相切双导体球的电容公式研究

相切双导体球的电容公式研究 Vol, 30 No, 930 9 第 卷第 期理大 学 物 2011 COLLEGE PHYSICSSep, 20119 年 月 相切双导体球的电容公式研究 谭 志 中 ( 226007)，南通大学 理学院江苏 南通 : ，，摘要鉴于相切双导体球的电容公式是由级数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的为了研究其简洁的表达结果再次运用镜像法研究了相切双导体 ，，“”MATLAB 球电容的通用公式创造性地应用平衡缩放方法得到了一个比较简洁的近似公式根据应用 软件对近似公式 ，，，3 确公式的 种误差比较证明了该近似公式具有非常高的精确性完全可作为常用公式使用该近似公式具有很好的实用与精 , ，,另外在与其他结论对比时证明了其他结论的正确与否 性和 通用性 : ; ; ; ; ,关键词镜像法相切导体球平衡缩放简洁电容公式误差比较 : O 441, 1: A: 1000-0712( 2011) 09-0026-05中图分类号文献标识码文章编号 两相互感应带电导体的静电问题是电磁学难点 , ，之一处理此类问题的困难在于两导体的面电荷密 ，度都是未知的一般不容易直接用拉普拉斯方程或 , 者简单的电像法求解孤立导体的电容问题是一个 ，,1,、,2,古老问题文献运用重复镜像法研究了两 ( 1 ) ， 个相切导体球构成孤立导体如图 的电容公式 , 得到了用级数表示的结果为了研究电容公式的简 ，， 洁表达结果本文再次研究了这类问题的电容公式 1 图 相切双导体球系统 U，Q、q ，,1,、,2, 位仍然保持为 则需要在 相对的导体球内分 虽然也采用了镜像法但计算方法与文献0 ，, ，,2,不同表达结果也有差别研究发现文献的结 q、Q，2 , Q、别虚设地放置镜像电荷 如图 所示而 1 1 1 , “”论存在错误本文创造性地应用平衡缩放方q，的出现又使彼此相对的导体球内产生附加电位 1 ，法得 到了一个比较简洁的近似公式实现了表达结Q、q又需要在 相对的导体球内分别虚设地放置镜 1 1 , MATLAB 果的 创新通过应用 计算软件将近似公式 q、Q，……， 像电荷 如此下去最后每个球内都存在2 2 ，与精 确公式进行对比研究发现该近似公式在全部 n ( n, n ) 个点电荷? 这 个虚设的点电荷之和就是 ，?范围 内具有非常高的精确度完全能够作为常用公 ，式使 用因而该近似公式具有很好的实用性和通用，孤立导体所带的电荷最后导体球相连成的孤立导 ,性 U，C = Q / U 体的电位仍然保持为 根据 即可以求出 0 ,孤立导体的电容 1重复镜像法计算相切导体球电容 R，r 设在真空中有两个半径分别为 的导体球相 ，1 , 切而连成孤立导体如图 所示研究该孤立导体的 ,电容通用公式 ，由于孤立导体的电容与电荷的多少无关故可 在两个孤立的导体球心处分别虚设地放置点电荷 2 图存在镜像电荷的双球系统Q、q，U( 同时使它们单独产生的电位相等为 考虑无 0 ) , ，2 Q穷远处的电位为零当二导体球相连成孤立导体 根据上述分析设图 中左球面内镜像电荷 i ，Q q 时与 的靠近将使彼此相对的导体球内产生附 Ox，qO与 相距为 右球面内镜像电荷 与 相距为 1 i i 2 ，加电位为了消除产生的附加电位使得该导体的电 y, qQ，电荷 是电荷 相对右球球面的镜像电荷 i i + 1 i Qq，是电荷 相对左球球面的镜像这些镜像点电 i + 1 i ) 09 ) 26; ) 02 ) 19:2010 :2011 收稿日期修回日期 ( D /2009 /01 /127) :基金项目江苏省教育科学十一五规划立项课题资助 ( 1965—) ，，，，，,:作者简介谭志中男江苏兴化人南通大学理学院副教授硕士主要从事方法论研究与物理教学研究工作 2 ,3，4,2 : R= x d，r= y d( 1) 据镜像理论有, ,1,，该结论与文献结论等价但同时证明了用公式 112 2 ) ( 2) R= x ( d )y ) ， r= y ( d )x ,2,, ( ) ,文献的表达结果存在错误参见后文的比较 nn ) 1nn ) 1 = 1，2，3，…，( 2) :n 其中 由式递推得到 2两个特殊电容公式2 R( d ) x ) 11d n ) 1) ( 3)x= = n + 1 2 ) R Rr x) R xd( d ) x ) ) r 2, 1= r R n + 1n ) 1当 的情形 n ) 12 ? r( d ) y ) 1 1 d n ) 11 1) ( 4)y= = ,8,:) = ln 2 )1 由文献得知 n + 1 Σ2 ， ， ) r Rr y) r y 1 + 2n 2nd( d ) y ) ) R n + 1n ) 1 n ) 1n = 1 ( 3 ) 、,5,—,7,根据文献解差分方程方法解式 式 = r ，R 时得到所以当 ( 4) :得到 ? 