jordan标准型在求解线性微分方程组的应用[资料]
Jordan标准型在求解线性微分方程组的应用
姓名:XX远 学号:20092426 班级:2009121 摘要:该应用在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan标准型这种最简化的结果来做
题
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。证明关于一般方阵(不能保证对角化)的某些命题,需要用到Jordan标准型,比如用Jordan标准型求解线性微分方程组。
关键字:Jordan标准型,线性微分方程组,特征值
矩阵内容,是大学学习中必须学习的知识点~其广泛的应用性,还有在处理数据上的优越性,矩阵是学习很多知识体系的支柱,在数据结构,自动控制原理,常微分计算等等上都是基础~
矩阵的对角化用处很大,因为对角化后,对矩阵加乘等等运算都可以简单很多,尤其在涉及特征值的方面~但是许多时候矩阵不能对角化。这时候相似变换的最好结果就是Jordan标准型的形式,因为矩阵的Jordan标准型是最间的~
Jordan标准型的用处就在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵(不能保证对角化)的某些命题,需要用到Jordan标准型,比如用Jordan标准型求解线性微分方程组。
,一(Jordan(约当)标准型 J(),,11,,定义:形如右图的由主对角线为特征值,次 ,J()12,,对角线为1的约旦块按对角排列组成的矩阵称为 ,,O,,Jordan形矩阵,而主对角线上的小块方阵Ji称为 J,()mm,,Jordan块. ,,,1求法:(1)由特征值,i 的代数重数确定主对角 ,,,1,,线元素是的 ,i 的 Jordan 矩阵J(,i ) 的阶数。 ,,J(),,,1(2)Ø由特征值,i 对应的线性无关的特征向量的个 ,,,,,数确定
(3)J(,i) 中Jordan 块的个数由特征向量
(4)求得的Jordan 链条的长度确定Jordan块的阶数 链条中的向量合起来构成可逆矩阵P,Jordan块构成JA
二(线性微分方程组:
线性微分方程组, 即两个或多个微分方程的集合, 其理论是微分方程理论中非常值得重视的一部 分, 在物理、化学等领域( 例如二个或二个以上回路电流变化规律, 几个互相作用的质点的运动等等) 的。
但有的一些线性微分方程组,不需要考虑到复数领域,但同时又需要简化一些步骤~而这里所讨论的主要是一阶线性微分方程组:
,x,a(t)x,a(t)x,?,a(t)x,f(t),11111221nn1,,x,a(t)x,a(t)x,?,a(t)x,f(t),22112222nn2 ,???????????????????,
,,x,a(t)x,a(t)x,?,a(t)x,f(t)nn11n22nnnn,
1)一阶微分方程组的标准型
x,x,?,xn含有个未知函数及其一阶导数的微分方程组 12n
,x,f(t,x,x,L,x),1112n,,x,f(t,x,x,L,x),2212n ,LLLLLLLLLL,
,,x,f(t,x,x,L,x)nn12n,
n,1称为一阶微分方程组的标准型,其中是定义在维空间f(t,x,x,?,x)(i,1,2,?,n)i12n
的某区域内已知的连续函数,是自变量。 D(t,x,x,?,x)t12n
2)初值问题
求满足方程组(5.1)及初值条件的解的问题x(t),,,x(t),,,?,x(t),,101202n0n称为一阶微分方程组的初值问题(或柯西问题)。
表
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示如下
,x,f(t,x,x,?,x),1112n,,x,f(t,x,x,?,x),2212n ,??????????,
,,x,f(t,x,x,?,x)nn12n,
及。 x(t),,,x(t),,,?,x(t),,101202n0n
)通解 3
方程组(5.1)含有个独立的任意常数的解 C,C,?,Cn12n
,x,(t,C,C,?,C),1112n,,x,(t,C,C,?,C),2212n ,??????????,
,x,,(t,C,C,?,C)nn12n,
称为它的通解。
三:用Jordan标准型求解线性微分方程组
现实的很多问题,都可以用现行微分方程组近似的去模拟,但很多的死后,不需要用到
复数去求解,这个时候,如果使用Jordan标准型就可以迅速的解决问题~
,x,Ax1),方程组的基本解矩阵为
tJ1,,e,,tJ2e,,,1exp()At,TT ,,?,,tJ,,me,,
λ1,,i,,λ?,,iJ,其中,是阶的若当块,,,nn,n,?,n,ni,1,2,?,mii12m,,?1,,,,λi,,
A,λE而为矩阵的初等因子的个数,,为矩阵的特征根,为阶AT,mni,1,2,?,mi
J,,1,,J,,2,1J,非奇异矩阵,使得,。 TAT,J,,?,,,,Jm,,
注:矩阵中空白的地方为零,T称为过渡矩阵。
,,, ddt,-,,112,,,, ddt,-4,32),以为例, 对于这类问题,一般有两种思路:一种思路是利,212
, d,dt,,,2,313,
用高阶线性微分方程的理论与常系数高阶线性微分方程的求解
方法
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如常数变易法齐次化原
理算子解法等可以得到方程(1)的特解和通解另一种思路就是将它化为与之等价的一阶线性
微分方程组计算相应的齐线性方程组的基解矩阵
首先把微分方程组该写成矩阵形式: dxdt,,,
,,ddt,110,,,,,,11d,,,,,,,,,,,,,ddtA,,430其中:,, 22,,,,,,dt,,,,,,102,d,dt33,,,,,,
在给微分方程组施行一个非奇异线性变换,即: ,,,,
,010,,,,1,,,,,,,02,3,,其中, 2,,,,
,,,,1,22,3,,,,
d,,d-1-1-1J,,,,,,,,,于是,就有==== dtdt
,,2,1,,,1A对求约当标准型,先求其的特征值,得到特征值 ,2
,,,13,
200,,
,,J,011然后,Jordan标准型得到得到: ,,
,,001,,
,,,ddd312,2,,,,,,,所以:,, 1123dtdtdt
ttt2t其一般解分别为:,, ,,ce,cte,,ce,,ce1311223
再由,求的原微分方程的一般解: ,,,,
t,,cecte,,123,tt,2cec(2t1)e,,, ,223
,2tee,cecec(t1)e,,,,3123,
由此,可以得到用Jordan标准型求解线性微分方程组出的
答案
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,即是Jordan标准型在求解线性微分方程组的应用~用Jordan标准型,对于一些方程,可以大大的简化步骤~
在许多的实际问题中,使用复数往往没有多大的意义,因此,需要在实数域R上来求标准型~化矩阵为Jordan标准型,实际上就是适当选择线性空间的基或者坐标系,使得在新坐标系之下,问题的数学形式最为简单,从而研究~
正因为线性微分方程组的此类解法的加入,无疑大大的扩展了,线性微分方程组的应用领域~与此同时线性微分方程组的适用领域的扩大,也让人们对于矩阵Jordan标准型的研究发展,从而数学就不断进步,人们也从中获益~
参考文献:
《Jordan标准型在非齐线性常微分方程中的应用》 徐千里,徐水清
《线性微分方程组》
《Jordan标准型》