关于矩阵群逆的逆序律

关于矩阵群逆的逆序律 刘玉 ( )韩山师范学院, 广东 潮州 521041 # # # #摘要: 得到了体上两个 阶方阵的群逆若存在, 则其乘积的群逆 () 也存在, 且 () n A , B A , B A B A B - 1 # # B A ) = (P d iag A , A ,, A P , B =成立的充分与必要条件是: 存在 n 阶可逆矩 阵 P 使 得 A = 12 s - 1 ) ( () 1, 2, P d iag B , B ,, B P 且对于任意 i i = , s有 A , B 阶数相同, A , B 为可逆矩阵或为 0 矩 12 si i ii 阵; 又对 0. i ? 1 有 A B = ii 关键词: 体; 矩阵; 群逆; 逆序律 ( ) 关于矩阵各种广义逆的逆序律的研究已有很多 见 1 — 5 , 但是关于群逆的结果确 ( ) 仅有5 , 而 5 的结果又是在特殊的条件 秩 A = 秩 A B 之下才得到的, 因此不具有一般 性. 本文考虑体上矩阵群逆的逆序律成立的一般性充要条件, 所得结论既使对复矩阵来说 也是一个新的结果. () () 设 K上 n 阶矩阵的集合. 如果 A是一个体, M n K 为 K 则满足条件 ?M n K , A X A = A , X A X = X , A X = X A # 的矩阵 X 称为A 的群逆. 熟知, 如果 X () 存在, 则它是唯一的, 记为A 见 5 . 记 I n 为 n 阶单位矩阵. 6设引理 1 A B () ()M = ?M n K , A ?M r k 0 C # ## 则M 存在的充要条件是 A 及 C 存在, 且 秩M = 秩 A+ 秩 C ; 并此时有 # X A 2 2 # # # # # # # ), 其中, X =( ) ( A B C . = A A B C - M A B I - CC + I - # 0 C # C 0 C 0 # () () 引理 2设M =?M K , 其中 C ?M K , 则M = . n n- r # 3 B A A 证明 由引理 1, 并注意到: - 1 0 I I 0 n- rn- rA B C O = I r 0 C B A 0 I 0 r - 1 ## - 1 () 及 X Y X = X Y X , 容易看出本引理成立. 6 引理 3设 A B () () M = ?M n K , 其中 A ?M r K , 0 0 2 # # A B A # ## () 则M 存在当且仅当 A 存在且秩 A = 秩 A B , 且M = . 0 0 ##() () () 定理 设 A , B?M K , 且 A 及 B 存在, 则下列叙述 1与 2等价. n # # # # ) () ) (1A B 存在且 A B = B A ; ) 使得,2存在 n 阶可逆矩阵 P , A 1 B 1 A B 2 2- 1- 1 A = P P ;B = P P ω ω A B ss ) ( s有A i , B i 阶数相同, A i 可逆或为 0 矩阵, B i 可逆或为 0 矩阵; , 且对于任意 i i = 1, 2, 又对 i ? 1 有 A B = 0.ii 证明 注意到, 若 A , B 均可逆, 或A , B 均为零矩阵, 则结论自然成立. 现假定 0 < 秩A < n , 对于 0 < 秩 B < n 的情形类似可证. # - 1 () ( ) ( ) () A . 21, ] 因为对可逆矩阵 A , 有 A = i i 由 A , B 在 2中的形式不难验证 1成 i 立. #() () 存在, 不妨设, 存在可逆矩阵 P 使得,1] 2, 由 A 1 B 1 B 20 D - 1 - 1 A = P B = P P ;?11 1P 1 0 0 B B 3 4 () 由此可得其中 D , B 1 ?M r K , 0 < r < n , D 可逆. D B D B 1 2- 1 A B = P 1P 1 0 0 # () 由 A B 存在, 再应用引理 3 可得, ## 2() ) (D B D B ]D B [ 1 1 2 #- 1 ) (A B = P P 1 10 0 # 又因为 B 存在, 可设 C C 1 2 - 1 # ()P , 其中 C ?M k B = 1 P 1 r 1 C C 3 4 # # # () 由 A B = B A 可得 ## 2- 1 ) (C C ) (D B 1 2 [ D B ]D B 1 D 0 1 2 = ? 0 C C 0 0 0 3 4 ##() () () () 由引理 3 又知 A B 存在, 从而有 X为 r ×存在Ζ 秩 D B = 秩 D B D B 及 D B 1 1 2 1 ) (n - r阵使得 D B 2 = D B 1X , 于是由 D 可逆得 B 2 = B 1X . # 2#2) (() 由?对比两端可知 [ D B ]D B = = 0. 