112 C = 4d + Rr=πε) + 0 , ， ， , rr r + dn R + dn dn n = 11 ) 1 ) x= R ，x= R ( 5)2n 2n ) 1 ， ， ， ， r + dn dn ?Σ 11 8R 1 + = 8Rln 2( 16)πεπε R R) 0 0 , ， ， , 1 ) 1 ) 1 + 2n 2ny= r ， y= r ( 6) n = 12n 2n ) 1 ， ，， ， R + dn dn 1,、,2,,9,,,Σ这与文献和文献的结论完全相同,3，4, :根据镜像理论可得各镜像电荷间关系为 2. 2 r = 0 当 的情形 rR q= ) Q，( 7)Q= ) qr = 0 ，d = R，( 15) 当 时得到 由式得 1 1 d d ? r R 1 1 2 q= ) Q， Q= ) q( 8)C = 4d + RrR= 4πε+ ) πεn + 1 n n + 1 n00 , ， ， , d )x d )y r + dn R + dn dn nn n =1 ( 5) 、( 6) ( 8) :分别将式式代入式并进行递推得 Σ( 17) ,3，4, rQ )R q ,这正是一个孤立导体球的电容公式 = 1，2，3，…( 9)， n Q= Q=， 2n 2n ) 1 r + dndn ，( 15) ，以上情形说明电容公式具有普遍适用性即 Rq ) rQ n = 1，2，3，… ( 1)0， q= q=， 0r , ，0R , ( 15) ,，?? ?? 时电容公式均成立 2n 2n) 1 R + dndn ( 9) 、( 10 ) , ，式式即为镜像电荷的通用公式所以半 3简洁电容公式R 径为 的导体球内的总电荷为 ?? ( 15) ，电容公式是由级数表示的表达结果比较 rQ R q Q' = Q= Q + ) ( 11)Σ i ， ， ，, ( 15) “冗长缺乏实用性下面拟根据式应用平衡r + dn dn i = 0n = 1 Σ 缩”、放方法构造一个比较简洁实用的相切双导体 r 半径为 的导体球内的总电荷为 ??球 , ( 15) Rq rQ电容的近似公式在式中记 ) q' = q= q+ ( 12) Σ i ? ， ， R + dn dn i = 0n = 1dd 2 ( 18)) = f(R ，r) + ΣΣ， ， r + dn R + dn n ，R、r 于是两个半径分别为 的相切导体球的总 n = 1Q= Q' + q'，( 11) 、( 12) 电荷为 由式式得到 总 ( 15) 则由式不难得到 ?? rQ Rq Rq + rQ 112 Q= Q + q + ( 13)C= 4 d + Rr= +πε ) +) Σ， 0 总 ， , ， ， , r + dn R + dn dn r + dn R + dn dn n = 1n = 1 Σ Q RrU= ，U'=由于孤立导体球的电势是 4d + R，r) ( 19)f( πε0 0 0 , , 4Rπε d 0 q R，r，n ,0 ，d / a + d / b 根据基本不等式 ? 对于 ，，而二导体球相连成的孤立导体是等势体所以4rπε 0 4d / ( a + b) ( a，b，d , 0，其中 等号成立的充要条件是 qR= rQ，d = R + r，( 13) 可设定 由于 所以由式得到 dd4 ? a = b) ，+ 得到? d11 2 + 2n1 r + dn R + dn) ( 14)+ Q= rQQ + 总 ， ， r + dn R + dn dn R n = 1 ( 18) 所以由式得到Σ ?? Q / U ，C = 根据 可求得该孤立导体的电容应用式 d d 2 1 1f( R，r) = ) 4 ) +?Σ QQ， ，， ， 总总r + dn R + dn dn1 +2n 2n n =1n =1( 14) C = = 4R 由 πε得到0 ?Σ U Q 0 1 1 )8,: = ln 2 ) 1，,由文献得知所以 Σ ?， ， 1 + 2n 2n n = 1 112 = 4d + RrC( 15)πε +)0 ， ， , , r + dn R + dn dn ( 20)f( R，r) 4ln 2 ) 4? 将此代入上式得到n = 1 Σ 28 30 大 学物理第 卷 ( 20) ( 19) ( d = r + R)将式代入式化简整理得注意 2 ( R ) r) 4 Rr + 2 ln C4( 21)?πε0 ， ， R + rR + r ( 21) 式是被有限地缩小了的孤立相切双导体 , ( 21 ) ，球的电容公式由于式被有限地缩小所以需 , 要对其相应系数放大才能更加接近精确公式由于 ( 19) f( R，r) ( 21) ，式中的 在式中被缩小故这里尝试 f( R，r) Rr / d，( 21 ) 放大 的系数 即放大式中的表达 3 近似解沿精确解的误差棒形图Rr / d, ，式 下面拟根据基本不等式进行放大这里通 : t2 过创新构造了如下基本不等式对于 ?