高二数学向量数量积的坐标运算与度量公式1（可编辑）
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度
量公式向量数量积的坐标运算及度量公式掌握数量积的坐标表达式,
会进行平面数量积的坐标运
算能运用数量积表示两个向量
的夹角,会用数量积的坐标
表达式判断两个平面向量的
垂直关系一、复习练习:
。
若 | a |2,| b |1, a与 b夹角为 60 , 1、
ab| a || b | cos(其中 ?是 a与 b的夹角) 则 ab ?( 1 )
ab
若 ab2, | a |1, | b |2, cos?
2、
| a || b |
。
则 a与 b夹角为( )
45
3、若 a与 b垂直,则 ab ?( )
0
abab0;
2
若 | a |2,则 aa ?( );
4、 4
aa| a |
若 aa9,则 | a | ?( )。
3
| a |aa5、
若 i, j分别为与 x轴、 y轴方向
相同的两个单位向量 ,则 ii ; jj ; 1
1
ijji ;
0 提出问题向量的加法、减法、数乘都可以用 “坐标语 言 ”表示,向量的数量积能否用 “坐标语言 ” 表示呢?探究练习:若两非零向 量 ax iy j , 1 1?
bx iy j ,则 ab2 2
也就是: abx xy y
1 2 1 2由于 ax iy j
a ?( x, y)1 1
1 1bx iy jb ?( x , y ) 2 2
2 2
从 abx xy y 得到:
1 2 1 2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和。例1、已知 a ?1,2, b1,1, 1
则 ab ?2、向量的模和两点间的距离公式 2
1 aaa 或 aaa ;
1向量的模
2
2 2 2 2
设 a x, y,则 axy ,或 axy ;
(2)两点间的距离公式
设 A( x , y 、 B x , y ,则 A B ?( xx, yy)
1 1 2 2 2 1 2 1
2 2
那么 A B( xx ?( yy 2 1 2 1例2、?
1已知 a ?(3, 4)、 b ?(5, 2),?
求 | a |, | b |。
2已知点 A(3, 4)、 B(5, 2), 试用向量的方法求出 A、 B两点
间的距离。3、两向量夹角公式的坐标运算? 设非零向量 a ?(x , y , b ? x , y ,
1 1 2 2且 a与 b夹角为 ?, 0180 ? ab
则cosa b
x xy y
1 2 1 2cos?
2 2 2 2
xyxy
1 1 2 2
例3、设 a 3,-1, b 1,-2求 ab 及 a、 b间的夹角θ?
解:
abx xy y?
1 2 1 2
ab3 ?1 ?( ?1) (? 2)5 x xy y
1 2 1 2
cos?
2 2 2 2
xyxy
1 1 2 2
5
cos?
2 2 2 2
3 ?11 ?2
22变式训练1
已知 A1, 0,B3, 1,C2, 0,?
则 B C与 C A 的夹角是多少?3、两向量垂直的坐标表示
垂直
。
abab 90
x xy y
1 2 1 2
ab0
cos?
abab0
2 2 2 2
xyxy1 1 2 2
设 a ?( x , y , 1 1
?0设 a ?( x , y , b x , y ,则
1 1 2 2
b x , y ,则
2 2 x xy y0
abx xy y0
1 2 1 2
1 2 1 2
abx xy y0
1 2 1 2 例4(P113例2)已知A1,2,B2,3,
C-2,5,试判断 ?ABC的形状,并给出证 明.
证:
如右图,在平面坐标系标
y
出A,B,C三点,猜想
C-2,5
?ABC为直角三角形。A B2 ?1,3 ?21,1
B2,3
A C ?2 ?1,5 ?2 ?3,3 A1,2A BA C ?1 ? ?3 ?1 ?30A BA C
x
0
?三角形 A B C是直角三角形 .变式训练2
思考: 在? ABC中, A B 2, 3,
A C 1, k,且 ?A为直角,求 k值.
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