理论力学论文

讨论台球上的力学问题 摘要: 本文根据《理论力学》中的相关概念与知识,对台球桌上的力学问题进行分析,讨论。我将从碰撞前后的状况,和台球的三种基本的击球方式进行论述,再对某些特殊打法进行简要分析。 其实在很久以前,我看过朋友们在打桌球时,他们能够很好的控制白球,想要击到目标时就停止、白球跟上、或者白球退回,他们都能够很好的表现出来,我对此很是惊奇,现在我将通过理论力学的知识来对此作出解释。 关键词:台球、碰撞、力学原理 引言: 如今,台球运动,包括斯诺克,八球等已经成为了深受人们喜爱的运动。当我们观赏台球比赛时,会看到高水平的运动员打出各种各样的旋转球,在碰撞后会“不规则”的运动,有时会反弹,有时碰撞后会突然加速,有的时候则会拐出一条曲线。 台球运动在我国有着广泛的群众基础。从年龄上看有中小学生到年逾花甲的老年人。从社会各阶层看有农民、工人、学生、教师、打工者、商人、官员以及职业运动员等等。对于台球的运动过程中的力学原理我就此进行一些简要的分析。 1、台球碰撞前后的速度变化 在这里只解释正碰情况 如图所示,球A 具有速度v ,和角速度 w ,而球B 静止于桌面上, 下面就w 的大小进行分类讨论 1.1w =0的情况: 这种情况是最简单的情况,我们假设两球的质量相等即A B m m =,则在碰撞过程中我们忽略摩擦力的作用,则两球碰撞可以看成是弹性碰撞,则这种情况下,就可以直接 得出碰撞后,0A v =,B v v =。 1.20w ≠且w 的方向为从里向外: 这种情况下,首先碰撞过程中忽略摩擦力的作用,所以由动量守恒定律得到: A B B A A m v m v m v =+ 在此碰撞过程中, 由于时 图1 图2 间短暂,且两球之间的摩擦系数较小,所以可以认为A 球给B 球的力AB F ,水平向右,而此时忽略了摩擦力,所以对于B 而言在碰撞过程中午力矩作用,所以0B w =,同样的A 球除了有摩擦力给它的力矩之外,就没有其他的力矩了,而此时摩擦力忽略掉,所以A 球也可以近似的看成力矩为0 。在此阶段克服摩擦力所产生的能量损失也不计。 所以, 222111 222 A B B A A m v m v m v =+ 联立上面两式可得,0A v =,B v v =。 所以分开之后,A 球将做滑动和滚动均有的运动,由质心运动定理和角动量定理可列下 面式子: A dv m f dt =, A dw J fr dt =-,225 A A J m r =,最后将作纯滚动运动,所以22A w r v =,联立得,22 7A v wr =。也就意味着,倘若碰撞结束后,A 球运动不再碰到障碍物,则它最 后将以22 7 A v wr =向反方向运动。 同理可得,B 球碰撞后不再碰到障碍物,则会以25 7 B v v =做纯滚动。 1.30w ≠且w 的方向为从外向里: 这种情况下,碰撞的瞬间与 1.2的情况是一样的,所以, 0A v =,B v v =。 对A 球碰撞后再进行研究,其大致情况也与 1.2情况类似, 22 7 A v wr = ,只是方向与1.2情况不一样,而是向着原先的方向运动。 而对于B 球则是与1.1.2的情况是相同的,所以B 球碰撞后不再碰到障碍物,则会以 25 7 B v v = 做纯滚动。 在此又会有一种情况发生,当22A B v v >>时,那么若B 球没有受阻碍,或没有进洞,A 球追上B 球并与之再次碰撞。 以上的分析过程中,1.2和1.3的情况在碰撞后所做的情况,在实际情况下很难发生的。第一是因为台球桌的大小的限制和桌上的其他球的限制,第二是因为倘若v 较大时,则摩擦力对球B 的作用则就变得相当小了。 这里就可以解释碰撞后,跟、停、退的情况了。而从击打白球的时刻起来看的话,假设击球后v 比较大的话,则在球A 与球B 碰撞之前的摩擦力的作用均可以忽略了。那么我们就可以对球A 被击球之后的状况进行解释: 图三 图4 (图上的R 下面均用r 来代替) 如图所示,假设当母球即上面的A 球被球杆击打后,它的角速度为0w ,速度为0v ,击球点为h ,杆给球A 的冲量为I 。 所以,根据质心动量定理得 0A I m v = 根据相对于质心的角动量定理得 0()A J w I h r =- 22 5 A A J m r = 联立上面几个式子得到:002 5() 2v h r w r -= 则00075()2A r h V v w r v r -=-= 所以: 1、当h r =时,则00w =,一般情况下,冲量I 都会比较大,所以我们在这里就忽略了摩擦力的作用,所以我们就可以看成A 球在做以0v 的速度在做匀速运动,直到碰到B 球时,这个时候就是1.1的情况了。 