总能得到 : 3 图 传递的信息是?相切双导体球的孤立电 ;容值随着小球向大球半径的靠近而非线性地增大 2 Rr 2 + tRr槡 ?近似解沿精确解的任何一个对应值之间的误差都 ( 22)? 2 2 R + r R+ r+ tRr，,非常小无法辨别出误差的存在 槡 2) , 0—1, 0 ， 最小二乘偏差在 之间取步长为 = 2 ，( 22) ( t t ，R = r 当 时式为恒等式当 时常数 为) 7 ) ，( 22) , ( 22) 任意值式仍然为恒等式式中的待定常 0, 05: 1, 1505 × 10 , 获得的最小二乘偏差为这是非 t , 数 的值可以根据曲线拟合的方法得到所以由式 , 常小的值该结果表明近似解与精确解在全部连续 ( 21) 、( 22) :式得到相切双导体球的电容公式 20 ，对应的 个值之间的绝对误差非常小这种误差几 ,乎可以忽略不计 2 2 2 + tRr ( R )r ) 槡 3) , ( 23 ) 相对误差对比指近似公式与精确公 ln 2+ C = 4πε0 2 2 ， ， R + rR+ r+ tRr ( 15 ) ，0—1, 0 ，式对应值的比值在 之间取步长为 槡 0, 05( 20 1 ( 23)获得的相对误差值如表 所示表中有 个相 ( = 2. 7)t 其中 ) ,对误差对比值 ( 23) t 式中的常数 的值是根据曲线拟合的方法1 表 近似公式与精确公式值之比的相对误差表 , ，MATLAB 得到的具体方法是应用 计算软件编制 ，( 23) ( 15) 曲线拟合程序将式对精确式的曲线进行 ，t = 2, 7,拟合从而得到相应的常数 r / R r / R 比值误差比值误差( 23) R r ，式中的 与 具有和谐性与平权性是比 0, 05 1, 000 10, 55 1, 000 0, ，( 23 ) 较简洁和实用的近似公式特别指出式虽然 0, 10 1, 000 2 0, 60 1, 000 0 ，是近似公式但该式在两种特殊情形下仍然是严格 0, 15 1, 000 2 0, 65 1, 000 0 0, 20 1, 000 1 0, 70 1, 000 0 ，: r = 0 ，( 23) 的精确公式如当 时由式能够直接得到 0, 25 1, 000 1 0, 75 1, 000 0 C = 4R，; R = r πε这正是孤立导体球的电容公式当 0 0, 30 1, 000 1 0, 80 1, 000 0 ，( 23) = 8Rln 2，C 时由式能够直接得到 πε这也正 0, 35 1, 000 0 0, 85 1, 000 0 0 0, 40 1, 000 0 0, 90 1, 000 0 ,1,、,2,,9,,是文献和文献给出的结论 0, 45 1, 000 0 0, 95 1, 000 0 0, 50 1, 000 0 1, 00 1, 000 0 43 种误差对比 ( 23) ，3 为了研究式的精确程度这里拟采用 种 : 、对比方法一是绘制沿精确解曲线的误差棒形图该 k0，1 ,( k = r / R)1 ，,表 的数据表明在 ?其中 ; 方法直观形象二是计算近似解与精确值的相对误 ，的范围内得到的电容近似公式与精确公式在全部 ; ,差三是计算最小二乘偏差进行判断 ) 4 20 10 连续 个取值中的相对误差均不高于 量( 15) ( 23 ) , ，式为精确公式式为近似公式下面 , ,级这种非常高的精确度近乎完美 MATLAB ，应用 计算软件编制计箅程序分别得到误 、通过得到的误差棒形图最小二乘偏差和相对 ，,差棒形图相对误差对比表和最小二乘偏差值 ，，误差对比表不难发现在全部连续范围内电容近似 ， 公式完全可以取代精确公式并且电容近似公式 1), ，Rr，k = r /误差棒形图不失一般性设 ?记 ( 23) ,，R r 形式简洁其中 与 具有和谐性和平权性R，k0，1,, 0—1, 0 ，0, 02,并且 ?在 之间取步长为 ( 50 ) ，3 获得误差棒形图图中有 个误差对比点如图 5与其他结论对比, k = r / R ， 所示横坐标为 变量纵坐标为相对电容值 ,1,、,2,1 文献分别应用镜像法研究图 的孤立 ( C= 4R ) ,图中以 πε为数量单位 0 0 , 2,，,2,,得到了不同的结果在与本文结论的对比研究中发产生错误的原因是文献在将奇偶项镜像电 ，,1,，,2,现文献的结论是正确的文献的结论存在 ，荷合并成为通用公式时出现了表达结构的错误如,错误 ,2,( 27) 果将文献中的式改写成为5, 1 ,1,与文献的结论对比 ?? 