信号的康托尔分析及其在音频信号车型识别中的应用（可编辑）

信号的康托尔分析及其在音频信号车型识别中的应用（可编辑） 信号的康托尔分析及其在音频信号车型识别中的应用 学校代码:lQ2鲤 研究生学号:!Q2嫂 2鲤?2Q鳗2 分类号:TN7 密 级:玉 @ 东妊啼蕊蟮 硕士学位论文 信号的康托尔分析 及其在音频信号车型识别中的应用 BasedOnCantorSet SignalAnalysis In AndThe OfCantorSetAcoustic Application VehicleModel Of Recognize Signal 作者:程欣 指导教师: 王双维教授 学科专业: 电路与系统 研究方向: 语音与图像信号高速处理的理论及应 用 学位类型: 学历硕士 东北师范大学学位评定委员会 2007年5月 摘要 康托尔集合是分形理论的典型的代表，由于康托尔集具有完备性，自相似性等比较 全面的性质，一直是数学界广大学者广泛探究的兴趣所在(迄今为止，康托尔理论的应 用还是仅局限于数学领域，在其他领域的应用几乎为零，我们试图将康托尔集合作为一 种信号分析的方法，引入信号处理领域。本文首先利用小波分解之后的康托尔集分析方 法、其次应用信号的直接康托尔集分析法、最后利用康托尔集的二次归一分析法，通过 自定义的一些康托尔函数来提取特征参数，进行信号的分析，并且以高速公路汽车行驶 的音频信号为样本，来进行车辆车型的模式识别并且将所得的结果与相同情况下计算出 的参数模型的结果进行比较，发现同等条件下，使用康托尔二次归一的方法所得到的模 式识别的结果要比参数模型的结果要好(因此康托尔集理论的分析方法有可能是一种很 有前途的新的信号处理方法( 关键词:康托尔集;音频信号;模式识别;参数模型 Abstract Cantorsetis set theclassic of form hassome deputydisport theory，Cantor complete as andetc(So researchershavea interests characters，such great complete、self-similarmany inCantor set usedin set(FromOll，the ofCantor have today application theoryonly useCantor to mathematicotherfieldsthereissoless(Weto setasamethod field,in try this I threesidetouseCantorsctto signal(In through processsignal(first process paper the whichhavedealwithwavelet噼 Cantorset(Second analysissignals Cantor the self-definefunctionofCantorsetto usc setto processsignal(Third process aU fuuctionofCantorsetto the second someself-define unitarysignal(Above through get characteristicthento the wechoosethe slgnal parameteranalysissignal，thesample freeway acousticofvehiclewhichbeen to themodelofthe have unitaryrecognize toAR the thatuscthemethodsecond theresults modelin samecondition(andfound of ofCantorset muchhatterresultsthanARmodel's(SoWecan thatCantor unitary c柚get say setmethodcanasa to whichhasa future( use new bright wayprocesssignal words:CantorSet:Acoustic Model Key Recognize: AR Signal:Model ? 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料(与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意( 学位论文作者签名:』耻日期:力孕2,立上一 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即:东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅(本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密的学位论文在解密后适用本授权书 i 学位论文作者签名:象拯 指导教师签名: 日 期:逾2:互:墨J日 期: 学位论文作者毕业后去向: 工作单位: 电话:―― 通讯地址: 邮编:―― 第一章、 引言 ?1(1课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 研究背景 本论文依托国家自然科学基金项目“基于车辆声谱特征的高速公路交通事件及交通 流特性直接检测技术研究” 项目批准号5047800r7 ，在分析现有车辆检测技术基础上， 使用现代信号分析技术处理采集到的车辆在行驶中产生的声信号与地振动信号，通过神 经网络识别技术实现车型识别。 ?1(1(1我国高速公路发展状况 高速公路是社会经济发展到一定程度的产物，体现了公路交通发展的趋势(它与一 般公路相比，具有行车速度快，通过能力大，交通事故少，运行 成本低，乘车舒适等特 点。高速公路的出现，是公路交通走向现代化的重要标志。对于促进社会经济和运输行 业的发展将产生直接而又深远的影响。 我国的高速公路建设起步于20世纪?年代，1988年10月底上海至嘉定高速公路 的建成通车，实现了我国大陆高速公路零的突破。自此开始，我国高速公路建设一直处 于一个高速的发展时期。截止2003年底，全国 不包括台湾 高速公路通车总里程达到2( 9745万公里。国家 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 到2015年，全国高速公路里程将达到4万公里。 ?1(1(2高速公路安全与拥挤阻塞状况严峻 高速公路在我国综合交通运输体系中发挥着重要的脊梁作 用，为我国的国民经济和 社会发展做出了突出的贡献。但其在运行过程中仍然存在交通拥挤、交通安全和环境污 染等的问题，特别是近年来交通需求量的持续高速增长，使高峰期入城和市区高速公路 拥挤、阻塞日益严重。城间高速公路事故频发( 在积极发展建设高速公路的同时，也必须正视高速公路的交通安全与拥挤阻塞等问 题。在一些发达国家，高速公路上的交通事故发生率仅为普通公路的1,3,轮，甚至更 低(但是，目前我国高速公路交通事故的发生率、死亡率要比国外发达国家同类型高速 路要高出很多。