[最新]多项式的除法

[最新]多项式的除法[最新]多项式的除法多项式的除法 1( 带余除法定理1 (带余除法定理)设与是多项式，且，那么存在惟一的一对多fxgxgx,0，，，，，，项式与，使得 qxrx，，，， ? fxgxqxrx,，，，，，，，，，其中或者。叫做以除所得的商，叫做余式。rx,0degdegrxgx,qxgxfxrx，，，，，，，，，，，，，，定义1:在?式中，当时，称整除，记为|，也称是rx,0gxfxgxfxgxfx，，，，，，，，，，，，，，的因式，或fx是gx的倍式。若rx,0，则称gx不整除fx。，，，，，，，，，...

[最新]多项式的除法多项式的除法 1( 带余除法定理1 (带余除法定理)设与是多项式，且，那么存在惟一的一对多fxgxgx,0，，，，，，项式与，使得 qxrx，，，， ? fxgxqxrx,，，，，，，，，，其中或者。叫做以除所得的商，叫做余式。rx,0degdegrxgx,qxgxfxrx，，，，，，，，，，，，，，定义1:在?式中，当时，称整除，记为|，也称是rx,0gxfxgxfxgxfx，，，，，，，，，，，，，，的因式，或fx是gx的倍式。若rx,0，则称gx不整除fx。，，，，，，，，，，定理2 (余数定理)多项式fx除以所得余数为fa。 xa,，，，， xa,推论1 |fxfa, ，，，，，，，， bfxZx,ab,推论2 若,与是不同的整数,则|fafb,.a，，，，，，，，,,，，由余数定理还可以得到以下重要定理: fxfa,0定理3 (因式定理)多项式有因式的充要条件是. xa,，，，，多项式整除的基本性质: gxgxfxhxfxhx(1) 若|,|,则| ，，，，，，，，，，，， gxhxfxhxhxfxgx,，，(2) 若|,|,则| ，，，，，，，，，，，，，，，， gxhxfxhxfxgx,(3) 若|,则|,为任意多项式. ，，，，，，，，，，，， gxgxfxfxfxcgx,,(4) 若|,|,则,其中c是不等于零的常数.，，，，，，，，，，，， 2( 多项式的分解 ,fx,fx,,,定义2:一个次数大于零的多项式,如果在数域内除形如和(为非零数)F，，，， fxfxfx的因式(称为的平凡因式)外,无其它因式,则称在内不可约.若在内除FF，，，，，，平凡因式外,还有其它因式,则称在内可约. fxF，，不可约多项式的一些重要性质: (1) 如果多项式不可约,而是任一多项式,那么,或者,或者pxfxpxfx,1,，，，，，，，，，， |. pxfx，，，， (2) 如果多项式与的乘积能被不可约多项式整除,那么与中至少fxgxpxfxgx，，，，，，，，，，有一个被整除. px，，定理4 数域上的次数大于零的多项式,如果不计零次因式的差异,那么可以fxfxF，，，，惟一地分解为以下形式: kkkt12 ? fxapxpxpx,？，，，，，，，，12t 其中是fx的最高次项的系数,pxpxpx,,？是首项系数为1的互不相等的不可a，，，，，，，，12t 约多项式,并且pxit,1,2,,？是fx的重因式. k，，，，，，ii C是指,或,或. 【注】其中数域QFR 关于整系数多项式的分解问题. mjaaaa,,,,1？,定义3:设整系数多项式fxax,各项系数的最大公约数等于1,即;，，，，,012mjj,0 fx则称为本原多项式. ，， gxfxhxhxfxgx,,引理设,和都是整系数多项式并且,如果质数整除p，，，，，，，，，，，， gxhxfx多项式的所有系数,那么至少有与这两个多项式之一,其所有的系数也都能，，，，，，被整除. p 推论本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式. fx定理5 如果整系数多项式在有理系数范围内可约,那么,它在整系数范围内也可约.，， fx以上论断的等价陈述是:如果整系数多项式在整系数范围内不可约,那么它在有理数范，，围内也不可约. 3( 最大公因式 gxdxdxgxfxfx定义4:如果两个多项式与同时被整除,那么叫做与的公因，，，，，，，，，，，， dxfxgxfxgxdx式.如果是与的公因式,并且与的所有公因式都整除,则，，，，，，，，，，，，叫做与的最大公因式. dxfxgx，，，，，，【注】两个不全为零的多项式的最大公因式是不唯一的,它们之间只有常数因子的差异.这时,我们约定,最大公因式是指首项系数为1的那一个,这样,两个多项式与的最大公fxgx，，，，因式就是惟一的,记为. fxgx,，，，，，，两个多项式的最大公因式,有以下重要定理: 定理6 设多项式与的最大公因式为,那么存在多项式与,使以下gxdxfxuxvx，，，，，，，，，，等式成立: ? fxuxgxvxdx，,，，，，，，，，，，定义5:如果两个多项式除零次多项式外无其他的公因式,那么就称这两个多项式互素. 显然,fx与gx互素. ,,fxgx,1，，，，，，，，，，定理7 两个多项式fx与gx互素的充要条件是,存在多项式ux与vx,使，，，，，，，， fxuxgxvx，,1 ? ，，，，，，，，互素多项式的一些重要性质: (1) 若fxhxgxhx,1,,1,,fxgxhx,,,1,则，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， gxhxfxgxhxhxfx,1,(2) 若|,,则|. ，，，，，，，，，，，，，，，， gxfxhxfxgxhxfxgxhx,1,(3) 若|,|,,则|. ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，针对性训练 2219861. 求除以所得的余式. x,1xxx，，，11，，，， 32解: ？xxxx,,,，，111，，，， 23 | ？，，xx1x,1，，，， 662198633？xxxpx,,,,,111又，，，，，， 31986 | ？,x1x,1，，，， 21986 | ？，，xx1x,1，，，， 2221986abR,,x,1由此可知, 除以所得余式.这里,xxx，，，11rxxxaxb,，，，1，，，，，，，，，， 1986222于是xxxxgxxxaxb,,，，，，，，，1111 ，，，，，，，，，， ,,,，2abi令,得,,，，20iaib,即. xi,，， ab,,2,0得. 比较两端的实部和虚部, 2rxxxx,，，21故所求余式为. ，，，， 32bdcd，fx2. 设多项式,并且是奇数,证明:不能分解为两fxxbxcxdZx,，，，,，，，，,,个整系数多项式的乘积. bc，dbdcdbcd，,，fbcd11,，，，证明:因为是奇数,所以与均为奇数,从而是奇数.，，，， 2fxxpxqxrpqrZ,，，，,,,假设，，，，，，，，

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