4Rrπε 1 1 1 1 0 ,1,1 文献应用镜像法得到图 的孤立相切双导 C = ) +)( 29) ΣΣ, ,， ， ， ， +nn +1R +rn +1β +nα n =0n =0体球系统的电容为 0，( 29 ) n 注意 的起始项是 这样调整后的式即与式 ? 2 2 ( 2n + 1) D ) L ( 15) ( 29) C ，完全等价因为式中的级数项可以变形为 =1 )2Rr ( 24)Σ 22 22 ??4( R + r)πε nD ,( 2n +1) D ) L , n = 10 1 11 1) ) + = ΣΣ ， ， ， ， + n n +1+ n n +1 = R + r，L = R )r ,α β D 其中 n = 0n = 0 ，( 15 ) ( 24 ) ，研究发现式 与式 完全等价由式 ?? 1 11 11 1) ) + + + Σ( 15) ( 24) ，,Σ 合并化简即可得到式具体化简如下 ， ， ， ， ， ， + n n + n n α β α β n =1n =1( 15) ( D = R + r =由式化简得到注意统一代换 ??2 1 11 1( R + r) d，L =R )r ) ) ) + + Σ ， ， ， ， Rr+ n n + n n α β n = 1n = 1 Σ ? 11CRr2( 29) ( 28) 用式减式得 ) +== 1 + Σ， ， d4r + dnR + dn dn 2πε 0 n = 14Rr πε ( R + r) 0 ? =4( R + r)= C πεΔ d 0 R + rRrDD 2 rR 1 + ) ( 25)+ Σ2 ， ， r + Dn R + Dn n D n = 1( 29) ( 28) d，4显然式比式增加了 πε这样调整后的式 0 2 2 D ( 2n + 1) 2DD ( 29) ( 15) ,即与式完全等价 ) +==) 因为2 2 2 + Dn R + Dn nr nDn+ dn + rR 2 2 2 6 结语 4D( 2n +1) 2 2,D( 2n +1) ) L, ( 26)) ) = 2 2 2 2 2 2 n D( 2n +1) ) Ln,D( 2n +1) ) L,( 22) “通过不等式的创新构建及应用平衡缩 ( 26) ( 25) ( 15 ) ( 24 )代入式即可知式与式将式 ”放方 , ，误差研究表法得到了一个比较简洁和实用的近似公式, 等价这从另一个侧面对两种公式的正确性进行了 ，明该近似公式具有非常高的精确度通常情况下完全可, ，( 15 ) 相互验证需要指出的是从形式上看式比式 , ( 23) ，以取代精确公式使用式由于其简洁性和平权性因( 24) ,简洁 ，( 23) 而具有比较高的实用性可以认为给出式是一次比 5. 2,2,与文献的结论对比 ,较有意义的创新,2,1 文献应用镜像法得到图 的孤立相切双导 ，( 4) 另外对于相交的双导体球如图 和相切的三导体球系统的电容为 ( 5) , 体球如图 的电容问题至今未能解决这里拟对相交 ?? 4Rrπε 1 1 1 10) ) C = + ( 27) , Σ的双导体球的电容问题提出一个猜想对于相交的双导Σ , , ， ， ， ， R +r +n n +n n α β n =1n =1d，{ r，R} dr + R, ，体球设两球心间的距离为 则有??笔 rR，= = ,其中 α β ，C 者认为此情形下的相交双导体球的电容 应该介于孤 R + r R + r ，立的单导体球与相切的双导体球的电容之间即 ( 27) ，r = 0 C我们认为式存在错误当令 时得到 2= 0，, 这显然是错误的因为相切孤立导体球可以在 ( R )r) 2 4. 7Rr槡 +ln 2 ( 30)4RC4πε??πr = 0，( 15 ) 1,0,极限情形下取 本文结论式和文献的 2 2 ， R +r， R+r+2. 7Rr槡 ε 0( 24) , ，= R / d，= r 结论式都说明了这一点另外将 α β / d ,2,( 27) 代入文献的结论式变形得到 ? 4 Rrπε 1 1 2 0 + ) C == Σ， ， + n + n n R + rα β n = 1? 