高速公路车速高，流量大，一旦发生交通事故则严重程度也非常高，如 1995年1月8日，京石高速公路发生多辆汽车高速相撞的惨剧。在几千米的路段内，几十 辆事故车辆首尾相接，京石公路因此紧急关闭48小时;1996年11月，沪宁高速公路上发 生了44辆车连续追尾相撞的交通事故，导致lO人死亡，造成长达5小时交通阻塞:2001 年2月21日，京沈高速公路兴城到葫芦岛路段发生数十辆汽车相撞的特大交通事故，造成 路特大交通事故死亡19人;2004年5月12日乍嘉苏高速公路嘉兴段发生特大交通事故 23人遇难:2004年7月29日山西大运高速公路发生重大交通事故3死5伤。 我国高速公路特别是城市内高速公路交通拥挤日趋严重，例如广州北环高速公路某 收费站尽管已建设24个收费车道。但在交通高峰期经常出现车 辆堵塞几公里的现象:上 海内环高架快速干道在1996年下半年日断面流量已达7万多辆。大大超过设计日断面流 量5万辆的水平，如此“超量”行车，致使内环线上的堵车现象频频出现;北京二环、三环 的拥挤更加严重，在高峰期，有时竟然能堵车一两个小时。 ?1(1(3高速公路信息化管理 如上所述，高速公路在一定程度上满足了经济快速发展的需求，但同时高速公路的 安全和拥挤问题不容忽视。如何利用现代科技，科学、高效地管理高速公路，建立现代 化的高速公路系统，确保高速公路的安全和通畅，成为亟待解决的重要问题。我国也在 积极研究的智能运输系 IntelligcmTransportationSystem简称 ITS ，期望实现系统化、 信息化的商速公路管理。 智能交通系统的众多交通信息中，交通流特征参数信息是最根本的(交通流特征参 数的检测数据是交通管理部门制定政策、采取措施和对交通设施进行规划、设计的最为 科学、客观的依据( 根据美国加利福尼亚大学伯克利分校的ITS中心出版的专业杂志PATH中提供的分 类，交通流特征参数可分为: 1车辆记数及车型识别 这是交通流的基本特征参数，直接反映道路的使用效率，拥挤程度和各种功能的车 辆在整个交通网络的分布情况。 2车行时间及速度 环境状况，出行所需燃料费用事故发生率和司机的操作状况 是否疲劳等 都是影 响车行时间及速度的因素。而每个人通过估算路上所需时间来决定是否出行及何时、何 地、何种方式出行(因此车行时间及速度是众多交通因素的集中体现( 3事故检测 1TS的目的之一就是减少交通事故及其影响，因此事故检测也是检测系统的任务。 4客流体积 乘客的数量与运输工具运量之比是发生交通拥挤可能性的良好的叶旨示灯”( 5交通安全性 1TS提高交通安全的措施之一就是及时、有效地监测交通危险，确定那些需要救助 的出行者。交通危险是指:“车际冲突” 如撞车或交通流中某辆车的突然抛锚 ，“人际 冲突” 如抢劫或骚扰 ( 6污染排放量 这个参数在环保呼声日益高涨的今天备受重视。 7车辆重量 目前交通系统的一项重要的巨额费用就是因道路损坏而进行道路养护甚至重建。显 然车辆越重，对道路的损坏影响就越大( 2 车型识别在我国高速公路管理中对交通管理与控制、道路维护等方面有重要的地位。 当前，我国高速公路建设得到了突飞猛进的发展，而高速公路建设和养护所需的巨额资金 贷款主要是通过向用路者收取通行费来偿还，因此，高速公路收费系统作为高速公路管理 系统中的重要组成部分，必须科学、严谨、准确、高效。 在自动收费系统中，车型的自动识别占有很重要的地位，因为它是决定收费标准的 重要因素之一(对于交通管理与维护部门，确切的了解一条道路上不同类型车辆的数量 对于道路的建设与维护具有很重要的参考意义，因为一般情况下车辆的类型与重量是成 比例的，根据不同类型车辆的数量可以正确预算建设与维护费用。要实现自动车辆识别、 分类，需要做的第一步是检测、提取车辆的某些信息特征。在车辆的所有特征中，可以 用来识别和区分车型的通常有车辆的外型 长、宽、高等 、车辆的轴重或轴距、车辆轴 重及总重、车辆号牌、发动机排气量、车辆可以乘载的人员数或载重量等等(在这些特 征中，只有部分可以用于自动车辆识别和分类，因为有的特征可以用仪器不停车检测、 提取，有的则不然，如捧气量、司乘人员数等。目前，国内外的车型识别技术都主要集 中在利用车辆的外型 长、宽、高等 、车辆的轴重或轴距、车辆轴重及总重、车辆号牌。 而主要的途径是通过视频来实现，即通过视频拍照然后利用图象 处理的方法来实现车型 识别。我们都很清楚，视频的最大缺点就是受外界环境的影响很大，特别是天气的变化、 光照强度的变化，恶劣的条件甚至可能使视频识别失效，另外视频检测的费用较高，加 之我国的车辆种类繁多，且没有统一的标准，导致视频识别的准确率并不是很好:因此 开发价格低廉、适合我国国情的车型识别系统具有很重要的实际意义( 。’ ?1(1(4车辆检测器的研究现状 1波频车辆检测器 波频车辆检测器包括雷达 微波 检测器、超声波检测器、光电检测器、红外线检测 器等。 微波雷达车辆检测器是靠多普勒原理工作的，以光速发射的微波信号被驶近的车辆 反射回来，检测器的电子装置检出由于车辆运动而引起的频移，即产生一个车辆感应输 出信号。显然检测器需要运动的车辆驱动，且车速缓慢或静止时多普勒系统会失效，故 属通过型检测器。它的缺点是检测车速缓慢或静止的车辆时多普勒系统会失效，而且现 有的微波车辆检测器的检测域随着车辆的大小、形状及材料而变化，从而导致对交通信 号的响应不一致，且微波雷达设备复杂，价格昂贵( 超声波车辆检测器通过发出高频波并由驶近的车辆以变化的频率折回的方法检测车 辆，这样的检测器可以使用数字测距技术，类似于自动聚焦照相 机所用的声波测距，以 一个距离门限值取定所有被检车辆的位置。超声波通过大气传播，受限于周围环境的影 响，如:气温、空气波动和湿度等，这些因素都影响检测器精度(而且它不能准确区别 小汽车和面包车，测量精度不高。 光电检测器利用光电管或红外线束来接收中断或反射光束，常见的是由位于道路一 侧的发光器 如激光 和位于道路另一侧的光电探测器组成，当车辆通过时，即中断光束 并由探测器产生输出信号，从而 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 被检车辆，它是一种良好的计数检测器。 3 红外检测器是具有良好应用前景的悬挂式或路侧式车辆检 测器，有被动式和主动式 两种基本类型。被动式采用检测热辐射红外线的工作原理，当车辆通过时，接受到热物 体 如汽车发动机 的红外线增量驱动探测器向控制系统输出信号;主动式工作原理与光 电检测器类似，采用红外光源指向测量车道，驶近车辆将红外线反射回检测器，具有快 速准确、轮廓清晰的检测能力( 2视频车辆检测器 采用计算机视觉 ComputcrVision 和图像处理技术可以获得车辆的外形三维数据及 车辆的轴数、轴距、轮距和车辆组成等交通参数。基于图像处理的高速公路事故测报系 统目前正处在研究开发阶段，它利用计算机视觉、神经网络、模 糊逻辑等技术和先进的 计算方法进行事件检测、车辆识别和公路监控，可以获得车辆数量、车速、道路的空间 占有率及车辆的前进程度等重要交通参数，从而可以预测和发现事故。缺点是图像处理 的实时性较差，车辆的检测精度受整个系统软、硬件的限制，而且价格昂贵。 