节饱和非线性死区非线性*摩擦非线性（静摩擦力）典型非线性环节第八章非线性控制系统间隙非线性*第八章非线性控制系统继电器型非线性理想继电器具有死区继电器*第八章非线性控制系统继电器型非线性具有滞环继电器具有死区与滞环继电器*第八章非线性控制系统相平面法H.Poincare提出的一种用图解法求解一阶、二阶常系数微分方程的方法由于非线性系统状态方程的求解十分困难，运用相平面法，回避直接求解非线性状态方程，利用图解法找出系统状态变化的规律。状态轨迹上的一个点表示状态变量的一组值，即对应于系统的运动状态，所以整条状态轨迹则形象和全面地描述了整个系统的运动状态。利用相平面法可以明显地看到系统在任何可能的初始条件下的全部解。*第八章非线性控制系统相平面、相轨迹和相平面图设描述二阶自由系统的常系数微分方程为该系统的时间解可用x(t)和t的关系图表示，也可以用时间t为参变量，然后用的关系图表示。以两个相变量和张成的二维状态空间（状态平面）称为相平面（1）*第八章非线性控制系统在相平面上，系统的每一个状态相应于该平面上的一个点。当时间t变化时，该点在相平面上描绘出的曲线，即状态的变化轨线，称为相轨迹。在相轨迹上用箭头表示时间增大的方向。如果以各种可能的初始状态为初始点，则可得到一族相轨迹，这种相轨迹曲线称之为相平面图。*第八章非线性控制系统相轨迹性质相轨迹的斜率由于即故所以相轨迹的斜率*第八章非线性控制系统相平面图的奇点（平衡点）如果某一状态点，使上述相轨迹的斜率方程为斜率不定有无数条相轨迹在该点相交凡是使上述方程成立的状态点称为奇点，即平衡点或平衡状态*第八章非线性控制系统相平面图的对称性相轨迹的运动方向在相平面的上半平面，由于即x随时间t的增加而增大，状态点沿相轨迹朝x轴的正方向运动在相平面的下半平面，由于即x随时间t的增加而减少，状态点沿相轨迹朝x轴的负方向运动相轨迹垂直穿过x轴奇点就是多条或无数条相轨迹的起点或终点二阶系统的每一条相轨迹表示系统在给定初始状态下系统运动的动态特性在某些情况下相平面图对称于x轴、轴和原点*第八章非线性控制系统起点起点终点*第八章非线性控制系统相平面图的作图方法解析法图解法等倾线法δ法（圆弧近似法）*第八章非线性控制系统相平面图的分析由相平面图求时间解按平均速度求时间信息Δt平均速度时间增量*第八章非线性控制系统解析法求时间信息因为所以故有*第八章非线性控制系统奇点与极限环奇点概念如果在某一状态点处，存在则此系统不存在唯一解，称该状态为奇点。研究奇点的定义及奇点坐标的求法，进一步研究系统在奇点附近的运动规律以及相轨迹的形状，并按奇点附近相轨迹的特征对它进行分类。再引入“特殊的奇点”奇线和极限环的概念。*第八章非线性控制系统对一个非线性二阶系统而言，搞清楚系统在奇点附近相轨迹的形状，将有利于估计整个相平面的相轨迹的大致形状，可定性地把握有关二阶系统自由运动规律的全部信息。一般讲来，可把相变量视为位移，则和可理解为速度和加速度，则奇点可理解为系统的速度和加速度均为零，故奇点就是系统的平衡点。在相平面内，凡使系统的两个相变量的导数都为零的状态点，即为平衡点，即对所有的时间t，均有：则对应的状态点称为系统的平衡点或系统的平衡状态*第八章非线性控制系统平衡点坐标的确定由系统平衡点的定义，知所以二阶系统的平衡点在相平面的纵坐标为故对于二阶系统，令其中的解出的值就是系统平衡点在相平面内的横坐标*第八章非线性控制系统平衡点的分类非线性系统的线性化模型因为则系统的平衡点为当是非线性函数时，若它满足线性化的条件，应用泰勒级数，并略去高阶无穷小，则可得线性化增量函数为所以*第八章非线性控制系统令则线性化方程为若令上述方程中则线性化模型的平衡点为注意：非线性系统的平衡状态，在非线性方程的坐标系中坐标为而在线性增量模型的新坐标系中坐标为。