1 1 2 4Rr ) ( 28)+ πε0 ， ， R + dn r + dn dn n = 1 Σ ( 28) ( 15 ) ( 28 ) ( 15 ) ，将式与式对比可知式与式不 ，( 28 ) ( 15 ) 4d, 等价式比式少了 πε这进一步说明 0 ,2,,文献的结论存在错误 4 图 相交的双导体球 30 30 大 学物 理第 卷 ( 8) 1: 3-15, , ,J,, 莫克威相切双导体球的电容长沙交通学院学 2,,，1996，12( 1) :9 -12, 报 ,3,, ,M,, 2 , : ，冯慈章电磁场版北京高等教育出版社 1983:5 2-60, ，, ,M,, : ，1980:梁灿彬等电磁学北京高等教育出版社 4,, 87-88, 5 图相切的三导体球，, N ,J,, 谭志中等阶电阻网络等效电阻的研究河北 ,5,( 30) ，式左右取等号的情形是两种极限情形即 ( ) ，2004，28( 2) :14 9-154, 自然科学版谭师范大学学报( 30 ) ，当双导体球内切时式的左端等号成立当双导 ，, 2 ×n ,J,, 罗礼进阶网络等效电阻的再研究南志中 ,6,( 30) , ( 30) 体球外切时式的右端等号成立式仅仅是 ( ) ，2010，9( 1) :8 6-89, ，自然科学版谭志中通大学学报 ，一个取值范围对于相交的双导体球的电容能否得 , 陆建隆二端梯形网络等效复阻抗的普适研 究 ,J,, ，2009，28( 7) :2 9-33, ，， ,7,大学物理归行茂李重华( 23) ，到如式的简单结果以及相切三导体球的电容 , ,M,, : ，1993: 等数学手册上海上海科学普 及出版社，,公式是什么这是值得进一步研究的问题 307, ,8,:参考文献 ，，, ,M,, 2 , :舒幼生胡望雨等物理学难题集萃版北京 ，1999: 548-552,高等教育出版社 ,9, ,1,, ,J,, ，1991，10童国平两个接触球孤立导体大学物理 conductor of two tangenstp heresStudy on capacity formula for a TAN Zh-zhongi ( College of Sicence，Nantong University，Nantong，Jiangsu 226007，China) Abstract: Owing to thec apacity formula of two tangent conductor sphereseing expre bssedby the series，the basic capacity formula of two tangent conductor spheresis restu died by using the method mofi rror image for stud- ying its concise expression result, A concise capacity formula is gained by applying the methodof “balance zoom”， the approximate formula is contrast iwth the accurateor mfula on threek inds of errora ccording to thea pplication of MATLAB software, The approximate formula is provided with high precision，it can become a commoonrm ufla to use，thea pproximate formula has goodfu nction in general case, Key wods: mirror image; tangent conductor spherealsa; nc be zoom methodc; on cise capacity formula; com- r paree rror ( 23 )上接页 ，， 综上述知惯性力疏通了牛顿力学的各个节结 ,3,，, 高炳坤谢铁曾地球所受的一种易被忽视的惯性力 ,J,, ，1991，10( 11) 4: 6,; 大学物理 理顺了牛顿力学的脉络可以说正是惯性力拯救了 ,牛顿力学 ,4,, ,J,, ，高炳坤力学中一个令人费解的问题大学物理 1995，14( 5:) 2 0,:参考文献 , ,J,, ，2001，20( 3) :1 5,高炳坤能量追踪大学物理 ,5, ,6, , 4 ,J,, ，高炳坤从 个参考系看弹射过程大学物理 ,1,, ,J,, ，2010，29( 8) :1 1,高炳坤探索惯性系大学物理 2010，29( 7:) 1 0,,2, , ,J,, ，2010，29( 10) 1: ,高炳坤一源二场大学物理 On the inetialfocerr GAO Bing-kun ( Department Ph ofy sics，Tsinghua University，Beijing 10084，China) Abstract: A summary ofart icles about thein ertial force published in this journal by the auther,ey wods: unversa gravtaton; nerta force; tda force Kriliiiilil