求导的逆运算

求导的逆运算 第6章 求导的逆运算 ,本章的目标是“对于给定的函数f,求出函数使得”. FFf, ?6.1 原函数的概念 f原函数 设是区间上的函数.若存在上的可导函数,使得在上FIII ,ff成立,则称在区间上具有原函数,或称是在区间上FFFf,II的一个原函数. ff不定积分 若是函数在区间上的一个原函数,则在区间上的FII原函数的全体便是函数族 {:}Fcc，,FxC()， , 简记为. f称这个函数族为在区间上的不定积分,记为 I . fxdxFxC()(),，, fxdx()fx()其中积分号,为被积函数,为被积表达式,x为积分变为, 量,为不定常数.于是,由不定积分的定义,成立 C ,fxdxfx()(),dfxdxfxdx()(),(1) 或 ; ，，，，,, ,(2) FxdxFxC()(),， 或 dFxFxC()(),，. ,, ,,fFc，证: 因为是在区间上的一个原函数,故,有 ,FFI,,c，，,fff,这说明也是在区间上的一个原函数.若是在区间Fc，IGI ,上的另一个原函数,则,从而在区间上是GF,()0GFff,,,,I c常数.这说明.? GFc,， 基本积分法(由求导的线性性质) [()()]()(),,,,fxgxdxfxdxgxdxC，,，，. ,,, ,,,注意,当常数中至少有一个不为零时,不定常数能省去. C 112 应熟记的不定积分公式 fx()fx() fxdx()fxdx(),, ,，1x,，C x(1),,,0C，,1 1xxe eC， lnxC，(0)x, x xax ，C a lna 1 (1)x, cosxsinxC，arcxCsin，21,x sinx,，cosxC 11(cos0)x, tanxC，arcxCtan，221，xcosx 1 (sin0)x, ,，coxCt2sinx 12 chxshxC，ln(1)xxC，，， 21，x 21 ln1xxC，,， (1)x, shxchxC，2x,1 1111，x(1)x, ln，C thxC，22chx1,x21,x1 (0)x, ,，cthxC2shx cos2x2dx例 求 cotxdx 和 . ,,cossinxx， 2cos1x,,2cot1cotxdxdxdxxxC,,,,,,，解: . ,,22,,,sinsinxx,, 22cos2cossinxxx, dxdx,,,cossincossinxxxx，， ,,,，，cossinsincosxxdxxxC.? ，，, 注记 初等函数的原函数未必是初等函数,因此通常不能用初等函数 xsinxcosxe22dxdxsinxdxcosxdx具体地写出来.例如,,,dx,,, ,,,,,xxx2xedx等就不能表示为初等函数. , P练习题6.1() 1. 230 113 ?6.2 分部积分和换元积分 分部积分法(由函数乘积的求导公式) 若是区间上的可导函数,uv,I 则 . uxdvxuxvxvxdux()()()()()(),,,, 因此,不定积分和中只要有一个能算出,另一uxdvx()()vxdux()(),,个也能算出. nx, . 例1 求xedxn,,, nx解: 记 ,则有递推关系 Ixedx,n, nxnxnxnx,1. IxdexenxedxxenI,,,,,nn,1,, xI注意到,便能算出.? IeC,，n0 n,例2 求 . ln,xdxn,, n解: 记 ,则有递推关系 Ixdx,lnn, nnnn,1IxdxxxnxdxxxnI,,,,,lnlnlnln. nn,1,, I注意到,便能算出.? IxC,，n0 nn,例3 求 . cossin,xdxxdxn和,,, n解: 记Ixdx,cos,则有递推关系 n, nnn,,,1122Ixdxxxnxxdx,,，,,cossincossin(1)cos(1cos) n,, n,1,，,,,，cossin(1)(1)xxnInIC, nn,2 1n,1IxxnIC,，,，[cossin(1)]. nn,2n I注意到,便能求出. IxCIxC,，,，,sinn01 nJxdx,sin记 ,则有递推关系 n, nnn,,,1122Jxdxxxnxxdx,,,,，,,sincossincos(1)sin(1sin) n,, n,1,,，,,,，sincos(1)(1)xxnJnJC, nn,2 114 1n,1JxxnJC,,，,，[sincos(1)]. nn,2n J注意到,便能求出. JxCJxC,，,,，,cosn01 xnxn,例4 求 . exdxexdxncossin,和,,, xnxn解: 记,则有递推关系 IexdxJexdx,,cos,sinnn,, nxxnxn,1, Ixdeexnexxdx,,，coscoscossinn,, nxxnxn,1. Jxdeexnexxdx,,,sinsinsincosn,, xnnx,,11(1) exxdxxxdecossincossin,,, xnxnn,,122 ,,,,exxexnxxdxcossin[cos(1)cossin], xnxn,,122 ,,，,,exxInexxdxcossin(1)[cos(1cos)]n,xn,1. ,，,,，exxnInICcossin(1)nn,2 xnxn,12从而, , IexnexxnnInIC,，，,,，coscossin(1)nnn,2 1xnxn,1IexnexxnnIC,，，,，[coscossin(1)] . nn,22n，1 xexI注意到,便能求出. ,(sincos)IeCIxxC,，,，，n012 xnnx,,11(2) exxdxxxdesincossincos, ,, xnxnn,,122 ,,,，,exxexnxxdxsincos[sin(1)sincos] , xnxn,,122 ,，,,,exxJnexxdxsincos(1)[sin(1sin)] n, xn,1 ,，,,，exxnJnJCsincos(1). nn,2 xnxn,12从而, JexnexxnJnnJC,,,，,，sinsincos(1), nnn,2 