2、当0h r <<时,则0w 的方向则与图中的方向相反了,此时的情况则是属于1.2的情况了。 3、当2r h r <<时,则0w 的方向则与图中的方向一致了,此时的情况则是属于1.3 的情况了。但是在这里我也将对推杆、中高杆和冲杆进行一些介绍。当75 r h = 时,则β 0v w r = ,与目标球碰撞时,通过摩擦将能量传递给目标球,自身的角速度减小,这种打法叫做推杆,球自然也是跟着球B 向前行进,但是速度较慢;当75 r r h <<时,0A V >, 这种打法叫做中高杆,跟进的速度比推杆的还要再慢些;当75r r >时,0A V <,这种 打法叫做冲杆,因为0A V <,所以摩擦力的方向与行进的方向相同,而这种情况的跟速度将比前面两种打法要大得多。 2、台球击打的安全区 打过桌球的人都知道,会有拖杆的状况,而这种状况,我在这里将叫它“滑杆”。大家试想一下,当你的击打点2h r →或者0h →时,是否觉得这种情况下,很容易滑掉,这里我将给大家解释一下这种情况下,和给出击打的安全范围。 在击打点的地方,存在着摩擦力,当击打的时候,摩擦力不足将有可能不足以阻止杆与球之间的相对运动,这样子就会引起击打拖杆,导致球A 的初速度将会与想要的效果相差很多。(击打图延用图4) 在实际情况下,一般来讲球杆的头部并非与图4中的球杆一样的,而是趋于球形状的。假设击打角为β,如图所示。 所以要使得球A 和杆之间不产生相对滑动,则需要满足0sin F f β<,式中的0f 为最 大静摩擦力,假设球A 与杆之间的最大静摩擦系数为μ,则0cos f F μβ=,所以最后需要满足的条件为: tan μβ> 所以优秀运动员在打强烈上旋球之前,总要用粉块擦擦皮头以增大摩擦系数,从而增大击球角度。 3、台球中的非对心碰撞: 如图所示,设小球1质量为1m ,小球2的质量 为2m 。并且假设两球是光滑的,即两球之间不存在着摩擦力。所以由动量守恒定律得到: 11sin y m v m v θ= 1221cos x m v m v m v θ+= (注意这里的小球2的y 方向上的速度为0,所以22x v v =) 图5 假设恢复系数2cos x v v e v θ -= 联立上面几个式子得到: 12121212cos sin (1)cos x y m m e v v m m v v m e v v m m θ θ θ?-=?+?? =?? +?=?+? 在台球桌上时,我们假设1e =,且12m m =,则上面几个式子可以变成: 20sin cos x y v v v v v θθ ?=? =?? =? 这几个速度是碰撞后的质心的瞬时速度。 碰撞过后的小球2的运动状态则是与1.2和1.3的情况是类似的,在这里就不多给出证明,只是给出最终的速度: 215 cos 7 v v θ= (无论1w 是否等于0,也不管方向如何,只要在到达这个速度之前不再遇到障碍物或者进洞,这个式子都成立) 当10w ≠: (这是在运动过程中的任意时刻) 令球与桌面的接触点为P f = tan y x f f θ=,即 y Py x Px f v f v = ,由质心运动定理和角动量定理得: x x y y x y y x ma f ma f J rf J rf ββ====- 则: ()()P x y y x v v w oP v w r i v w r j → → → → → → =+?=-++ 所以 Px x y Py y x v v w r v v w r =-=+ 对上面两式个两边对t 求导得到: 57225722y Px x x x x Py y y y y x dw r dv dv f f f dt dt dt m m m dv dv f f f dw r dt dt dt m m m =-=+==+=+= 所以 cot Px x Py y dv f dv f θ== 所以, Px Px Py Py dv v dv v = 52x y a r β=- 52y x a r β= 所以 Px x Px Py y Py dv dv v dv dv v == 由于知识的局限性,导到这里就被卡住了,我原本的意思将是有7个独立的方程8个未知数,导出x v 与y v 的关系,然后再导出小球的轨迹方程。 