第一章 1.4.2 充要条件

3.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件12345678910111213141516√解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件.学习目标XUEXIMUBIAO1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 .3.能对充要条件进行证明.12345678910111213141516解析　由两三角形对应角相等⇏△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.6.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的___________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)必要不充分1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有_，又有，就记作，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为条件.2.如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为条件.知识点　充要条件p⇒qq⇒pp⇔q充要充要思考1　若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.思考2　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？答案　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.12345678910111213141516由p是q的充分不必要条件，可知AB，11.“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件综合运用12345678910111213141516√解析　函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2－4a<0，解得0<a<1，由集合的包含关系可知选A.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件12345678910111213141516√由x2<1，得－1<x<1，不能推出0<x<1.13.已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_______________.12345678910111213141516解析　因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.m≤－7或m≥11234567891011121314151614.已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________.解析　α：x≥a，可`看作集合A＝{x|x≥a}.∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}.又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.{a|a≤0}15.设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.拓广探究123456789101112131415163或4又m∈N*，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根.1234567891011121314151616.已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由.判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.反思感悟跟踪训练1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).(1)p：x2>0，q：x>0；解　p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件.(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；解　p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件.(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；解　p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件.(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.解　∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件.例2　设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.二、充要条件的证明证明　必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c).∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.反思感悟跟踪训练2　求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.三、充要条件的应用例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}.延伸探究1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是m≥9.2.本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).故不存在实数m，使得p是q的充要条件.应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.反思感悟解　设A＝{x|3a<x<a，a<0}，B＝{x|x<－4或x≥－2}.因为p是q的充分不必要条件，所以AB，∴a≤－4或3a≥－2，跟踪训练3　已知当a<0时，设p：3a<x<a，q：x<－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.1.“x>0”是“x≠0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件12345√解析　由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立.因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件.课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)充要条件概念的理解.(2)充要条件的证明.(3)充要条件的应用.2.方法归纳：等价转化.3.常见误区：条件和结论辨别不清.1.“1<x<2”是“x≤2”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件基础巩固12345678910111213141516√解析　设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，AB.故“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条件.12345678910111213141516解　“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.