[整理]三角形面积公式

[整理]三角形面积公式 三角形面积公式 三角形面积公式 1.已知三角形底a，高h，则 S,ah/2 2.已知三角形三边a,b,c，则 (海伦公式)(p=(a+b+c)/2) S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)] =sqrt[(1/2)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] =?2/2sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] 3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S,1/2 * absinC，即两夹边之积乘夹角的正弦值。 4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r 则三角形面积=(a+b+c)r/2 5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R 则三角形面积=abc/4R 6.S?=1/2 * | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | | a b 1 | | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC | e f 1 | 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小～ 7.海伦——秦九韶三角形中线面积公式: S=?[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长. 8.根据三角函数求面积: S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA 注:其中R为外切圆半径。 9.根据向量求面积: SΔ)= ½?(|AB|*|AC|)²-(AB*AC)² . 10.在直角坐标系中，三角形ABC面积为 S=|AB×AC|/2 即面积S等于向量AB与AC向量积的模的一半 扩展阅读: 1.根据正弦定理推出来的: 2.S三角形ABC=absinC/2 3.S三角形ABC=acsinB/2 4.S三角形ABC=bcsinA/2 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦,秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦 (Heron,也称海龙)二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表(未查证)。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得: S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注1:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以 S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=?[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 —————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明(1) 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*?(1-cos^2 C) =1/2*ab*?[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*?[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*?[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*?[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*?[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=?[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明(2) 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积,直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以?、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P,1时，? 2,q, S?=?{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 因式分解得 1/16[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得: S?=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦,秦九韶公式”。 S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a. 根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 : 已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积 这里用海伦公式的推广 S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边) 代入解得s=8? 3 推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有: 设?ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为?ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c)/2,则 S?ABC =1/2 aha =1/2 ab×sinC =1/2 r p = 2R2sinAsinBsinC = ?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中，S?ABC =?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。