由于方程过于复杂,并且知识的局限性,无法导出完整的小球的运动轨迹,所以接下来我将定性的描述小球的运动。 这时球受到两个摩擦分力的作用1f 和2f 在1f 作用下,球A 将具有一个向后的速度 在2f 的作用下,球A 的角速度w 将改变一个方向 所以球A 的运动轨迹将向后偏离 4、跳球 在打桌球的过程中, 有很多如右图这样的情况,当他们各自的距离比较近时,可以根据击打位置的不同来控制弧线,运动轨迹与上面的推导一致,所以在这里就不进行推导了。 但是当球之间的距离较长时,则弧线的控制将会很困难,所以较为优秀的运动员,都会采取一种叫做“跳杆”的方式来进 行击打。 如图所示,小球 在空中的运动过程中,所受到的力有,重力、空气阻力、马格鲁斯力,马格鲁斯力是由于小球的旋转使得空气相对于台球上下侧面的流动速度不同,从而产生的压力差。 根据所查到的资料显示: 马格鲁斯力3 83 R L v Gv πρω= = 其中ρ为空气的密度,ω为台球的角速度,v 为台球质心的速度,并且马格鲁斯力一 直与球的速度方向相垂直,但是不产生力矩。一般情况下,这种打法,小球的运动速度都是比较小的,所以我们可以忽略空气阻力的影响。 由质心运动定理得到: 2 sin cos dv mg m dt v m L mg r θθ=-=+,式子中的r 代表小球在此处的曲率半径。 再根据,ds ds vdt r d θ == -可得到2 sin cos dv mg mv ds d mv L mg ds θθ θ=--=+ 整理得到cos ,sin (cos )d Gv mg v dv mg d mgv Gvdv θθθθ+==-即积分得到:2 1cos 2 mgv Gv C θ=-+,由初始条件 00,v v θθ==得到20001 cos 2 C Gv mgv θ=+。 由于马格鲁斯力对小球不做功,且又忽略空气阻力,所以此系统机械能守恒,所以得到: 2202v v gh =-,所以得到: 23/2 02 000 (2)cos m v gh R Gv Ggh mgv θ-=-+,根据此式子我们进行对应的讨论。当0G =,即0ω=时,小球的运动是做抛体运动,则运动的轨迹比较好控制,但是一般情况下,要想给小球斜向上的速度而不产生角速度是不可能的,我们要使小球向上跳起,我们得向下击打才可以使小球跳起,而这样子必定会给小球一个角速度,所以这个马格鲁斯力不可避免掉。当h 一定时,小球旋转的角速度越大,G 值越大,从而使轨道的曲率半径减小,小球下落越快,水平距离越短。 如图所示,根据动量定理和角动量定理得到: cos sin cos()x N y F T mv F T F T mv Fr T J θθθβω - ?=?-?=+?=式子中的β是圆心与击打点的直线与水平线的夹角,N F - 是桌面给小球的平均压力,但是由于知识原因,无法得知这个力与F 、θ、β的关系,可能跟桌面与小球的材料及本身性质也有一定的关系。从上面几个式子可以很简单的得到ω与v 之间的关系了。再通过控制θ、击球点、F 来控制ω与v 之间的关系。其实在现实过程中,我们只需要让小球跳过障碍球即可。 5、小结 通过对理论力学的学习,本来在很多方面存在着疑问的我,既然也可以对具体事情进行有力的分析,台球所展现出来的精彩不止止以上这些,还有很多奇妙的现象,由于知识的欠缺无法进行分析。可能由于知识的欠缺和个人的失误,以上内容可能会有错误,还望老师见谅。 理论力学与物理中的力学有着很大的不同,物理中的力学教给我们一些定理和一些公式,在理论力学中,我们更贴近了生活,在例题中,实际应用的例子也是大有体现,这样提高了我们的分析水平,和解决实际问题的能力。并且在课程过程中,我们还做了一次实践项目,虽说我们组的最后成绩不太理想,但是这不能改变这个实践项目给我们的利益。我们在设计和制作过程中,桁架的结构、节点的连接、和如何能让桁架结构更加的平稳,在制作过程中,我们尽量使竖直柱保持竖直,倘若有一个有些弯掉了,这也会大大影响到桁架的承载力。不仅仅有实践项目,我们还开设了两个实验课,这也是给我很大的收获,尤其是第二次试验课,即三线摆测量转动惯量,老师只给我们做了一些引导,而怎么做这个实验让我们自己去思考,这也增强了我们的实验能力。 最后还有一点说明的,我觉得老师在课堂上一道题目的讨论时间过长了,与同学讨论这个是必须要有的,但是讨论得过长时间,我觉得这反而会影响进度,和有些更经典的题目未讨论。 最后,致予老师最真诚的感谢。 N F - θ F