现在对车辆检测器的研究主要集中在提高这三类检测器的检测性能和检测精度、稳 定性，提高使用寿命及其性价比(国外在车辆检测器领域的研究主要集中在视频车辆检 澳?器的开发，它将现代信号处理和模式识别等领域的新理论和新算法应用于视频车辆检 测器的开发，提高其检测的性能、检测精度和稳定性，扩大其使用范围，该视频检测器 技术在国外己比较成熟，己经有产品出现，并成功应用于道路交通量检测。磁频检测器 和波频检测器，由于其技术比较成熟，使用比较广泛，价格较低，各国主要研究方向是 扩大其使用范围，提高检测性能和精度(在国内，由于交通行业的飞速发展，相关的产 品开发技术也得到很大的发展，对车辆检测器的性能要求越来越高，车辆检测器的开发 主要集中在提高磁频和波频检测器的性能和使用寿命，虽然也在开发视频检测器，但由 于资金和技术的原因，开发出的产品性能不够理想，或价格太高，不适应我国国情，因 此开发新型并适用于我国国情的车辆检测器十分必要。 3声,地振信号被动检测研究现状 声,地振动信号检测技术主要是军事方面研究比较多。国外利用声,地振动信号实现 GroundSensor 对战场目标的研究开展比较早，无人值守地面传感器U6S Unattended 系统是各国研究重点。由于地面侦察能在复杂的地形条件下甚至是严密伪装的情况下发 挥其作用，填补了光学侦察、无线电侦察和雷达侦察等现代侦察技术的盲区(人员、装 备在地面上运动时，必然会发出声响，引起地面振动，所以地面传感器可以通过探测这 些物理量来发现与识别运动目标。 早在60年代的越南战争期间，美军就使用当时被称为“热 带树”的无人值守传感器 来对付北越的“胡志明小道”。所谓“热带树”实际上是一个由地振动传感器和声传感 器组成的系统，它由飞机投放，落地后插入泥土中，仅露出伪装成树枝的无线电天线， 因而被称为“热带树”(当人员、车辆等目标在其附近行进时，。热带树”便探测到目 标产生的地振动和声信息，并立即将信息通过无线电通信发送给指挥中心(指挥中心对 信息进行处理后得到行进人员或车辆的地点、规模和行进方向等信息，然后进行指挥决 策。 4 MonitoredBattlefieldSensor 美国在70年代研制出了REMBASS Remotely System and Detection EarlyWarning 国、瑞典等国家也分别对战场传感器系统进行了研究( 我国南京理工大学、北京理工大学等高校院所也开展了这方面的研究，并取得了一 定的进展。但是，研究的范围主要是军事领域的应用，如对军用车辆、坦克、直升飞机 等检测与定位( 吉林大学交通学院和东北师范大学物理学院合作利用声信号 检测车型的分析也取得 了一定的成果，该项研究已经实现了基于参数模型车辆声音信号将四种类型的车辆进行 自动的车型分类，并且识别正确率可达91(9,以上旧,„( ?1(2论文研究目的和意义 ?1(2(1选题依据 高速公路智能化管理的基础在于交通信息采集系统，而交通信息采集系统的核心技 术是交通流检测技术。高速公路的交通流组成相对单一，即只由机动车构成，所以交通 流检测的关键在于车辆检测、车速测定、车型识别及交通事故检测。 本文的目的就是在提取车辆的声信号及地振动信号特征的基础上，以康托尔集合理 论【“”为基础，根据本文定义康托尔函数，提出基于车辆噪声信号与地振动信号特征的 交通流特征参数队‘”声学检测技术，为提高交通流检测技术奠定理论基础和实践基础。 突破了现有交通流特征参数检测的固有思路，开辟了交通流特征参数检测技术嘲研究的 新领域;在实践上，对高速公路管理部门及时掌握高速公路交通流信息，实现科学高效 管理，并对交通事故自动检测并快速地做出处理、救援，减少交通事故造成的直接、间 接损失，提高高速公路运营效率具有重大意义( 目前，在交通信号的分析和处理都是采用价格比较昂贵，设备仪器要求比较高的视频 拍照的方法，对高速公路的车辆行驶情况的监测，但视频拍照的 方法受外界的环境影 响比较大。因而探索一种新的监测系统就必然要考虑到新的信号分析处理的方法，以达 到更好的应用与监测系统的目的( 小波分析”’。。1和参数模型分析法作为信号分析处理的有效工具，得到了广泛的应用， 其优点是无容置疑的，但是也都存在一定的局限性，利用小波的方法处理的信号往往是 对非平稳的信号的效果好一些，对于平稳的随机信号小波方法的优越性不是很明显，参 数模型“”的分析方法在实际应用中也有它的不足。因此探索一种新的信号分析处理方法 补充小波“„1和参数模型的不足是很有必要的，为了能更好的识别高速公路的车型、车 速、以及与交通信号有关的一系列得声音信号，于是就引入了康托尔的信号分析法(康 托尔集源于分形理论，已经在数学领域得到了广泛的论证和应用，但是在信号分析处理 方面到目前为止还没有人涉足，进行一下这种新的探索是很有创新意义的。而且在对已 有的数据即高速公路汽车行驶的音频信号的初步分析处理结果表明康托尔分析方法分 5 析车型，达到了很好的模式识别的结果。这说明，利用康托尔的方法分析信号是具有可 行性的。 ?I(2(2研究 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 1研究目标、研究内容和拟解决的关键问题 本文的研究目标是利用康托尔分析法对高速公路汽车音频信号‘4删进行分析，以 证明利用康托尔集‘”„的方法可以作为一种信号的分析方法。 研究内容包括: 1 将汽车信号在时域范围内将数据进行离散和等间隔康托尔抽样数据分离 即将康托尔三分取二，为有效的区域进行分析。 2 将汽车的原始信号进行小波包分解之后的数据进行康托尔三分舍二取一的处理。 3 把汽车信号的原始数据归一化处理后，进行康托尔三分舍二取一，分析处理数据。 4 通过对归一化处理后的汽车声音信号康托尔集分析后再进行二次归一，再进行分 析处理，以达到简单的车型识别的目的。 2可行性分析 康托尔集叫喇本身是完备集，又具有自相似的特点，这是在数学界早已证明的理论。 本文有仿照小波的系数关系也建立了一个还原信号的 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，也就是说信号是毫无损失的 在进行分解，所以分析的结果实具有可信度的。验证康托尔的分析方法本文以汽车在行 驶的过程中声音信号为例，分别通过采用小波分解后的康托尔集的分析方法、直接将原 信号康托尔集的分析方法、利用康托尔集二次归一的方法进行分析的方法，分别得到了 相应的结果。从结果中，我们发现有的方法还是需要改进的，但是有的分析方法已经能 很好的通过声音信号将车型进行简单的分类。由此可知所作的研究是有应用价值是具有 可行性的。 6 第二章、信号处理相关理论的介绍 ?2(1康托尔集合的概述 ?2(1(1康托尔简介及集合论的产生 1康托尔的生平 康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者。