到达时间间隔与到达时刻的分布

到达时间间隔与到达时刻的分布定理2.2.1 到达时间间隔序列相互独立同分布的，且服从参数为的指数分布. 这个命题应是在意料之中的. 事实上，泊松分布定义中的平稳独立增量的假定等于说在概率意义上过程是在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（独立增量），且与原过程有完全同样的分布（平稳性），也就是通常讲的无后效性. 证明 1）求的分布. 由于表示第一次事件发生之前所需的时间，故表示在时间段内事件还未出现，所以即 . 2）求的分布. 由平稳增量性，在时间区间内事件发生的次数与 ...

定理2.2.1 到达时间间隔序列相互独立同分布的，且服从参数为的指数分布. 这个命题应是在意料之中的. 事实上，泊松分布定义中的平稳独立增量的假定等于说在概率意义上过程是在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（独立增量），且与原过程有完全同样的分布（平稳性），也就是通常讲的无后效性. 证明 1）求的分布. 由于表示第一次事件发生之前所需的时间，故表示在时间段内事件还未出现，所以即 . 2）求的分布. 由平稳增量性，在时间区间内事件发生的次数与无关，而只与时间间隔的长度有关，即由全概率公式，即且与独立. 3）求的分布.对于，有即，且相互独立.于是结论成立. □ 注意，定理2.2.1的逆命题也成立. 先研究到达时刻的分布，之后再来讨论这个问题. 定理2.2.2 到达时刻服从参数为的Gamma分布. 证明由定理2.2.1，相互独立且的特征函数是于是，的特征函数是而分布的特征函数为，定理2.2.3 若计数过程的到达时间间隔序列是相互独立同参数为的指数分布，则是参数为的泊松过程. 证明由指数分布的无记忆性知, 过程具有平稳独立增量.于是只要证明 . 注意到服从参数为的Gamma分布，且所以令并由分部积分法得。 □ 由以上的结论可以看出，泊松分布和指数分布存在着紧密的联系，有人将定理2.2.1与定理2.2.3合起来作为泊松过程的定义，这种定义方法适宜于往更新过程乃至随机游动作进一步的推广；此外，这种定义实际上有助于读者理解泊松过程的无后效性并提供了模拟它的好方法，后面对此进行讨论. 例2.2.1 放射性物质在衰减过程平均每分钟放射出4个光子，用表示在观测时间区间内放射出光子的数目，且是泊松过程. 设计数器对检测到的光子只是每隔一个记录一次，令T是两个相继被记录的光子之间的时间间隔（以分钟为单位），求T的概率密度函数. 解由题意，，故是参数的泊松过程。设表示第个与第个被记录的光子之间的时间间隔，且从放射出的第2个光子开始记录，显然，由定理2.2.1知，独立同指数分布，于是也是独立同分布的. 所以只要求出的分布，即为T的分布.注意到 {在至多到达一个光子}，故所以T的分布函数为概率密度函数为 .

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