【doc】双调和方程解的能量衰减估计

【doc】双调和方程解的能量衰减估计 双调和方程解的能量衰减估计 第27卷第3期长春工业大学(自然科学版)Vo1.27?No.3 2006年9月JournalofChangchunUniversityofTech0n0logy(Natuice!: 文章编号:1006—2939(2006)03—0244—03 双调和方程解的能量衰减估计 栾文云, (青岛理工大学理学院, 阙成龙 山东青岛266033) 摘要:对半无限带状区域上双调和方程边值问题建立了能量衰减估计.证明了以方程的解建立的加权能量 随着与区域有限端距离的增长,该能量呈)满足与(2)相同的条件,则: h dz?(导)71.4Jo’dz.(7) 2能量衰减估计 设(z.,zz)是边值问题式(1),式(4)的解, 定义加权能量积分: E(z):』:J.心(一z)(伫..+klVi,r?-li,rd.xz+kzT,iT,i) (8) 则 (z)=一l..dA(9) (z)=I...dx2(10)JL. 下面推导关于E(z)的微分不等式,由式(2) 收稿日期:2006—04—22 作者简介:栾文云(1976一).女.山东日照人,青岛理工大学助教.理学 硕士,主要从事偏微分方程研究 第3期栾文云.等;双词和方程解的能量衰减估计245 , 式(4),反复运用分部积分得: 『Rf(一z)dA一 一 IR.{(—z).)..adA一 一 dA一一.adA一 : +一.柙.adA— 119o9,odx24-IRg.~mgdA+ I(一z)9,dA—JR 一 1I9,o9,.一脚.一 --一 丢+一119,一 -一 J-..dx2--J-;9,119d.czc 由Holder不等式及wirtinger不等式知 .. dx2--』9,119d.cz? 轧计h2『L 孔z+zzz (12) 为了得到需要的微分不等式,注意到式(10) 中的定义及式(12)中右端各项的系数,令e一 ,财有: E(z)?筹(z)(13) 即 (一~2,r/ddE+-T-E. 亦即 dz(e卑(誓+争) 将式(14)两端从z到+?上积分,得 一 晕(+簪. 得到 (e一E(z)<0 两端从0到z积分,得 E(z)?E(O)P一皋(15) 上式表明,该能量函数随着z的增大而呈指 数式衰减,必须要保证E(0)的有界性. 3全能量E(0)的有界性 证明E(O)可由已知边界条件所界定,首先证 明一(O)一j.,币dA可由已知函数所界定, 再证明E(O)可由一(O)和已知函数所界定,从 而达到保证E(O)有界的目的. 为此构造一个辅助函数(,Xz). V/(xl,z2)一(,(z2)+z1g(x2)+z1,(2))g一l (16) 则(.,X)是一个光滑的函数,且满足与相同 的边值条件. “/4x)一+/)一(g++]+ ?[(+/).+2(+/).+(g+.]dx2一 ?J:(5/2+.)+1Jh+4/g”.(/.+.)+?J.(5/2+.)+J.(/.+.)+ ?g2+4fg”+f)dx~(21) 由于上式中f(xz),g(x)均为已知函数,因 而一(O)有显示上界. 下面证E(O)可由一(O),及其导数(均为 已知函数)的积分所界定.由式(10)及式(17), (19)知: 246长春工业大学(自然科学版)第27卷 E(o)一I印.币.币dA— J.z—J.-州z2一JLoJL0 JL0.a.adzz—JL0?dzz(22)JLoJLo 对凡能用一(O),及其导数等已知函数 表示的积分均用”data”表示,注意到..为已知函 数,因而在式(22)中只须估计最后一个积分. ?一J-L..--州.zz—J-L..zzdzz一 一一 (?),1dA— R (?)....dA一 ?....dA— R ?....dA— R I?....dA:JR I?.1dA:JR J1+J2(23) 反复运用分部积分及边界条件,得: J1一J,.?..dA=JR I.m..dA— l(.m)..dA— JR J-.抛dA+J-.加..dA= 一 I.(..).,dA—JR — I..盯dA—I.口l..dA?JRJR. 扎dA+.dA+ 扎dA+扎dA? 扎dA+扎,dA一 1E,(O)+if..,.dA一 -- E’(0)+专J-,酊.dA+ 丢J-2dA—data(24) 应用算术平均不等式和不等式 I?I?2(1+程2)?2.. 得到 J2=一I?.1dA?JR 扎I?IdA+dA? 币dA+dA= 一 E,(o)+丢J-.dA(25) 注意到.-为已知函数和一E,(O)的有界性, 结合式(22),式(25)知E(O)右显示卜界 参考文献: [11 [2] 1,31 HorganCO.Decayestimatesforthebiharmonice— quationwithapplicationtOSaint-Venant’Sprinciple inplaneelasticityandstokesflowsl’J1.Quart.Ap- pl-Math.,1999,47:147-157. KnowlesJK.Anenergyestimatesforthebihar— monicequationanditsapplicationtOSaint-VenantS principleinplaneelasticityl,J].IndianJ.pureAp- pl-Math.,1993,14:791-805. AmesKA,PayneLE,SchaeferPW.Spatialde— cayestimatesintimedependmentstokesflow[J]. SIAM.J.Math.Ana1.,1993,24:1395—1413. Energy.decayestimatesforthesolutionofbiharmonicequation LUANWen—yun, (CollegeofScience,QingdaoTechnology QUECheng—long University,Qingdao266033,China) Abstract:Withthesolutionsofthebiharmonicequationatboundaryva1ueina semi— infinitestripe,a weightedenergyfunctionisestablished.Anexponentialdecayestimationint ermsofthedistancefrom thefiniteendofthestripeisobtainedfrom Keywords:biharmonicequation;weighted flsecondorderdifferentialinequality. energyfunctional;decayestimates. 2z d ,??J一 ,??Jr????,??Jr??J