是数学史上最 富有想象力，最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根 本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴 责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大 的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合 论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑。 1845年3月3日，乔治??康托尔生于俄国的一个丹麦―犹太血统的家庭。1856 年康托尔和他的父母一起迁到德国的法兰克福。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶 段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工， 因而康托尔在1863年带着这个目地进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学 教学与研究的中心(康托尔很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之 一。所以在柏林大学，康托尔受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。他在1869 年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。1874 年康托尔在克列勒的‘数学杂志 上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数 学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这篇文章的创造性引起人们的注 意。在以后的研究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，他一直在这方面发表论文 直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症。这一难 以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。1918年1月6日，康 托在哈勒大学的精神病院中去世。 2集合论的产生背景 为了较清楚地了解康托尔在集合论上的工作，先介绍一下集合论产生的背景。集合 论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动(数学分析的发展必然涉 及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。在18世纪，由于无穷概念没有精确的 定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。 19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。在这基础上建立起连续、导数、微分、 积分以及无穷级数的理论。正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积 7 、 分理论所遇到的逻辑困难。但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化。柯西思想有一 定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问 题的原因在奠定微积分基础的极限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱 几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。于是，许多受分析基础危机影响的 数学家致力与分析的严格化。在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象??连续 函数的描述。在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论。因此，无限集合在数学 上的存在问题又被提出来了。这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。总之， 为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因( 3集合论的建立 康托尔在柏林大学的导师是外尔斯托拉斯，库曼和克罗内克。库曼教授是数论专家， 他以引进理想数并大大推动费马大定理的研究而举世闻名是。克罗内克是一位大数学 家，当时许多人都以得到他的赞许为荣。外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学 家。他的演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定的基础。例如，微积分中著名的观念就 是他首先引进的。正是由于这些人的影响，康托尔对数论较早产生兴趣，并集中精力对 高斯所留下的问题作了深入的研究。他的毕业论文就是关于++:0的素数问题的。这是高 斯在‘算术研究》中提出而未解决的问题。这片论文写得相当出色，它足以证明作者具 有深刻的洞察力和对优秀思想的继承能力。然而，他的超穷集合论的创立，并没有受惠 于早期对数论的研究。相反，他很快接受了数学家海涅的建议转向了其他领域(海涅鼓 励康托尔研究一个十分有趣，也是较困难的问题:任意函数的三角级数的表达式是否唯 一?对康托尔来说这个问题是促使他建立集合论的最直接原因。函数可用三角级数表 示，最早是1822年傅立叶提出来的。此后对于间断点的研究，越来越成为分析领域中 引人注目的问题，从19世纪30年代起，不少杰出的数学家从事着对不连续函数的研究， 并且都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩。这就为康托尔最终建立集合论创造了条 件。1370年，海涅证明，如果表示一个函数的三角级数在区问[一耳，z]中去掉函数间断 点的任意小邻域后剩下的部分是一致收敛的，那么级数是唯一的(至于间断点的函数情 况如何，海涅没有解决。康托尔开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题。 他跨出了集合论的第一步。 康托尔一下子就表现出比海涅更强的研究能力(他决定尽可能多地取消限制，当然 这会使问题本身增加难度(为了给出最有普遍性的解，康托尔引进了一些新的概念。在 其后的三年中，康托尔先后发表了五篇有关这一题目的文章。1872年当康托尔将海涅提 出的一致收敛的条件减弱为函数具有无穷个间断点的情况时，他已经将唯一性结果推广 到允许例外值是无穷集的情况。康托尔1872年的论文是从间断点问题过度到点集论的 极为重要的环节，使无穷点集成为明确的研究对象。 