人教版高中数学必修二第二章单元测试卷：点、直线、平面之间的位置关系（一）（含答案）

2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（）A．平行B．相交C．垂直D．异面3．下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．若直线l不平行于平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β4．已知α、β是两个平面，直线，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①5．对于两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．如图，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心O，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．如图，α⊥β，α∩β＝l，，，A，B到l的距离分别是a和b，AB与α，β所成的角分别是θ和φ，AB在α，β内的射影长分别是m和n，若，则（）A．B．C．D．11．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为（）A．KB．HC．GD．B′12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，，则m与l所成角的取值范围是________．14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为是正确的条件即可）．16．如图正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是________．（写出所有正确命题的编号）①当时，S为四边形②当CQ＝时，S为等腰梯形③当CQ＝时，S与C1D1交点满足C1R1＝④当时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S的面积为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在三棱锥P－ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．求证：（1）直线PA∥面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．18．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．19．（12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（2）设（1）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．（锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高）20．（12分）如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．21．（12分）如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，（1）求三棱锥P－ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．22．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝，∠PAB＝60°．（1）求证：AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（3）求二面角P－BD－A的正切值．2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（一）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°．故选D．2．【答案】C【解析】1．直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，A错；2．l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，D错；3．l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C．3．【答案】C【解析】直线l不平行于平面α，可能直线l在平面α内，此时，在平面α内存在与l平行的直线．故选C．4．【答案】A【解析】因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α，所以l∥m．又因为，所以l∥β，即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③．故选A．5．【答案】B【解析】因为已知两条不相交的空间直线a和b．所以可以在直线a上任取一点A，则．过A作直线c∥b，则过a，c必存在平面α且使得a⊂α，b∥α．6．【答案】B【解析】如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．【答案】C【解析】显然AB与平面α相交，且交点是AB中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF⊂α，，∴BC∥α．同理，AD∥α，∴在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条，故选C．8．【答案】B【解析】由题意知三棱锥A1－ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1＝a，棱柱的高A1O＝＝＝a（即点B1到底面ABC的距离），故AB1与底面ABC所成角的正弦值为＝．故选B．9．【答案】C【解析】如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°，知A′C＝．∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC＝1，MC＝MA＝，∴MC2＋MA2＝AC2，∴∠CMA＝90°，故选C．10．【答案】D【解析】由勾股定理得．又，∴．由已知得sinθ＝，sinφ＝，而，∴，又θ，φ，∴．故选D．11．【答案】C【解析】应用验证法：选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故选C．12．【答案】D【解析】由平面图形易知∠BDC＝90°．∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD．∴CD⊥AB．又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC．又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC．故选D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】[30°，90°]【解析】直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°．14．【答案】90°【解析】因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN．又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°．15．【答案】DM⊥PC（或BM⊥PC）【解析】连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD．16．【答案】①②③⑤【解析】设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT＝2PQ⇒DT＝2CQ．对于①，当时，则，所以截面S为四边形，且S为梯形，所以为真．对于②，当CQ＝时，DT＝1，T与D重合，截面S为四边形APQD1，所以AP＝D1Q，截面为等腰梯形，所以为真．对于③，当CQ＝，QC1＝，DT＝，D1T＝，利用三角形相似解得，C1R1＝，所以为真．对于④，当时，，截面S与线段A1D1，D1C1相交，所以四边形S为五边形，所以为假．对于⑤，当CQ＝1时，Q与C1重合，截面S与线段A1D1相交于中点G，即即为菱形APC1G，对角线长度为和，S的面积为，所以为真，综上，选①②③⑤．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）在△PAC中，D、E分别为PC、AC中点，则PA∥DE，PA面DEF，DE⊂面DEF，因此PA∥面DEF．（2）△DEF中，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4，DF＝5，∴DF2＝DE2＋EF2，∴DE⊥EF，又PA⊥AC，∴DE⊥AC．∴DE⊥面ABC，∴面BDE⊥面ABC．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【解析】（1）证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC．又∵C1C⊥AC．∴AC⊥平面BCC1B1．∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1．（2）证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1．∵DE⊂平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（3）解：∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角．在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝，∴．∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．理由如下：由于直线l不在平面A1BC内，l∥BC，故直线l与平面A1BC平行．在△ABC中，∵AB＝AC，D是线段AC的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．又∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥l．而AA1∩AD＝A，∴直线l⊥平面ADD1A1．（2）过点D作DE⊥AC于点E．∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，则易得DE⊥平面AA1C1C．在Rt△ACD中，∵AC＝2，∠CAD＝60°，∴AD＝AC·cos60°＝1，∴DE＝AD·sin60°＝．∴S△QA1C1＝·A1C1·AA1＝×2×1＝1，∴三棱锥A1－QC1D的体积．20．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：如下图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5．又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE．∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（2）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF．由（1）CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE．于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意，知∠PBA＝∠BPF，因为，，所以PA＝BF．由∠DAB＝∠ABC＝90°，知AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3．于是AG＝2．在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以，．于是PA＝BF＝．又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝．21．【答案】（1）；（2）见解析，．【解析】（1）在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°⇒S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×1×2×sin60°＝．又∵PA⊥面ABC，∴PA是三棱锥P－ABC的高，∴．（2）过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于M，则⇒⇒⇒AC⊥BM，此时M即为所找点，在△ABN中，易知AN＝⇒＝⇒＝⇒＝．22．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝，∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB．（2）∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角．在△PAB中，由余弦定理得PB＝．由（1）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，则△PBC是直角三角形，故tan∠PCB＝＝．∴异面直线PC与AD所成的角的正切值为．（3）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE．∵AD⊥平面PAB，PH⊂平面ABCD，∴AD⊥PH．又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD．又∵PH⊂平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD．又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，∴BD⊥平面PHE．而PE⊂平面PHE，∴BD⊥PE，故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．由题设可得，PH＝PA·sin60°＝，AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，BD＝，HE＝·BH＝．∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝＝．∴二面角P－BD－A的正切值为．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号_1595766861.unknown_1595767050.unknown_1595767120.unknown_1595767121.unknown_1595767208.unknown_1595767247.unknown_1595767492.unknown_1595767500.unknown_1595767571.unknown