§3.4 薛定谔方程
一、薛定谔方程的建立
1．自由粒子的薛定谔方程
自由粒子的波函数:
(1)
对x、y、z分别求二次偏导：
三者相加：
拉普拉斯算符：
(2)
对t求一次偏导：
(3)
自由粒子，
(4)
由(3)(4)式:
(5)
(2)式代入(5)得:
――自由粒子的薛定谔方程。 (6)
2．一般粒子的薛定谔方程
一般粒子常受到力场的约束，用
表示力场，则粒子在力场中受到的力为：
，假设处于这种力场中的微观粒子的波函数为
，假设
仍满足方程：
但此时
(7)
即一个质量为m动量为p,在势场V中运动的非相对论粒子的能量:动能(
)+势能(V).
则有：
(8)
――处在以势能
表征的力场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程。
如果已知
和微观粒子的初始条件
，原则上，可以求出粒子在任何时刻t的状态
。可见，薛定谔方程在量子力学中的地位相当于经典力学中的牛顿第二定律。
二、定态薛定谔方程
能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能
中不显含时间t，将其代入方程：
(9)
则(9)式的解可以表达为坐标的函数和时间的函数的乘积,即波函数可分离变量：
E为一常数(要相等必等于常数)
定态薛定谔方程 (10)
其中：
为哈密顿算符
(在经典力学中,能量以动量和坐标表示的式子:
称为哈密顿函数)
解出：
――定态波函数 (11)
与(1)式相比较,E就是能量:
1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量
2．定态中粒子的几率密度不随时间变化
, 发现粒子的几率密度也与时间无关
3．
定态薛定谔方程
4．态迭加原理
如果
、
是方程的解，那么它们的的线性组合
也是方程的解，
为任意常数。
即如果
、
是体系可能的状态，那么它们的的线性组合
也是体系一个可能的状态。
三、薛定谔方程的讨论
1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态
在势场
中随时间变化
的规律。
2．薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果相一致来得到证明。
3．具体的势场
决定粒子状态变化的情况，如果给出势能函数
的具体形式，只要我们知道了微观粒子初始时刻的状态
。原则上说，只要通过薛定谔方程，就可以求出任意时刻的状态
。
4．薛定谔方程中有虚数单位i，所以
一般是复数形式。
表示概率波，
是表示粒子在时刻t、在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态随时间变化的规律，是一种统计规律。
5．在薛定谔方程的建立中，应用了
，所以是非相对论的结果；同时方程不适合一切
的粒子，这是方程的局限性。
(
)
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