集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合很自 然地引起数学家们和哲学家们的注意(而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难 象有穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理解没有任何进 展(早在中世纪，人们已 经注意到这样的事实:如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点 B 之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。16世纪，伽俐略还举例说，可以在 两个不同长的线段曲与cd之间建立一一对应，从而想象出它们具有同样的点。 他又注意到正整数可以和它们的平方构成一一对应，只要使每个正整数同它们的平 方对应起来就行了: 1 2 3 4„„n„„ 1 22 32 42„„舻„„ 但这导致无穷大的不同的“数量级”，伽俐略以为这是不可能的(因为所有无穷大 都一样大。不仅是伽俐略，在康托尔之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对 应的比较手段，因为它将出现部分等于全体的矛盾。高斯明确表态:。我反对把一个无 穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的。无穷只是一种说话的方式„„”柯西也 不承认无穷集合的存在。他不能允许部分同整体构成一一对应这件事。当然，潜无穷在 一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的。数学的发展表明，只承认 潜无穷，否认实无穷是不行的(康托尔把时间用到对研究对象的深沉思考中。他要用事 实来说明问题，说服大家。康托尔认为，一个无穷集合能够和它 的部分构成一一对应不 是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。对康托尔来说，如果一个集合能 够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。它定义了基数，可数集合等概念(并且 证明了实数集是不可数的代数数是可数的。康托尔最初的证明发表在1874年的一篇题 为‘关于全体实代数数的特征》的文章中，它标志着集合论的诞生。 ? 随着实数不可数性质的确立，康托尔又提出一个新的，更大胆的问题。1874年， 他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应(从直观上说，平面上的点 显然要比线上的点要多得多。康托自己起初也是这样认识的(但三年后，康托尔宣布: 不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且一般的n维连续空间也可以建立一一对应! 这一结果是出人意外的。就连康托尔本人也觉得“简直不能相信”(然而这又是明摆着 的事实，它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误( 既然n维连续空间与一维连续统具有相同的基数，于是，康托尔在1879到1884年 间集中于线性连续统的研究，相继发表了六篇系列文章，汇集成‘关于无穷的线性点集》。 前四篇直接建立了集合论的一些重要结果，包括集合论在函数论等方面的应用。其中第 五篇发表于1883年，它的篇幅最长，内容也最丰富(它不仅超出了线性点集的研究范 围，而且给出了超穷数的一个完全一般的理论，其中借助良序集的序型引进了超穷序数 的整个谱系。同时还专门讨论了由集合论产生的哲学问题，包括回答反对者们对康托尔 所采取的实无穷立场的非难(这篇文章对康托尔是极为重要的(1883年，康托尔将它以 ‘集合论基础》为题作为专著单独出版( ‘集合论基础》的出版，是康托尔数学研究的里程碑。其主要成果是引进了作为自 然数系的独立和系统扩充的超穷数。康托尔清醒地认识到，他这样傲是一种大胆的冒进。 “我很了解这样做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质的传统观念相 对立的地位，但我深信，超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然的扩 9 充。”‘集合论基础》是康托关于早期集合理论的系统阐述，也是他将做出具有深远影 响的特殊贡献的开端。 康托尔于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义的论文。在 该文中，他改变了早期用公理定义 序 数的方法，采用集合作为基本概念。他给出了超 限基数和超限序数的定义，引进了它们的符号;依势的大小把它们排成一个。序列”; 规定了它们的加法，乘法和乘方„„(到此为止，康托尔所能做的关于超限基数和超 限序数理论已臻子完成。但是集合论的内在矛盾开始暴露出来。康托尔自己首先发现了 集合论的内在矛盾。他在1895年的文章中遗留下两个悬而未决的问题:一个是连续统 假说:另一个是所有超穷基数的可比较性。他虽然认为无穷基数有最小数而没有最大数， 但没有明显叙述其矛盾之处。一直到1903年罗素发表了他的著名悖论。集合论的内在 矛盾才突出出来，成为20世纪集合论和数学基础研究的出发点。 4对康托尔集合论的不同评价。 康托尔的集合论是数学上最具有革命性的理论(他处理了数学上最棘手的对象一一 无穷集合。因此，他的发展道路也自然很不平坦。他抛弃了一切经验和直观，用彻底的 理论来论证，因此他所得出的结论既高度地另人吃惊，难以置信，又确确实实，毋庸置 疑。数学史上没有比康托尔更大胆的设想和采取的步骤了。因此，它不可避免地遭到了 传统思想的反对( 19世纪被普遍承认的关于存在性的证明是构造性的。你要证明什么东西存在，那就 要具体造出来。因此，人只能从具体得数或形出发，一步一步经过有限多步得出结论来。 至于“无穷”，许多人更是认为它是一个超乎于人的能力所能认识的世界，不要说去数 它，就是它是否存在也难以肯定，而康托尔竟然。漫无边际地”去数它，去比较它们的 大小，去设想没有最大基数的无穷集合的存在„„这自然遭到反对和斥责。 集合论最激烈的反对者是克罗内克，他认为只有他研究的数 论及代数才最可靠。因 为自然数是上帝创造的，其余的是人的工作(他对康托尔的研究对象和论证手段都表示 强烈的反对(由于柏林是当时的数学中心，克罗内克又是柏林学派的领袖人物，所以他 对康托尔及其集合论的发展前途的阻碍作用是非常大的(另一位德国的知觉主义者魏尔 认为，康托尔把无穷分成等级是雾上之雾。法国数学界的权威人物庞加莱曾预言:我们 的“后一代将把 康托尔的 集合论当作一种疾病”等等(由于两千年来无穷概念数学 带来的困难，也由于反对派的权威地位，康托尔的成就不仅没有得到应有的评价，反而 受到排斥。1891年，克罗内克去世之后，康托的处境开始好转( 另一方面，许多大数学家支持康托尔的集合论。除了狄德金以外，瑞典的数学家米 大格一列夫勒在自己创办的国际性数学杂志上把康托尔的集合论的论文用法文转载， 从而大大促进了集合论在国际上的传播。1897年在第一次国际数学家大会上，霍尔维次 在对解析函数的最新进展进行概括时，就对康托尔的集合论的贡献进行了阐述。