再由群逆的定义0, 从而 D B D B X1 2 1 1 # 2 () () 易见 D B X = 0, 左乘 D B 于上式两端可得 D B X = 0, 从而B X= 0, 即 B =0. 由1 1 11 2 # B 存在, 注意?式及引理 2 可得, # 0 0 B C 11# # C = = , 且 C = B , B 1 4 41 B B C C 3 43 4 此时?式变为 # # - 1 ) 1 0 B (0 D 0 D B 1 = # 0 0 4 B C 30 0 - 1 # #() 从而 C D = 0, 于是有 C = 0. 再注意 B = 这样我们有0. B 可推出 B 3 = 33 B 0 1 D B 0 0 D 1- 1 - 1 - 1 A = P ,= P ,A B = P P 1 1 1 P P B 11 1 0 B 0 0 40 0 # # # # # - 1 () () 由 A B = B A 不难看出 D B = B D , 此时易见 D 及 B 1 符合5 之定理的一个 1 1 () 类似的条件, 由类似的证明及结论可知本定理结论 2成立. 参考文献: - - - ) (A B = B A [. , 1974, 9: 29—40. 1 , . Sh ino zak i N S ibuya M T h e reve r se o rde r law J L in A lg A pp l , . [. , 1979, 27: 9—16.2 Sh ino zak i N S ibuya M F u r th e r re su lt s o n th e reve r se o rdo r law J L in A lg A pp l , . [ . 3 P ie r ro A R D eW e i M R eve r se o rde r law fo r ref lex ive gene ra lized inve r se s o f p ro duc t s o f m a t r ice s J L in A lg , 1998, 277: 299—311.A pp l D D D . () [ . , 1999, 19:4 T ian H o ng jiangO n th e R eve r se O rde r law A B = B A J J o f M a th R e sea rch and E xpo sit io n 355—358. ( ) 5 , 2000,刘玉, 曹重光. 体上矩阵群逆的反序律[J . 高等学校计算 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 学报 中国第四届矩阵及应用国际会议专辑 9: 38—39. 6 曹重光. 体上分块矩阵群逆的某些结果[J . 黑龙江大学自然科学学报, 2001, 3: 5—7. Rever se order L aw on Group In ver se s of M a tr ice s L IU Y u (, Co llege o f M a th em a t ic s and Info rm a t io n T ech no lo gyH an sh an ) ′, 521041, T each e r sCo llegeC h ao zho u C h ina # # : A B A A bstrac tT h is p ap e r d raw s a co nc lu sio n th a t if th e g ro up inve r se and o f m a t r ixe sand # ) ( ′, .B w ith th e rank n ex ist in th e f ie ldth e ir p ro duc ts g ro up inve r se A B a lso ex ist s# # # () , = F u r th e rm o reth e suff ic ien t and nece ssa ry co nd it io n o f A B B A is th a t th e re is th e rank - 1 ) (, , = , ,)(and A s P B P d iag B 1 B 2 = , , , n reve r sib le m a t r ix P to m ak e A P d iag A 1 A 2 B s - 1 ( ) 2, , ,and m ak e A and B fo r a rb it ra ry i i = 1, s w ith th e sam e rank. A and B a re P i i i i . ?1, = 0 .reve r sib le m a t r ix o r ze ro m a t r ixIf ith e equa t io n A iB i m ay be se t Keywords: slew f ie ld; m a t r ix; g ro up inve r se s; reve r se o rde r law