3.(2019·北京改编)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B等于A.{x|－1<x<1} B.{x|1<x<2}C.{x|x>－1} D.{x|x>1}12345解析 将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示.√由图可得A∪B＝{x|x>－1}.123455.(2016·上海)设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析 a>1⇒a2>1，a2>1⇒a>1或a<－1，所以“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件.√3真题体验PARTTHREE一、集合的概念与运算1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.2.掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养.例1 (1)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于A.3 B.2C.2或3 D.0或2或3解析 当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝∅，满足B⊆A；√解得m＝3或m＝2.(2)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}.①若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；解 ∵A＝{x|0≤x≤2}，∴∁RA＝{x|x<0或x>2}.∵(∁RA)∪B＝R，∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}.②是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？解 由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾.即这样的a不存在.集合基本运算的关注点(1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决.(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.反思感悟√√(2)已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为A.0B.1C.2D.3√因此M∩N中的元素个数为2.二、充分条件与必要条件1.若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件.2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养.例2 (1)设x∈R，则“x>3或x<0”是“x>4”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件√解析 由x>3或x<0，推不出x>4，但当x>4时，不等式x>3或x<0成立.(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}.q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}.且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.解 ∵q是p的充分不必要条件，∴BA，充要条件的常用判断方法(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假.(2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件.反思感悟跟踪训练2 (1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件√解析 |x－2|<1⇔1<x<3，由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的充分不必要条件.(2)若－a<x<－1成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________.a>2解析 根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有{x|－2<x<－1}{x|－a<x<－1}，所以－a<－2，解得a>2.三、全称量词命题与存在量词命题1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题.首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定.2.通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养.例3 (1)命题：“∀x∈R，x2≠x”的否定是A.∀x∉R，x2≠x B.∀x∈R，x2≠xC.∃x∉R，x2≠x D.∃x∈R，x2＝x解析 先将“∀”改为“∃”，再否定结论，可得命题的否定为∃x∈R，x2＝x.√(2)设命题p：∀x∈R，ax2＋x＋2>0，若綈p为假命题，则实数a的取值范围是________.解析 因为綈p为假命题，所以命题p是真命题，全称量词命题与存在量词命题问题的关注点(1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论.(2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决.反思感悟跟踪训练3 (1)命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是____________________________________________.解析 把“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定.所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0(2)命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立.若命题p为真命题，求实数a的取值范围.解 当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根，得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.综上可得a≥－1，即实数a的取值范围是{a|a≥－1}.123451.(2019·全国Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA等于A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}√解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁UA＝{1,6,7}.又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁UA＝{6,7}.
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