1xnxn,1JexnexxnnJC,,，,，[sinsincos(1)] . nn,22n，1 xexJ,(sincos)注意到,便能求出.? JeCJxxC,，,,，n012 nn,xxdxxxdxncossin,和,例5 求 . ,, nnIxxdxJxxdx,,cos,sin解: 记,则有递推关系 nn,, 115 nixnix IiJxedxixde，,,,nn,, nixnixnix,1 ,,，,,，，ixeinxedxixeinIiJ()nn,,11, nixnix,1 ,,，,,，ixenxennIiJ(1)()nn,,22 nnnn,,11. ,，,,，,，,,xxnxxnnIixxnxxnnJsincos(1)[cossin(1)]nn,,22比较实部和虚部,便得到 nn,1, IxxnxxnnIC,，,,，sincos(1)nn,2 nn,1. JxxnxxnnJC,,，,,，cossin(1)nn,2 J,和, 注意到 IxCIxxxC,，,，，sin,sincosJxC,,，cos1010 ,便能算出.? ,，，xxxCcossinIJ,nn 换元积分法(由复合函数的求导公式) 为了求出函数在区间上的gI ux,,(),()I不定积分,只需找到上的可导函数和区间上的gxdx()I, f函数满足 gxdxfxdx()(())(),,,(1) ; (2) 能求出不定积分fuduFuC()(),，. , 此时,gxdxFxC()(()),，,. , 2,21nx,n,例6 求 ,. xedx, n,1222112122222nxnxx,,xedxxedxxedx,,解: . ，，,,,22 21nu,1212nx,ueduFuC,，()求出 ,便得到xedxFxC,，().? ,,2 ,abab,,,0,,,例7 求 ()axbdx，,. , 1,,，1,;，，,,(),1axbC,1a(1)，,,,,解: .? ()()()axbdxaxbdaxb，,，，,,,,a1,ln,1axbC，，,,,,a, 116 ,(lnln)x例8 求 . ,,dx,,xxln ,,(lnln)(lnln)xx,解: ,,dxdxxdxln(lnln)(lnln),,,xxxlnln 1,,，1,，,,;(lnln),1xC,，1,.? ,, ,，,,lnlnln,1xC,, dx,0ab,例9 求 . 2222,axbxsincos， adx(tan)dxdx(tan)1b解: ,,2222222,,,aaxbxbaxabsincostan，，21(tan)，x b1a,，arctan(tan)xC .? abb 22axdxa,,,0例10 求 . , 2,x2222解: axdxxaxdx,,,,,,22ax, 22ax,1222 ,,,，xaxdxadx,,2222axax,, 1x,,22222 , ,,,,，xaxaxdxad,,,,2a,,x,,1,,,a,, 222xaxax,1,,22故 .? axdxd,,，,,,,222a,,x,,1,,,a,, dxcosx例11 求 ,. dx,,13，，xx cosx解: . dxxdxxC,,，2cos2sin,,x 117 2 dx，3，，dxdxxdx(3)233，，， ,,,,,,,13131313，，，，，，，，xxxx 2322(13)xdx，，,，， ,，,，,dxdx3232,,,1313，，，，xx .? ,，,，，，232ln(13)xxC 11dxdx例12 求 ,. ,,cosxsinx 111解: dxdxdx,,(sin)(sin)22,,,coscos1sinxxx,11sin，x,, ,，lnC. ,,21sin,x,, 11,,, dxdx(),,,sin2x,cos()x 2 ,,,1sin()x，,,,111cosx,,,2lnlnCC,，,，.? ,,,,,221cosx，,,,,1sin()x,, ,2, 11,dxdxn,例13 求 ,,. nn,,sinxcosx 1Idx,解: 记,则有递推关系 nn,xcos ,，,，,nnn112Ixdxxxnxxdx,,,,,cossincossin(1)cos(1cos) n,2,, ,，n1,，,,,，cossin(1)(1)xxnInIC, nn,2 1sinx,，,，InIC[(2)]. nn,2n,1,nx1cos 11sin，x,,IIxCIC,，,，,ln注意到,便能求出. n01,,21sin,x,, 1Jdx,记 ,则有递推关系 nn,xsin 118 ,，,，,nnn112 Jxdxxxnxxdx,,,,,,,sincossincos(1)sin(1sin)n,2,, ,，n1, ,,，,,,，sincos(1)(1)xxnJnJCnn,2 1cosx,,，,，. JnJC[(2)]nn,2n,1,nx1sin 11cos,x,,J注意到,便能求出.? JxCJC,，,，,lnn01,,21cos，x,, dxdx例14 求 ,,. ab,0,,abx，cosabx，sin dx解: 只需求出. ,abx，cos xddxx2(1) ab,.这时,只需求出 ,,，tanC,,x1cos2，x2cos 2 xddxx2,或 ,,，cotC. ,,x1cos,x22sin 2 xddx2(2) ab,. ,2 ,,22xxabx，cos22abab,，，sincos，，，，22 2abx,. ,，arctan(tan)C22ab，2ab, xddx2ba,,2(3) . ,,xxabx，cos22()sin()cosabab,，， 22 baxbax,,d(tan)1tan，21baba，，22.? ,,，lnC2,2222bax,baba,,,,bax,1tan,1tan,,,ba，2ba，2,, P练习题6.2() 1(2,4,6,8,9,11,12),2,3,4(5,6,9,12,17,19,21, 238 22,23,25,29,31,32),6(3,4),7,8. 119 120