三年后 的第二次国际数学大会上，为了捍卫集合论而勇敢战斗的希尔伯特又进一步强调了康托 尔工作的重要性。他把连续统假设列为20世纪初有待解决的23个主要数学闯题之首( 希尔伯特宣称:“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去。”特别自 10 1901年勒贝格积分产生以及勒贝格的测度理论充实了集合论之后，集合论得到了公认， 康托尔的工作获得崇高的评价。当第三次国际数学大会于1904年召开时，。现代数学 不能没有集合论”已成为大家的看法(康托尔的声望已经得到举世公认( 5集合论的意义 集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分 析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基 的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数 学获得一个深刻的理解。所以集合论的创立不仅对数学基础的研 究有重要意义，而且对 现代数学的发展也有深远的影响。 康托尔一生受过磨难。他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年。康托尔虽曾一度对 数学失去兴趣，而转向哲学、文学，但始终不能放弃集合论(康托尔能不顾众多数学家、 哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫超穷集合论，与他的科学家气质和性格是分不开 的。康托尔的个性形成在很大程度上受到他父亲的影响。他的父亲乔治??瓦尔德玛??康 托尔在福音派新教的影响下成长起来。是一位精明的商人，明智且有天份。他的那种深 笃的宗教信仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心(正是这种坚定、乐观的信念使康 托尔义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功。今天集合论已成为整个数学大厦的 基础，康托尔也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一( ?2(1-2康托尔集合分形理论的基本内容 1康托尔集合的定义 图2―1 图2―1为康托尔三分集的生成过程。此图中只表示了前三个阶段。为了显示方便， 无宽度的[O，1]线段在这里故意用一矩形框表示。 区间[0，1,3]和[2,3，1】(第二步，将剩下的两个闭区间各自均分为三段，同样去掉 中间1,3的开区间: 的1,3。一直到第N步，不断重复上述操作。无限操作下去。 把上述操作最后剩下的点 组成的集合称作康托尔集合 Cantorset (康托尔集合的性质是很有意思的。首先康托 尔集合是自相似的，整体与部分十分相像。其次，它不包含任何区间，这一点容易想 象出来，不断去掉中间1,3。最后剩下的点不能构成区间。 2康托尔集合的性质，若用Po表示康托尔集合，则有 则在 0，1 中存在开区间 o o。xo 与 Xo，Bo ，其中均无Po的点，即 o0，Xo cGo 且 xo，Bo CGo但 ‘o隹Go，那么 oo，xo ， Xo，Bo 将分别包含在Go的两个构成 区间 oo，xo 与 Xo，B o 中，也即 o为Go的某个构成区间的公共端点，而据Go的 构造可知，这是不可能的，所以Po是无孤立点的非空闭集。p01 Po，Po是完全集。 ，】，故是疏朗集。 3 Po是不可列集。若不然，该Po是可列集，则Po中的元素可排列成无穷点列: X'，X2，„’Xn，„ 所得左右两个闭区间中有一个不含x2，即为I:，再等分，:，可得不含 3的闭区间，，， 以此类推，可得闭区间列，l 显然L的长度砉一O n―m ，根据闭区间套定理，必存在点亭?L，而亭是，。端点集 矛盾。因此P0不可列。 M是E的一个聚点。E的全部聚点作成的集合叫做E的导集，记作E’(E+E’称作E 的闭包。闭集合的含义是E包含E’，即一个集合包含了它所有的聚点。若E E’，即 E是闭的且不含孤立点，则E就是完备的。完备集合的意思是说，集合E是闭的且每一 个点都是聚点 即没有孤立点 ( 康托尔集合是自相似的，整体与部分十分相像(康托 尔集合D具有连续统的势，它可以与 o，1 中的点一一对应起来，它是不可数的。由实 变函数理论知道，任何非空完备集合都是不可数的(即康托尔集合也是一个完备集( 从康托尔集合的定义和康托尔集合所具有的性质可以看出，在数学领域中康托尔的 集合论已经是--fq相当完善的理论，但究其实际应用领域到目前为止仍然可以说是几乎 为空白(而且康托尔集合的自相似性的，能否将康托尔集理论应用于信号处理领域，并 将其作为一种新的信号分析的新方法，本文就是做了这样的尝试。 3关于康托尔的几个定义 为了更好的将康托尔的集合理论应用到信号处理的领域，仅仅依靠康托尔集合本身 的性质和定义是远远不够的，因此我们将根据康托尔集合的性质，本文定义一些有利于 我们分析信号的康托尔函数，以便更好的提取和描述信号特征(由于康托尔集合具有自 相似的特性，在利用康托尔集合处理信号时集合本身一定会对信号在固定区间内的自相 似程度或者说是对称分布程度有很强的敏感性，借助数字信号处理中的累量三阶中心距 的相关知识，概率分布的非对称性即任意数据的为了得到无量纲特征，以Eb3l除以均 方差的三次方盯3，记为s，，即 Io’称J，为偏态系数或简称偏态。这样在描述 j。-C3 信号本身对称程度时可以采用先将其康托尔分割，再根据偏态系数是描述信号自相似 的对称程度的特性，计算出相应得偏态系数，以此作为信号的特征参数。为此首先给出 本文定义的康托尔函数( 3(1区间[一吾，号】的k阶康托尔等分，删T13t则等分点的位置为 _。 丁T+寺小+虿1’丁T‘?2丁+订2 玎+虿 丁 忡塑，一塑+1'((„，些一1(n*O Lz―l 2一1 J 一。一―丁，一―丁+l，„„，―丁一l?? 用数学归纳法可以证明3‘是奇数 证明: 当k O时30 l 当k l时31 3 当k 2时32:9 13 设，当3“也是奇数，有 3P1幸3 3‘( 由于奇数乘以奇数仍然为奇数，故3‘也 一定是奇数。 证毕 3(1(1定义k阶康托尔函数: c??o，一 :l妇柑? 一-，‘co文3‘xt,T，，t?【一;，;】 cz―z， 其中 k,?岳 2-3 显然 Ck f -C, 一f 3(1(2定义k阶康托尔采样点的位置f:，-tI，(Ck f 2-4 有效采样点的个数为2“个。 3(1(3由以上定义有k阶康托尔序列 Go -Ck九。荟Go 6 f--tk,一 2―5 3(2函数的康托尔对称性 设函数， f 在区间[一T,2，2_,2】内具有如下性质 ? f t ,0 2-6 ?,唯，t-(。O 2―7 3(3函数， f 的偏态系数s。