青岛版五四制五
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数学下册《完美的图形——圆》知识点汇总一 完美的图形——圆一、圆的定义感知圆的特征:以前学过长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等,都是由线段围成的平面图形,而圆是由曲线围成的一种平面图形。二、圆的各部分名称1.圆心:用圆规画出圆以后,针尖固定的一点就是圆心,通常用字母O表示。2.半径:连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径,一般用字母r表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。3.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径,一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。三、圆的主要特征1.在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有的半径都相等,所有的直径都相等。2.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的。用字母表示为d=2r或r=。3.如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。圆是轴对称图形且有无数条对称轴。4.画圆的方法:(1)用手指画圆。以大拇指为圆心,以食指与大拇指之间的距离为半径,旋转一周所形成的图形就是圆。(2)用线绳、图钉和笔画圆。用图钉固定线绳的一端作圆心,将笔系在线绳的另一端,拉直绳子作半径,旋转线绳一周所形成的图形就是圆。(3)用圆规画圆。将圆规的一个针脚固定在本上作圆心,用圆规两脚间的距离作半径,旋转圆规一周所形成的图形就是圆。(4)用物体的圆形面画圆。按住物体的圆形面,用笔在物体的圆形面的圆周上画一圈,所形成的图形就是一个圆。四、圆的周长的认识1.围成圆的曲线的长叫作圆的周长。2.圆的周长与圆的直径有关,圆的直径越长,圆的周长就越大。五、圆周率的意义及圆的周长
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1.圆周率实验:在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度线对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。2.发现一般规律,就是圆的周长比它的直径的3倍多一些。3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫作圆周率。用字母π(pài)表示。4.一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时,一般取π≈3.14。5.圆的周长公式:C=πd→d=C÷π或C=2πr→r=C÷2π。6.区分圆周长的一半和半圆的周长:(1)圆周长的一半:等于圆的周长÷2。计算方法:2πr÷2,即πr。(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法:πr+2r,即5.14r。7.正方形里最大的圆与正方形的关系。两者联系:正方形的边长=圆的直径,圆的面积=78.5%×正方形的面积。8.在长方形或正方形内画最大圆的方法。(1)在正方形里画最大的圆。①画出正方形的两条对角线;②以对角线的交点为圆心,以边长为直径画圆。(2)长方形里最大的圆。两者联系:宽=直径画法:①画出长方形的两条对角线;②以对角线的交点为圆心,以宽为直径画圆。五、常用的3.14的倍数3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.563.14×5=15.73.14×6=18.843.14×7=21.98 3.14×8=25.123.14×9=28.263.14×12=37.683.14×14=43.96 3.14×16=50.24 3.14×18=56.52 3.14×24=75.36 3.14×25=78.53.14×36=113.043.14×49=153.86 3.14×64=200.96 3.14×81=254.34六、圆的面积公式把圆拼成近似的长方形,只是形状改变了,图形的大小并没有发生变化,因此圆的面积=拼成的近似长方形的面积。圆的面积推导:圆可以切拼成近似的长方形,长方形的面积与圆的面积相等(即S长方形=S圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=C÷2=πr)。S长方形=a×bS圆=πr×r=πr2所以,S圆=πr2。七、圆环的意义及面积的计算1.圆环的意义:以同一点为圆心,半径不相等的两个圆组成的图形,两圆之间的部分就是圆环。2.圆环中半径较大的圆叫作外圆,半径较小的圆叫作内圆。外圆半径与内圆半径的差叫作环宽,两圆中间部分的大小叫作圆环的面积。3.外圆的半径=内圆半径+1个环宽;外圆的直径=内圆直径+2个环宽。4.求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积,还可以利用乘法分配律进行简便计算。S圆环=S外圆-S内圆=πR2-πr2=π(R2-r2)。5.几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长(如图)。八、扇形的认识1.扇形是由“一条弧”和“经过这条弧两端的两条半径”所围成的图形。扇形是所在圆上的一部分,∠AOB是圆心角;扇形是由两条半径和圆上一段曲线围成的。2.扇形与三角形的区别。扇形是由两条半径和一条弧围成的图形;三角形是由三条线段围成的图形。尽管有的图形的两条边也是圆的半径,但是第三条边不是弧,而是线段,这样的图形不能称为扇形,它是三角形。弧是圆的一部分,是曲线,而线段是直线的一部分。圆与其他平面图形不同,圆是由曲线围成的。直径和半径的关系只能在同圆和等圆中。用字母表示:d=2r。不能说直径是圆的对称轴。因为对称轴是一条直线。圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。半径越大,画出的圆越大。我们通常选用圆规画圆,既便捷又准确。世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人是我国的数学家祖冲之。在判断时,圆的周长与它的直径的比值是π,而不是3.14。在长方形或正方形内画最大圆,关键是以对角线的交点为圆心,以正方形的边长或长方形的宽为直径。记忆常用3.14的倍数,可以使平时的计算快捷、正确。注意:切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。C长方形=2πr+2r=C圆+d。周长相等的平面图形中,圆的面积最大;面积相等的平面图形中,圆的周长最短。要求圆的面积,只要知道圆的半径或者圆半径的平方即可。几个直径和为n的圆的面积<直径为n的圆的面积。圆环的意义:两个同心圆形成一个圆环。设小圆和大圆(或内圆和外圆)的半径分别为r和R。(R﹥r)同样大小的外圆,内圆越小,圆环的面积越大。半圆环的面积=它所在的圆环面积的一半。单独一个圆,半径(直径)越大,周长就越大,面积也越大;如果两个圆的半径相等,那么它们的周长就相等,面积也相等。在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角大的扇形大,圆心角小的扇形小。在同圆或等圆中,圆心角越大,扇形越大;反之,圆心角越小,扇形就越小。
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