*第八章非线性控制系统分类讨论系统平衡点的分类，并在相平面上画出平衡点附近的相轨迹，可以估计整个相平面的相轨迹的大致信息。线性化处理后的二阶线性微分方程其特征方程为特征方程的两个根和在复平面内的分布位置不同，确定了平衡点的类型和二阶线性微分方程解的性质。*第八章非线性控制系统和均为负实数系统的平衡点为稳定节点*第八章非线性控制系统和均为正实数系统的平衡点为不稳定节点*第八章非线性控制系统和为实部为负的共轭复数系统的平衡点为稳定焦点*第八章非线性控制系统和为实部为零的共轭复数系统的平衡点为中心点*第八章非线性控制系统和为实部为正数的共轭复数系统的平衡点为不稳定焦点*第八章非线性控制系统和为一正、一负的实数系统的平衡点为鞍点*例：二阶非线性系统的微分方程为试：、确定系统的平衡点；、求非线性方程在平衡点处的线性化模型；、确定平衡点的类型；4、指出渐进线的斜率。*非线性系统的相平面分析解：二阶非线性系统其平衡点有两个：经线性化处理后，知是稳定焦点，是鞍点*特殊二阶线性系统的相轨迹*特殊二阶线性系统的相轨迹*一阶线性系统的相轨迹*一阶线性系统的相轨迹*极限环第八章非线性控制系统极限环是相平面上一条孤立的封闭相轨迹，且它附近的其它相轨迹都无限地趋向或离开这条封闭的相轨迹非线性系统中，极限环描述了系统自激振荡的振幅和周期极限环将相平面分割成内部和外部平面两部分，内部（外部）的相轨迹不可能穿过极限环而进入它的外部（内部）*第八章非线性控制系统稳定极限环*第八章非线性控制系统不稳定极限环*第八章非线性控制系统半稳定极限环*第八章非线性控制系统描述函数法描述函数法是分析非线性控制系统的一种近似方法，在非线性系统满足一定的假设条件下，可以忽略系统中的高次谐波，对系统中非线性特性进行谐波线性化，然后利用线性系统理论中的频率响应法研究非线性系统零平衡状态的稳定性和自激振荡。*假设条件：线性部分G(s)和非线性部分N是分离的非线性元件N非线性程度较低，其特性是奇对称的且不包含储能元件线性部分G(s)具有较好的低通滤波特性系统的参考输入r(t)=0,且系统开始处于静止状态第八章非线性控制系统*第八章非线性控制系统设非线性元件N的输入为则非线性元件N的输出为非正弦周期函数，即所以线性部分的输出c(t)也包含相应的谐波分量根据前述假设条件非线性特性是奇对称的，故线性部分具有较好的低通滤波特性，故可忽略高次谐波分量故*第八章非线性控制系统定义非线性元件输出信号y(t)的一次谐波分量y1(t)和正弦输入信号x(t)的复数向量之比，定义为非线性元件的描述函数，即注意：谐波线性化与小偏差线性化(泰勒级数)的区别描述函数更像该元件对一次谐波的“复放大系数”或“复增益”与线性元件的频率特性函数的相似之处和不同之处沿用线性系统理论中的频率响应法来研究非线性控制系统*第八章非线性控制系统典型非线性元件的N(X)及-1/N(X)曲线步骤：设非线性元件的输入为根据该元件的非线性特性，确定其输出y(t)的函数表达式或波形将y(t)展开成傅立叶级数取级数中的基波，按描述函数的定义式求出该非线性元件的描述函数*第八章非线性控制系统饱和非线性*第八章非线性控制系统*第八章非线性控制系统描述函数负倒数：当时，当时，即：0*第八章非线性控制系统死区非线