乓 2―8 其中妒为函数， t 的三阶累量 妒-t3 2-9 f t dt一，f3【，o 一, -O]et 1,2 0 口2为函数l t1的方差 14 分一sff绀- 如m|蝴 讲2 O 2-10 矿书l s_函数M的x阶康托尔偏态系数班昔 2-11 其中贮为函数， f 的康托尔三阶累量 丧一l蝴f瓣l乎聪f州蝴 2―12 -j',2 0 p: 2为函数， f 的康托尔方差 t2G t f t dt-rf2Gm t +f -O]dt E 2一r ―引2 O 2-13 雠，粒 :i 3(5根据以上规定，可以有函数， f 在区间f一号，暑】的k 阶等间隔康托尔抽样。 ^ 厅 -f。也 -?厂 f 6e―f- 2-14 箭 和k阶等间隔康托尔偏态系数 墨-叁 2-15 其中九为序列的等间隔康托尔三阶累量 ，n 于d 磊一芝矗^?一弘【兀?一^十】 2-16 ，44 _ 口:为序列，I似 的等间隔康托尔方差 堑 垫 《-黟正?一擎阢?顿五， 2-17 ，d，?i 2 m 3(6函数， f 在区间【一暑，暑】的k阶康托尔抽样 一 筇?-丘吒 一芝弛Kp弦o‘ ―G@五? 2l8 M 一 和k阶离散康托尔偏态系数S;-等 2l9 其中虻为序列^O 的离散康托尔三阶累量 堑 塾 , 《-艺幺厍?一弘G?【五?―五十】 22O y-H H z p: 2为序列^伽 的离散康托尔方差 孥 孥 @ 2一弘G01 五?一擎G?【五。哆+五一】 2―21 气，d?i 蝌。k婿 2-22 根据以上本文定义的康托尔函数对信号进行分析处理，并且以康托尔分析后的数据 对其求出相应的偏态系数作为信号的特征参数，这样既简化了在处理中数据的量化比 较，也应用到了康托尔集合对于信号的对称性特征的敏感性。 4定义康托尔余函数 由康托尔集合的定义我们可知，将信号在一定区间内进行康托尔分割的时候，总是 要舍去对应区间的三分之一，这样对我们分析信号来说，意味着将信号的部分原始信息 丢失，也许就是这丢失的三分之一部分可能蕴含着表征信号特征的重要信息，为了更好 的提取原信号中的特征信息，我们将经康托尔集分割舍去的那部分信息重新拣拾回来， 将其也作为信号的特征通道，称此部分为康托尔余函数。那么原信号的特征参数就可以 看成是由两部分组成，即康托尔函数和康托尔余函数(如图2-2所示( 1 康托尔集合是无限的完备集，但是可以根据实际情况选择分解的阶数，本文主要是 以康托尔的三节分解为例进行数据的分析和处理( 由以上的定义可知原信号大体上分为两个部分即D参数部分和C参数部分如下图所示。 D参数为康托尔分解后继续向下一阶三分分解的部分，C参数为康托尔分解后保留的不 分解的部分即为该分解区间的三分之一部分。 如图2-2所示，对任意信号s来说，根据康托尔的三份特性原信号可以表示为: 口1，2a„„„? 2―23 即s 善G+军q 图2―2 2 康托尔的几个相关定义 康托尔集合是无限的进行三分分解，则在第n次去掉的开区间是 CTI x 专，争c才’-亭，争，((„((cE嘞 -c等，等黾 定义康托尔参数: D―p f渺 C-po冲 西 砌 其中CT、DT为相应的分解后对应区间 特征参数的规定:由以上的定义，我们规定经康托尔函数分解的 原信号经处理后所得到 的参数是对应的偏态系数，称为康托尔偏态系数。 ?2(2相关的小波理论 在信号分析中，傅立叶变换定义了“频率”的概念，用它可以分析信号能量在各个 频率成分中的分布情况。傅立叶变换能较好的刻画信号的频率特性，然而，它几乎不提 供信号在时域上的任何信息，即在时空域中没有任何分辨率。 而对于离散傅立叶变换，一旦窗函数g 0选定，其时频分辨率就已确定，并且不随 频率珊和时间f而变化(通常为了提高时、频域的分辨率，我们希望Af、A?都尽量小， 但由傅立叶变换的性质得知，?f和A?不可能同时减小，其一 方的减小必然引起另一方 的增大，即著名的海森堡测不准原理:厶f’?珊zc c为一常数 ，因此时、频域的分辨 率不可能无限制的提高。 对于一个非平稳的时变信号，它的商频部分我们希望采用高的时域分辨率而相对低 17 的频域分辨率;分析信号的低频部分我们则希望采用低的时域分辨率和相对低的频域分 FourierTransform，简称STFD的固定时频窗El就满足不了分析信号的要求。 小波变换的思想来源于伸缩与平移方法。小波概念的真正出现于1984年，法国地 共同进行研究，发展了连续小波变换的几何体系，这使我们能够 将一个信号分解成空间 和尺度 即时间和频率 的形式，同时又不失原有信号所包含的信息。小波分析中正交 函数系构造方法正是基于这种思想进行的。 析的思想;另一个具有突破性的进展是1987年，Mallat巧妙地将计算机视觉领域内的 多尺度分析的思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此之前提 出的各种具体小波的构造方法，给出了构造正交小波基的一般方法和与FFF相对应的快 发表了长篇论文，证明了具有有限支集正交小波基的存在，并且计算出不同长度的离散 小波基，引起了广大数学家、观察学家、物理学家甚至某些企业家的重视，由此将小波 分析的理论发展于实际应用推向了一个高潮。 小波基最大的特点是具有可变的时频乘积窗口，它采用了非均匀分布的分辨率;在 信号低频段采用的频率分辨率和高的时间分辨率，在信号高频段则采用低的频率分辨率 和高的时间分辨率。这充分体现了自适应分辨率分析的思想。 因此，小波相当于一个数学显微镜，具有放大、缩小和平移等功能，通过检查不同 放大倍数下的信号变化来研究信号的动态特性。它为多分辨率分析、时频分析、子代编 码等提供了统一的分析框架。人们普遍认为，小波分析是调和分析一傅立叶分析的一个 重大突破。 由于小波基具有可交的时频乘积窗口，它能很容易的对奇异 信号进行分析(目前， 国外已将它应用于地震分析和语音识别，可以进行地震预测和语音合成。由于小波基具 有较小的时频窗口乘积，通过信号的多分辨率分解，能将能量更加的集中。在其他应用 领域，如偏微分方程的求解的湍流、自适应小波基智能信号处理与检测、多标度分行与 小波分析、小波神经网络等，小波技术都具有较高的应用价值。 ?2(2(1连续小波基函数 叶变换妒@ 满足条件 f学„ 协zs， 则称妒 f 为一个基本小波或小波母函数，并称上式为小波函数的可容许性条件。 小波函数一般具有以下特点: I 小――它们在时域都具有紧支集 定义域有限 或近似紧支集。原则上讲，任 何满足可容许条件 2-25 的r僻 空间的函数都可作为小波目函数 包括实数函数或复数 函数、紧支集或非紧支集函数、正则或非正则函数等 。但一般情况下，常常选取紧支 集或近似紧支集的 具有时域的局部性 具有正则性的 具有频域的局部性 实数或复 数函数作为小波母函数，以使小波母函数在时频域都具有较好的局部特性。 2 波动性――由于小波母函数满足可容许条件 2(25 ，则必有妒p_(。一0，也即 直流分量为零(因此小波必有正负交替的波动性。 连续小波基函数见， f 的定义: 将小波母函数妒O 进行伸缩和平移，设其伸缩因子 又称尺度因子 为4，平移因 子为f，令其平移伸缩后的函数为妒(，O ，则有: 妒(J f 14 甲 生二三 ， 4 o，f?R 2-26 4 称吼， t 为依赖于参数4，f的小波基函数。由于尺度因子口，平移因子f是取连续变化的 值，因此称妒(。 f 为连续小波基函数。它们是由同一母函数妒 f 经伸缩和平移后得到的 一组函数系列( 由于小波基函数在时间、频率域都具有有限或近似有限的定 义域，因此，经过伸缩 平移后的函数在时、频域仍是局部性 的( ? 