性*第八章非线性控制系统*第八章非线性控制系统描述函数负倒数：当时，当时，0即：*第八章非线性控制系统继电器型非线性()tx()ty()ty00()txtwtw1j1jppp2p20h-hMM-1jp+12jp+1jp+*第八章非线性控制系统*第八章非线性控制系统*第八章非线性控制系统描述函数负倒数：当时，实部由于的虚部与X无关，为一常数当时，实部而即：*第八章非线性控制系统非线性系统的描述函数分析对非线性元件进行谐波线性化，得到描述函数N(X)为X的实值或复值函数，可将其看成是系统的一个实数或复数增益，故可利用线性系统的频率响应法分析非线性系统渐进稳定性自激振荡存在条件，确定自激振荡的振幅和频率*非线性系统的渐进稳定性第八章非线性控制系统系统方程为即由于故当时，有即将Nyquist判据推广应用于用描述函数法所描述的非线性系统，需要修改的仅仅是将复平面内的临界点（-1，j1)扩展为临界曲线*第八章非线性控制系统如果系统的线性部分是渐进稳定的，则Nquist判据为假设非线性系统的线性部分传递函数G(s)为开环稳定，在同一平面上画出G(jω)曲线和-1/N（X）曲线若-1/N（X）曲线没有被G(jω)曲线包围，则系统是稳定的*若-1/N（X）曲线被G(jω)曲线包围，则系统是不稳定的第八章非线性控制系统*若-1/N（X）曲线与G(jω)曲线相交，则系统中可能会产生自激振荡，即系统中有极限环存在。第八章非线性控制系统*第八章非线性控制系统非线性系统自激振荡的分析非线性系统自激振荡的稳定性可根据交点处-1/N(X)曲线和G(jω)曲线的相对走向确定如果在交点处，-1/N(X)曲线当幅值X增大时，向G(jω)曲线包围区域内移动，则该点的自激振荡是不稳定的；反之，若当X增大时，-1/N(X)曲线向G(jω)曲线包围区域以外运动，则该点的自激振荡是稳定的。自激振荡的参数（振幅与频率）由两曲线的交点确定*PID自校正PM算法*-1/N(A)和Nyquist曲线分别改变Kp，Ki，Kd值使Q点在G(jw)，jwG(jw),(1/jw)G(jw)方向上移动的情形PID自校正PM算法*PID自校正SPAM算法*PID自校正SPAM算法滞环继电特性与被控对象Nyquist曲线的交点在单位圆外点Q在单位圆外时的自整定公式推导关系图*李亚普诺夫稳定性分析稳定性定义系统受到外界干扰偏离原有的平衡状态时，当外界干扰去掉后，系统能在新平衡状态下继续工作的能力。系统稳定性判据SISO线性定常系统劳斯判据奈奎斯特判据非线性系统、时变系统李亚普诺夫稳定性判据*李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫方法第一方法（间接法）第二方法（直接法）通过解系统的微分方程判断稳定性。对非线性系统，则用平衡点附近一定范围内的线性化方程来近似描述。不必求解微分方程即可判断特别适用于以状态空间描述的系统*李亚普诺夫稳定性分析基本概念设系统n维状态向量n维函数向量（包含线性和非线性，时变和非时变）在初始条件时有唯一解，即平衡状态若系统存在，使得对所有的t都满足则称为系统的平衡状态线性非线性*李亚普诺夫稳定性分析稳定性若对于任一给定实数，都存在另一个与取值有关的实数使得下列不等式成立时，即就一定有则称系统的平衡状态在李亚普诺夫意义下是稳定的。无关若与一致稳定的*李亚普诺夫稳定性分析渐进稳定性如果系统的平衡状态在李亚普诺夫意义下是稳定的，而且从与平衡状态的距离小于等于的邻域出发的任意一个状态转移轨线当趋于无穷大时，都趋近于则平衡状态是渐近稳定的。大范围渐近稳定性如果从平衡状态周围所有状态出发的状态转移轨线都满足渐近稳定性，则称该平衡状态是大范围渐近稳定的。*李亚普诺夫稳定性分析不稳定性如果对于某个给定的实数不管实数取多么小，在的邻域内总存在着起码一个初始状态，使得从这一状态出发的状态转移轨线与的距离超过给定的，则平衡状态就称为不稳定的。标量函数的正定性设为以状态向量的各分量作为其自变量的标量函数，它的定义域为。如果只有当时，而时，则称为正定函数。如果除了和某些状态使得以外，域内的所有其他状态都使则称为半正定的。*李亚普诺夫稳定性分析如果是正定的函数，则称为负定函数。如果是半正定的函数，则称为半负定函数。李亚普诺夫第二方法从能量观点出发，得出的一个判别系统稳定性的理论。当时间趋于无穷时，系统积蓄的能量必达到一个极小值。设法用一个辅助函数来衡量系统的储能，判别系统平衡点附近的稳定性问题转化为判别储能辅助函数及其变化规律。*李亚普诺夫稳定性分析大范围渐近稳定不稳定大范围稳定局部渐近稳定局部不稳定基于能量观点，得出李亚普诺夫稳定性定理*李亚普诺夫稳定性分析定理一如果系统在平衡状态的某些邻域内存在一个正定的具有连续一阶偏导数的标量函数其导函数是负定的，则平衡状态是一致渐近稳定的。如果当时，有则该平衡状态是大范围内一致渐近稳定的。定理二如果系统在平衡状态的某些邻域内存在一个正定的具有连续一阶偏导数的标量函数其导函数是负半定的，而且对任意和在时不恒等于零，则平衡状态是大范围渐近稳定的。其中表示从出发的状态轨迹。*定理三如果系统在平衡状态的某邻域内存在一个正定的具有连续一阶偏导数的标量函数其导函数在同样的邻域李亚普诺夫稳定性分析内是正定的，则平衡状态是不稳定的。定理四如果系统在平衡状态的某邻域内存在一个正定的具有连续一阶偏导数的标量函数其导函数在同样的邻域内小于等于零或始终为零，则平衡状态是稳定的。*李亚普诺夫稳定性分析例：已知某线性系统的状态方程如下试用李亚普诺夫稳定性定理判定其稳定性。解：使的平衡状态为若选取为李亚普诺夫函数，显然它是正定的。但是不定的，因而不能用其来确定系统在原点处的稳定性。*李亚普诺夫稳定性分析若另取一个正定标量函数则是负半定的，因为在原点的邻域内存在某些状态使实际上，只有在原点处而在原点的邻域内不恒等于零。故根据定理二可知，原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。对于一个特定的系统，其李亚普诺夫函数并不是唯一的。*李亚普诺夫稳定性分析还可选取其导函数为为负定的，且当有根据定理一可知，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。*李亚普诺夫稳定性分析非线性系统其原点是平衡状态，即为连续可微函数，则前苏联学者找出一种构造李亚普诺夫函数方法它对时间的全导数为其中*李亚普诺夫稳定性分析故当为负定时，对于非零向量也一定是负定的。而当时，是否有呢？因为对于非零向量，有是负定的保证了也是负定的，即时其行列式也是非零的，因而有*李亚普诺夫稳定性分析定理非线性系统在原点的平衡状态是渐近稳定的充要条件是对所有都是负定的。此时的李亚普诺夫函数取为。如果当时，有，则平衡状态时大范围内渐近稳定的。*李亚普诺夫稳定性分析例：试分析下列非线性系统的稳定性解：易见是系统的平衡点。故是负定的，因而是负定的。李亚普诺夫函数为*李亚普诺夫稳定性分析显然，且当时，有，故原系统在平衡状态是大范围渐近稳定的。