定义小波母函数妒 f 窗口宽度为缸，窗口中心为f。，则连 续小波吼， f 一口 妒 争 的窗口中心为 f(，-ato+f 2―27 窗口宽度为 At(，-aAt 2―28 傅立叶变换为妒。，p ，则有 妒。 ? 一4毛一，“妒 口? 2―29 其频域窗口中心为 甜(。(一1?。 2―30 口 窗口宽度为 可见，连续小波钆。O 的时、频域窗口中心及宽度均随尺度 口的变化而伸缩。若我 们称出??A珊为窗口函数的窗口面积，由于 可见，连续小波钆， f 的时、频窗口面积不随参数口，f而变。 海森堡测不准原理告诉我 们:,，A?的大小是相互制约的，即 缸(??2―1 2―33 ’ 2 ?2(2(2连续小波变换的概念与性质 将任意r俾 空间中的函数厂 f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数，O 的连 续小波变换 ContinousWaveletTransform，简记为CWT ，其表达式为 CWT加，小t， f , f 一pl―I， f 叫孚卜 2-34 小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换。我们称CW,"， 4，?为小波交换系 数。小波基不同于傅立叶基，小波变换与傅立叶变换有许多不同之处，其中最重要的是， 小波基具有尺度4、平移r两个参数，因此，将函数在小波基下展开，就意味着将一个 时间函数投影到二维的时闻(尺度相平面上。并且，由于小波基本身所具有的特点，将 函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征(从时频分析的角度来看， 小波变换具有如下特点: 1 将CWT的式 2-34 同S1Fr的 2-25 式相比较，若令 laI 叫字 饥朋叫卜妒M 2-35 则CWT可看成为是一个slrI不。任意函数在某一尺度4、平移点fit"上的小波变换系数， 实质上表征的是在f位置处，时间段4&上包含在中心频率为,、带宽为A,频窗内 的频率分量大小??随着尺度口的变化，对应窗口中心频率,及窗口宽度A,也发生 化 。因此，与s?呵本质不同的是，小波变换是一种变分辨率的时频联合分析方法。 当分析低频 对应大尺度 信号时，其时间窗很大、频率窗很小，而当分析高频 对应 小尺度 信号时，其时间窗减小、频率窗增大(这恰恰符合实际问题中高频信号的持续 时问短、低频信号持续时间较长的自然规律。因此，同固定式窗的s11不相比，小波变 换在时频分析领域具有不可比拟的优势，因而，目前正被广泛的应用于是频联合分析机 目标辨识领域。 2尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过渡完全基。这 意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。若用J00，f;4’，一 描述两个基 函数9 4，f 和矿 4’，f( 的相关度的大小，则 K， 口，r;a’，f’ -c;1e妒。芦 f ’妒|(，，tO矽 2―36 j，(表征了连续尺度、时移半平面0，f 由于4，0所以称半平面 的两个不同点之问的 CWT系数的相关关系，也称它为再生核或重建核 再生和重建的含义是指由尺度(平移 相平面上的已知点，根据再生核公式可再生或重构出某一点 ，它的结构取决于小波的 选取( 有以上分析可知，CWT系数具有很大的冗余量。从节约计算量来说，这是它的缺 点之一。但从另一方面来讲，我们可以利用CWT的冗余性实现去噪和数据恢复的目的。 从这方面来讲，其冗余性又成了CWT不可替代的优势。 连续小波变换是一种线性变换，它具有叠加性、时移不变性，小波变换幅度平方的 积分同信号的能量成正比( ?2(2(3离散小波变换 由连续小波变换的概念可知，在连续变化的尺度4及时间f值下，小波基函数钆，? 具有很大的相关性，体现在不同点上的CWT系数满足重建核方程，因此信号，?的连 续小波变换系数c, 4，f 的信息量是冗余的。虽然在有些情况下，其冗余性是有益的 例如在去噪，进行数据恢复及特征提取时，常采用CWT，以牺牲计算量、存储量为 代价来获得好的结果 ，但在很多情况下，我们需要考虑的是压缩数据及节约计算量， 如在图像数据压缩、数值计算等领域。从这个角度考虑，我们希望在不丢失原信号俐 信息的情况下，尽量减小小波变换的冗余度。 在理想情况下，离散后的小波基函数,(满足正交完备条件，此时，计算的小波变 换系数无任何冗余度，可最大限度的压缩数据并减小计算量。但在有些情况下，提高小 波母函数的光滑性核对称性、减小小波基函数支集等方面的要求，与小波基函数正交性 的要求相矛盾，而小波基函数支基的减小与光滑性的提高等要求在小波应用中往往又起 着重要作用。因此，可适当放宽正交的要求换来较小的支集与较高的光滑性与对称性。 从这方面看，非正交的离散小波变换Discret 意义。 将小波基函数伊。 f 一4告妒 生手 的4，f限定在一些离散点上取值 即是针对 连续的尺度口和连续平移参数b的离散化，而不是针对时间变量f，这一点-q我们以前习 惯的时间离散化不同 。一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取 a(-4孑 册为整数，口o-1，一般取40一2 ( 关于位移的离散化，当口一20-1时，钆。O 一妒 f一力，通常对-f进行均匀离散取值， 已覆盖整个时间轴。为了不丢失信息，我们要求采样间隔f满足Nyquist采样定理，即 采样频率大于等于该尺度下频率通带的二倍。每当坍增加1，尺度口增加一倍，对应的 频带减小,半，采样率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。 设尺度历-0时f的时间间隔为L，则当尺度为2“时，f的间隔为2。t，此时钆(， f 可表示为 为简化起 9，(， r (2 妒 生:j:;:!马(2 妒 舌一^(L ――曼生一妒(， f ;肼，厅?z 见，往往把f轴用,归一化，这样，上式变为 妒。(。O 2-v伊 2一”t一以 2-37 任意函数的离散小波变换为 啊帆功2正厂o 。? f陟 2-38 ?2(2(4小波包变换原理 离散小波变换在低频频段其分辨率较高，而在高频频段其分辨率较差，即对信号的 Packet 频带进行指数等间隔划分。小波包分析 WaveletAnalysis 能够为信号提供一种更 加精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频部分进一 步分解，并能够跟据被分析信号的特征，自适应的选择相应频带。使之与信号频谱相匹 配，从而提高了时一频分辨率，因此小波包具有更广阔的应用价值( 关于小波包分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波包分解树 如图2-3所示。 图2-3 图2-3中，A表示低频，D表示高频，末尾的序号数表示小波包分解的层数 也即 尺度数 (分解具有关系: 小波包的分解与重构算法: 设g; f ?u;，则彰可表示为 g;o 一?d，4“。